Teorema del limite centrale, in teoria della probabilità, un teorema che stabilisce la distribuzione normale come la distribuzione a cui converge rapidamente la media (media) di quasi ogni insieme di variabili indipendenti e generate casualmente. Il teorema del limite centrale spiega perché la distribuzione normale si presenta così comunemente e perché è generalmente un’eccellente approssimazione per la media di un insieme di dati (spesso con solo 10 variabili).

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La versione standard del teorema del limite centrale, dimostrato per la prima volta dal matematico francese Pierre-Simon Laplace nel 1810, afferma che la somma o la media di una sequenza infinita di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite, quando opportunamente riscalata, tende a una distribuzione normale. Quattordici anni dopo il matematico francese Siméon-Denis Poisson iniziò un processo continuo di miglioramento e generalizzazione. Laplace e i suoi contemporanei erano interessati al teorema soprattutto per la sua importanza nelle misurazioni ripetute della stessa quantità. Se le misure individuali potevano essere viste come approssimativamente indipendenti e identicamente distribuite, allora la loro media poteva essere approssimata da una distribuzione normale.

Il matematico belga Adolphe Quetelet (1796-1874), famoso oggi come l’ideatore del concetto di homme moyen (“uomo medio”), fu il primo ad usare la distribuzione normale per qualcosa di diverso dall’analisi dell’errore. Per esempio, ha raccolto dati sulla circonferenza toracica dei soldati (vedi figura) e ha dimostrato che la distribuzione dei valori registrati corrispondeva approssimativamente alla distribuzione normale. Tali esempi sono oggi considerati come conseguenze del teorema del limite centrale.

Il teorema del limite centrale gioca anche un ruolo importante nel moderno controllo di qualità industriale. Il primo passo per migliorare la qualità di un prodotto è spesso quello di identificare i principali fattori che contribuiscono alle variazioni indesiderate. Vengono poi fatti degli sforzi per controllare questi fattori. Se questi sforzi hanno successo, allora qualsiasi variazione residua sarà tipicamente causata da un gran numero di fattori, che agiscono in modo approssimativamente indipendente. In altre parole, le piccole quantità rimanenti di variazione possono essere descritte dal teorema del limite centrale, e la variazione rimanente approssimerà tipicamente una distribuzione normale. Per questo motivo, la distribuzione normale è la base di molte procedure chiave nel controllo statistico della qualità.

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