Zentraler Grenzwertsatz
Zentraler Grenzwertsatz, in der Wahrscheinlichkeitstheorie, ein Satz, der die Normalverteilung als die Verteilung festlegt, zu der der Mittelwert (Durchschnitt) fast jeder Menge unabhängiger und zufällig erzeugter Variablen schnell konvergiert. Der zentrale Grenzwertsatz erklärt, warum die Normalverteilung so häufig auftritt und warum sie im Allgemeinen eine ausgezeichnete Annäherung an den Mittelwert einer Datensammlung (oft mit nur 10 Variablen) ist.
Die Standardversion des zentralen Grenzwertsatzes, der erstmals 1810 von dem französischen Mathematiker Pierre-Simon Laplace bewiesen wurde, besagt, dass die Summe oder der Durchschnitt einer unendlichen Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen bei geeigneter Skalierung zu einer Normalverteilung tendiert. Vierzehn Jahre später begann der französische Mathematiker Siméon-Denis Poisson einen kontinuierlichen Prozess der Verbesserung und Verallgemeinerung. Laplace und seine Zeitgenossen interessierten sich für das Theorem vor allem wegen seiner Bedeutung für wiederholte Messungen der gleichen Größe. Wenn die einzelnen Messungen als annähernd unabhängig und identisch verteilt angesehen werden konnten, konnte ihr Mittelwert durch eine Normalverteilung angenähert werden.
Der belgische Mathematiker Adolphe Quetelet (1796-1874), der heute als Begründer des Konzepts des homme moyen („Durchschnittsmensch“) bekannt ist, war der erste, der die Normalverteilung für etwas anderes als die Fehleranalyse verwendete. So sammelte er beispielsweise Daten über den Brustumfang von Soldaten (siehe Abbildung) und zeigte, dass die Verteilung der aufgezeichneten Werte in etwa der Normalverteilung entsprach. Solche Beispiele werden heute als Folgen des zentralen Grenzwertsatzes angesehen.
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Der zentrale Grenzwertsatz spielt auch in der modernen industriellen Qualitätskontrolle eine wichtige Rolle. Der erste Schritt zur Verbesserung der Qualität eines Produkts besteht oft darin, die wichtigsten Faktoren zu ermitteln, die zu unerwünschten Abweichungen beitragen. Anschließend werden Anstrengungen unternommen, um diese Faktoren zu kontrollieren. Wenn diese Bemühungen erfolgreich sind, werden die verbleibenden Abweichungen in der Regel durch eine große Anzahl von Faktoren verursacht, die in etwa unabhängig voneinander wirken. Mit anderen Worten: Die verbleibenden geringen Schwankungen können durch den zentralen Grenzwertsatz beschrieben werden, und die verbleibenden Schwankungen nähern sich in der Regel einer Normalverteilung an. Aus diesem Grund ist die Normalverteilung die Grundlage für viele wichtige Verfahren der statistischen Qualitätskontrolle.