Centralne twierdzenie graniczne, w teorii prawdopodobieństwa, twierdzenie, które ustanawia rozkład normalny jako rozkład, do którego szybko zbiega średnia (średnia) prawie każdego zestawu niezależnych i losowo generowanych zmiennych. Centralne twierdzenie graniczne wyjaśnia, dlaczego rozkład normalny pojawia się tak powszechnie i dlaczego jest to zazwyczaj doskonałe przybliżenie dla średniej ze zbioru danych (często z zaledwie 10 zmiennych).

Britannica Quiz

Define It: Math Terms

Tutaj jest Twoja misja, jeśli zdecydujesz się ją przyjąć: Zdefiniuj następujące terminy matematyczne zanim skończy się czas.

Standardowa wersja centralnego twierdzenia granicznego, po raz pierwszy udowodniona przez francuskiego matematyka Pierre-Simon Laplace w 1810 roku, stwierdza, że suma lub średnia nieskończonej sekwencji niezależnych i identycznie rozłożonych zmiennych losowych, po odpowiednim przeskalowaniu, dąży do rozkładu normalnego. Czternaście lat później francuski matematyk Siméon-Denis Poisson rozpoczął ciągły proces udoskonalania i uogólniania. Laplace i jego współcześni byli zainteresowani twierdzeniem przede wszystkim ze względu na jego znaczenie w powtarzających się pomiarach tej samej wielkości. Jeśli poszczególne pomiary mogą być postrzegane jako w przybliżeniu niezależne i identycznie rozłożone, to ich średnia może być przybliżona przez rozkład normalny.

Belgijski matematyk Adolphe Quetelet (1796-1874), znany dziś jako twórca koncepcji homme moyen („przeciętny człowiek”), był pierwszym, który użył rozkładu normalnego do czegoś innego niż analiza błędu. Na przykład, zebrał dane dotyczące obwodów klatki piersiowej żołnierzy (patrz rysunek) i wykazał, że rozkład zarejestrowanych wartości odpowiadał w przybliżeniu rozkładowi normalnemu. Takie przykłady są obecnie postrzegane jako konsekwencje centralnego twierdzenia granicznego.

Central limit theorem odgrywa również ważną rolę w nowoczesnej przemysłowej kontroli jakości. Pierwszym krokiem w poprawie jakości produktu jest często identyfikacja głównych czynników, które przyczyniają się do niepożądanych odchyleń. Następnie podejmowane są wysiłki, aby kontrolować te czynniki. Jeśli te wysiłki zakończą się sukcesem, wówczas wszelkie pozostałe odchylenia będą zazwyczaj spowodowane przez dużą liczbę czynników, działających w przybliżeniu niezależnie. Innymi słowy, pozostałe małe ilości zmienności mogą być opisane przez centralne twierdzenie graniczne, a pozostała zmienność będzie zazwyczaj zbliżona do rozkładu normalnego. Z tego powodu rozkład normalny jest podstawą wielu kluczowych procedur w statystycznej kontroli jakości.