Centrala gränssatsen, inom sannolikhetsteori, en sats som fastställer normalfördelningen som den fördelning till vilken medelvärdet (genomsnittet) av nästan varje uppsättning oberoende och slumpmässigt genererade variabler snabbt konvergerar. Den centrala gränssatsen förklarar varför normalfördelningen uppstår så ofta och varför den i allmänhet är en utmärkt approximation för medelvärdet av en samling data (ofta med så få som 10 variabler).

Britannica Quiz

Definiera det: Matematiska termer

Här är ditt uppdrag, om du väljer att acceptera det:

Standardversionen av den centrala gränssatsen, som först bevisades av den franske matematikern Pierre-Simon Laplace 1810, anger att summan eller genomsnittet av en oändlig sekvens av oberoende och identiskt fördelade slumpmässiga variabler, när den omskalasas på lämpligt sätt, tenderar mot en normalfördelning. Fjorton år senare inledde den franske matematikern Siméon-Denis Poisson en fortsatt process av förbättring och generalisering. Laplace och hans samtida var intresserade av teoremet främst på grund av dess betydelse för upprepade mätningar av samma storhet. Om de enskilda mätningarna kunde betraktas som ungefärligt oberoende och identiskt fördelade kunde deras medelvärde approximeras av en normalfördelning.

Den belgiske matematikern Adolphe Quetelet (1796-1874), som idag är känd som upphovsman till begreppet homme moyen (”genomsnittsmannen”), var den förste som använde normalfördelningen för något annat än att analysera fel. Han samlade till exempel in uppgifter om soldaters bröstomfång (se figur) och visade att fördelningen av de registrerade värdena ungefär motsvarade normalfördelningen. Sådana exempel betraktas nu som konsekvenser av den centrala gränsvärdessatsen.

Den centrala gränsvärdessatsen spelar också en viktig roll i modern industriell kvalitetskontroll. Det första steget för att förbättra en produkts kvalitet är ofta att identifiera de viktigaste faktorerna som bidrar till oönskade variationer. Ansträngningar görs sedan för att kontrollera dessa faktorer. Om dessa ansträngningar är framgångsrika kommer eventuella kvarvarande variationer vanligtvis att orsakas av ett stort antal faktorer som agerar i stort sett oberoende av varandra. Med andra ord kan de återstående små variationerna beskrivas med hjälp av teoremet om den centrala gränsen, och den återstående variationen kommer vanligtvis att närma sig en normalfördelning. Av denna anledning ligger normalfördelningen till grund för många viktiga förfaranden inom statistisk kvalitetskontroll.