Det finns många bevis. Min favorit går så här. Tydligen beror det på en mycket ung Albert Einstein, men det verkar vara svårt att verifiera.

Rätta trianglar har en snygg egenskap där man, givet en rätvinklig triangel, kan rita en linje vinkelrätt mot hypotenusan som går genom den räta vinkeln, och den linjen delar triangeln i två mindre kopior av sig själv. Den linjen kallas för höjden. Här är en bild som visar hur det fungerar. Du borde kunna övertyga dig själv om att de mindre trianglar som bildas av höjden verkligen är kopior av den stora triangeln – det har att göra med det faktum att vinklarna i en triangel summerar till 180 grader.

Hursomhelst, så här är det. Låt oss först och främst tänka på satsen, inte som en formel, utan som ett uttalande om geometri. Satsen säger att för en rätvinklig triangel med sidorna a, b och c (där hypotenusan är c) är arean av den kvadrat vars sida är c lika med summan av areorna av de kvadrater vars sidor är a och b. Här är en illustration. Summan av areorna av de blå och orange kvadraterna är lika med arean av den lila kvadraten.

För att bevisa det, betrakta en godtycklig rätvinklig triangel med sidorna a, b, c, och med hjälp av höjden, dela upp den i små kopior av sig själv så som vi diskuterade ovan. Du kanske vill ta en penna och rita diagram för att följa med här. Vi kommer att tänka på areorna av de små kopiorna, liksom av den stora triangeln, så låt oss ge dem några namn. Låt A vara arean av den lilla triangeln med hypotenusa a, B vara arean av den lilla triangeln med hypotenusa b och C vara arean av den stora triangeln (med hypotenusa c, förstås). Återigen, rita en bild om du inte kan se detta i ditt huvud.

Nu är det klart: A + B = C. Kom ihåg det och lägg det åt sidan.

Märk att alla kvadraterna har sidor som är lika stora som hypotenusan i deras motsvarande trianglar. Låt oss för tillfället tänka på den lilla husform som bildas längs sidan a – det vill säga triangeln med area A och kvadraten med area a2. Låt r vara förhållandet mellan arean av triangeln i husformen och arean av kvadraten, så att

A = ra2

Beroende på hur du ritade triangeln från början kan r vara stor eller liten. Det roliga med det här beviset är att r till slut hjälper oss även om det inte spelar någon roll vad det är.

Låt oss flytta vårt fokus till den husform som bildas längs sidan b. Eftersom triangeln med area B är en exakt kopia av triangeln med area A, men bara av olika storlek (såvida du inte råkade rita en likbent triangel, i så fall är den också lika stor), är förhållandet mellan ytorna på den triangeln och den motsvarande kvadraten detsamma. Det vill säga, eftersom denna husform bara är en skalad kopia av den första husformen gäller samma förhållande:

B = rb2

Slutligt kan du se att samma förhållande kommer att gälla för den största husformen, gjord av den ursprungliga triangeln, eftersom den bara är en skalad kopia av de mindre också.

C = rc2

Kombinera dessa sista identiteter med den första ekvationen och vi kan skriva

ra2 + rb2 = rc2

Dividerar man med r får man det önskade resultatet 🙂