Santa przyniósł moim dzieciom grę Yahtzee na Boże Narodzenie. Graliśmy w nią często wieczorami. Kiedy toczy się Yahtzee, moje dzieci szaleją. W tym wpisie na blogu zamierzam przyjrzeć się prawdopodobieństwu toczenia Yahtzee.

Yahtzee jest grą rozgrywaną z pięcioma sześciobocznymi kostkami. Gracz rzuca kostką, sprawdza wyniki i może zatrzymać tyle kostek, ile chce, ponownie rzucając pozostałymi. Po drugim rzucie proces ten jest powtarzany (jeśli gracz chce, może zabrać kości zatrzymane w pierwszej rundzie). Po (maksymalnie) trzech rzutach, kostki są punktowane według różnych kategorii. Yahtzee (zdobywając 50 punktów) uzyskuje się, gdy wszystkie pięć kości wypadnie tak samo.

Założenia

Założymy, że gracz jest inteligentnym graczem i w każdym punkcie decyzyjnym dokonuje najmądrzejszych możliwych wyborów ponownego obrotu i zatrzymania.

Prawdopodobieństwo uzyskania Yahtzee w pojedynczym rzucie jest łatwe do obliczenia. Jest pięć kości, więc cokolwiek pierwsza kość się obróci, jest 1/6 szansy, że druga kość będzie miała tę samą liczbę. Jeśli tak się stanie, jest 1/6 szansy, że trzecia kość jest taka sama, tak samo czwarta i piąta.

Więc prawdopodobieństwo Yahtzee w jednym rzucie wynosi 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/1296.

Przy trzech rzutach i trzymaniu, jednak sprawy się trochę komplikują. Liczba kości, którymi rzucamy w każdej turze może być zmieniona i istnieje wiele możliwych kombinacji do rozważenia. Ponieważ stan kości na początku każdej tury jest niezależny od tego, jak kości zostały rzucone, jest to doskonała okazja, aby rozwinąć jedno z moich ulubionych narzędzi, Łańcuch Markowa (więcej informacji na ten temat można znaleźć w moich wcześniejszych postach na temat CandyLand oraz Chutes and Ladders).

Przed zagłębieniem się w Łańcuch Markowa, korzystne będzie jednak zbadanie różnych sposobów, na jakie można rzucać kombinacje kości. To ćwiczenie znacznie uprości tworzenie Macierzy Przejść (zaufaj mi w tej kwestii). Zaczynamy …

2 kości

To jest przypadek trywialny. Istnieją tylko dwa wzory na sposób, w jaki można rzucić dwiema kostkami. Albo się zgadzają, albo nie. Tam być 1/6 szansa że the drugi z the dwa kostka dopasowywać the pierwszy, i odwrotnie, tam być 5/6 szansa że ono dopasowywać. Prawdopodobieństwa, oczywiście, muszą sumować się do 1 (jedno z dwóch zdarzeń musi wystąpić).

Innym sposobem, aby spojrzeć na to jest to, że istnieje 36 możliwych kombinacji dla dwóch kostek do rzucania. W sześciu z tych kombinacji {1,1}, {2,2}, {3,3}, {4,4}, {5,5}, {6,6} liczby są takie same, a w 30 z tych kombinacji kości są różne.

Te wyniki są pokazane graficznie na powyższym obrazku. Jest 6/36 szans, że obie kości będą takie same, reprezentowane jako {A,A}, i 30/36 szans, że będą różne, reprezentowane jako {A,B}

3 kości

To staje się trochę bardziej skomplikowane, ale nie dużo. Istnieją trzy możliwe warianty wyników dla trzech kości: Albo wszystkie są takie same, wszystkie są różne, albo będą dwie z jednej liczby i jedna z innej. Jest 216 możliwych sposobów, na które można rzucić trzema kośćmi (6 x 6 x 6).

Możemy łatwo obliczyć prawdopodobieństwo, że wszystkie są takie same, jako 1/6 x 1/6 = 1/36 (Druga kość pasuje do pierwszej 1 raz na 6, a trzecia kość pasuje, ponownie, 1 raz na 6).

Alternatywnie, możemy sobie wyobrazić, że z 216 możliwych sposobów, w jakie mogą wylądować kości, jest sześć możliwych sposobów, gdy wszystkie są takie same: {1,1,1}, {2,2,2}, {3,3,3}, {4,4,4}, {5,5,5}, {6,6,6}.

Prawdopodobieństwo, że wszystkie są różne można obliczyć używając następującej logiki: Pierwsza kość może być dowolna, następnie dla drugiej kości istnieje 5/6 szansy, że nie będzie to ta sama liczba co pierwsza kość. Wreszcie, jest 4/6 szansy, że trzecia kość będzie różna od dwóch pierwszych. Tak więc prawdopodobieństwo, że wszystkie kości będą różne wynosi 5/6 x 4/6 = 20/36, co w uproszczeniu można zapisać jako 120/216. Istnieje 120 możliwych kombinacji 216 możliwych wyników, w których wszystkie trzy kostki są różne {A,B,C}.

Ponieważ wiemy, że suma wszystkich prawdopodobieństw dla sposobu, w jaki trzy kostki się toczą musi sumować się do 1.0 możemy wywnioskować, że prawdopodobieństwo, że dwie z kostek są takie same {A,A,B} wynosi 90/216 (Co jest 1 – 6/216 – 120/216).

(Jeśli chcesz się o tym przekonać, pomyśl o tym w ten sposób: Jest sześć możliwych wartości, którymi może być A, pięć możliwych wartości tego, czym może być B, i trzy możliwe wybory, która kość może być B. To jest 6 x 5 x 3 = 90 kombinacji z 216).

4 kości

Things are starting to get a little more complex now. Mogą być wszystkie takie same, wszystkie różne, trzy takie same, dwie partie dwóch par, albo para z dwoma różnymi singletonami.

Jest 1296 sposobów, na jakie można ułożyć cztery kości (6 x 6 x 6 x 6). Wyniki są pokazane poniżej:

Musimy tu być bardzo ostrożni, bo nie chcemy liczyć podwójnie. Podczas liczenia dwóch partii dwóch par, musimy się upewnić, że nie policzymy {5,5,5,5} jako dwóch zestawów podwójnych pięciu i umieścimy je w wiaderku {A,A,B,B}, ponieważ tak naprawdę jest to czwórka i musi być w wiaderku {A,A,A,A}. Jeśli będziemy liczyć podwójnie, prawdopodobieństwa staną się większe niż 1.0!

Dobór powyższej tabeli może być wykonany na wiele sposobów. Ci z Was, którzy studiowali matematykę na uniwersytecie, mogą sięgnąć po rozwinięcie dwumianowe, aby obliczyć permutacje. Alternatywnie, tak jak to omówiliśmy na stronie Analiza ryzyka, liczba kombinacji jest tak mała (tylko 1296), że możesz chcieć po prostu brute-force wszystkie kombinacje w kodzie i liczyć je.

To faktycznie dobre ćwiczenie umysłowe, aby pracować przez pochodnych tych liczb, aby przekonać się, że liczby są poprawne. Na przykład {A,A,A,A} to 1/6 x 1/6 x 1/6 dla szans, że druga, trzecia i czwarta kość pasuje do pierwszej. (Alternatywne myślenie jest takie, że jest tylko sześć sposobów, aby uzyskać cztery z rodzaju = 6/1296).

Dla trzech z rodzaju {A,A,A,B} jest sześć możliwych liczb, że A może być, i pięć możliwych liczb, że B może być, i cztery lokalizacje dla kości B, co jest 6 x 5 x 4 kombinacje = 120/1296.

Aby wszystkie kostki były różne {A,B,C,D} jest 5/6 szansy, że druga kostka jest różna od pierwszej, i 4/6, że trzecia jest unikalna, i 3/6 szansy, że czwarta jest. 5/6 x 4/6 x 3/6 = 60/216 = 360/1296.

Interesting Note – As an aside here, when rolling four dice, the most likely outcome is that you will get a pair, and there is a greater than 72.2% szans, że otrzymasz co najmniej parę (720+90+120+6)/1296

5 kości

Teraz robi się trochę tłoczno! Istnieje 7776 możliwych kombinacji dla pięciu kostek do gry. Wyniki są pokazane poniżej. Ze względu na zwięzłość, nie będę ich tu wszystkich wyliczał (może w przyszłym wpisie na blogu), po prostu pokażę wyniki, abyśmy mogli wrócić do łańcucha Markowa.

Ciekawa uwaga – Prawdopodobieństwo wyrzucenia fulla w jednym rzucie wynosi 300/7776, w porównaniu z czwórką, które wynosi tylko 150/7776. Zgodnie z naszymi zasadami, full house zdobywa 25 punktów, a (co najwyżej), czwórka może zdobyć 30 punktów (wszystkie szóstki – bonus Yahtzee wykluczony), więc full house jest łatwą zdobyczą punktową, dwa razy łatwiejszą niż czwórka!

Interesująca uwaga – Z pięcioma kośćmi, jest 7056/7776 szans, że dostaniesz parę lub lepszy wynik w pierwszym rzucie (90.7%)

Powrót do Markowa

Aby przeprowadzić naszą analizę Markowa, musimy stworzyć Macierz Przejścia, która definiuje prawdopodobieństwo przejścia pomiędzy każdym stanem.

Jako stany, wybiorę liczbę pasujących kości w zestawie, więc mamy 5 stanów: 1,2,3,4,5 (Tutaj „1” pasująca kostka może być również określona jako singleton). W rezultacie otrzymujemy macierz składającą się z 25 elementów.

	Nasza macierz będzie miała charakter trójkąta górnego (przyjęliśmy założenie, że gracz jest inteligentny, więc jeśli wypadnie trójka, to nie będziemy sugerować, że gracz ponownie rzuca część z tego, aby dostać się do Yahtzee!) Matryca Przejścia pokaże prawdopodobieństwo przejścia z dowolnego stanu do tego samego lub wyższego stanu. Oto Matryca Przejścia. Musimy wypełnić każdą lokalizację zawierającą znak „?” prawdopodobieństwem przejścia ze stanu reprezentowanego przez numer kolumny do stanu reprezentowanego przez numer wiersza. (Wszystkie inne lokalizacje mają zerowe prawdopodobieństwo). Zaczynamy …
	Pierwszych kilka wpisów jest łatwych do wypełnienia. Prawdopodobieństwo przejścia ze stanu 5 do stanu 5 wynosi 1,0 Gdy osiągniemy Yahtzee, zatrzymamy go i nie będziemy toczyć więcej kości, więc istnieje 100% pewność, że pozostaniemy w tym stanie! Jeśli obecnie mamy 4 pasujące kości, istnieje 1/6 szansy, że wytoczymy poprawną liczbę, aby było 5, i odpowiednio 5/6 pozostania w stanie 4. Stochastyczna natura macierzy przejść jest zachowana, ponieważ rząd tej macierzy sumuje się do 1.0 (Coś musi się wydarzyć i będzie to jedna z tych zmian stanu).
	Dla stanu 3, są dwie kości do ponownego rzucenia, co daje 36 możliwych kombinacji. (Istnieje 1/36 prawdopodobieństwa, że obie kości będą pasować do aktualnej trójki, tworząc Yahtzee i to prawdopodobieństwo jest umieszczone w wierszu 3 i kolumnie 5. Istnieje 25/36 szansa, że gracz nadal będzie miał trójkę na końcu następnego obrotu (5/6 szansy na brak na pierwszej kości pomnożone przez 5/6 szansy na brak na drugiej). Wreszcie, istnieje 10/36 szans na uzyskanie jednej dodatkowej liczby, aby utworzyć cztery z rodzaju. Jest to 1/6 x 5/6 i można to osiągnąć na dwa sposoby (albo pierwsza kość pasuje, albo druga).
	Rzeczy stają się teraz trochę bardziej skomplikowane, więc zwolnimy. Przejście ze stanu 2 do stanu 5 wymaga, aby wszystkie trzy przewrócone kości pasowały do bieżącej pary. Zdarza się to z prawdopodobieństwem 1/216 (czyli 1/6 x 1/6 x 1/6). Podobnie przejście od niczego pasującego (stan 1) do stanu 5 jest równoważne toczeniu Yahtzee za jednym zamachem (ponieważ wszystkie kości są przewracane). Jest to 1/1296, obliczone jako (1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6).
	Możemy uzupełnić jeszcze dwa współczynniki. Jeśli masz pecha i nie masz nic pasującego (stan 1) i ponownie rzucasz wszystkimi kośćmi, prawdopodobieństwo, że znowu nic nie będzie pasowało wynosi 120/1296 (Jest to 5/6 szansy na to, że druga kość nie będzie pasowała, a następnie 4/6 na trzecią i 3/6 na czwartą, oraz 2/6 na piątą). Szanse na to, że w jednym rzucie wypadną cztery takie same liczby wynoszą 25/1296 (Co daje 150/7776. Pamiętasz sekcję Combinatronics? Oblicza się to przez otrzymanie czterech takich samych kości: 1/6 x 1/6 x 1/6, z ostatnią kością nie pasującą do 5/6, i jest pięć możliwych sposobów na ułożenie tego z pięcioma możliwymi miejscami dla B w zbiorze {A,A,A,A,B}. Jeśli nie jest to oczywiste, prawdopodobieństwa w górnym rzędzie (zmieniając stan z nic nie pasującego na jakikolwiek inny), są prawdopodobieństwami dla wyniku pierwszej kolejki.
	Prawdopodobieństwo otrzymania trójki w jednej kolejce wynosi 250/1296. Jest to nieco trudniejsze do obliczenia i musimy być ostrożni. Występuje to w jednym z dwóch wzorów {A,A,A,B,B} i {A,A,A,B,C}. Odwołując się do powyższej sekcji combinatronics (pamiętasz, mówiłem, że będzie przydatna?), możemy zobaczyć, że {A,A,A,B,B} występuje 300/7776 razy (ful), a {A,A,A,B,C} (trójka) występuje 1200/7776 razy. Dodając je razem (probabilistyczny sposób powiedzenia OR) otrzymujemy 1500/7776, co redukuje się do 250/1296. Aby wypełnić ostatni element w tym rzędzie (uzyskanie pary), znów musimy być ostrożni. Do rozważenia są dwa zbiory: {A,A,B,C,D} oraz {A,A,B,B,C}. (Single Pair i Two Pair). Ponieważ zamierzamy grać w Yahtzee, rzucamy jedną z par razem z singletonem. Prawdopodobieństwo otrzymania pary wynosi 1800/7776 + 3600/7776 = 5400/7776 lub 900/1296). Przyjemnie jest też wiedzieć, że wszystkie prawdopodobieństwa w tym rzędzie sumują się do 1.0 (120/1296 + 900/1296 + 250/1296 + 25/1296 +1/1296).
	Przejście z pary (stan 2) do czwórki (stan 4) ma prawdopodobieństwo 15/216. Istnieje 1/6 szansy, że jedna z matryc będzie pasować, następnie kolejna 1/6 szansy, że inna będzie, pomnożona przez 5/6 szansy, że ostatnia matryca nie będzie pasować. Istnieją trzy możliwe sposoby na to, która z kostek jest 5/6, więc ostateczne prawdopodobieństwo = 3 x 1/6 x 1/6 x 5/6 = 15/216.
	Teraz ostatnie dwa trudne. Czytając trochę w Internecie, to jest to, gdzie ludzie wydają się poślizgnąć się w swoich obliczeniach. Komplikacje wynikają z tego, że przy ponownym rzucaniu trzema kośćmi, możesz chcieć „przeskoczyć” to, do czego dążysz. Na przykład, jeśli przy pierwszym rzucie wyrzuciłeś parę, zatrzymałeś ją i ponownie rzuciłeś trzema kośćmi, a te trzy kości wypadły tak samo (ale nie tak samo jak para, bo inaczej byłoby to Yahtzee!), to przy następnym rzucie chciałbyś zatrzymać trójkę i ponownie rzucić parę. Ta subtelność modyfikuje prawdopodobieństwo. Popracujmy nad tym – Zatrzymaliśmy parę i rzuciliśmy ponownie trzema kośćmi. Przypomnijmy sobie z naszej kombinatoryki, że trzy kości wypadają wszystkie tak samo z prawdopodobieństwem 1/6 x 1/6 = 1/36 = 6/216, ale w jednym z tych przypadków, ta liczba będzie taka sama jak para (powodując Yahtzee), więc musimy odjąć ten przypadek. Tak więc, szansa na zamianę dwóch jedynek na trzy jedynki wynosi 6/216 – 1/216 = 5/216.

Aby uzupełnić współczynnik przejścia z pary (stan 2) do pozostania jako para (stan 2), potrzebujemy podstawowego prawdopodobieństwa tego, które wynosi po prostu 5/6 x 5/6 x 5/6 (wszystkie trzy kostki nie trafiają w parę), i od tego musimy odjąć szansę, że wszystkie te trzy kości są takie same i nie tworzą Yahtzee (5/216), więc ostateczny wynik dla tego elementu = 125/216 – 5/216 = 120/216.

Podobnie, odwrotność tej sztuczki dla prawdopodobieństwa przejścia ze stanu pary 2 do stanu trzech rodzajów 3. Tutaj podstawowe prawdopodobieństwo przejścia ze stanu 2 do stanu 3 wynosi 75/216 (rzuca się trzema kostkami, z 1/6 szansy na trafienie, potem dwiema 5/6 szansy na chybienie, i są trzy kombinacje sposobów, w jaki można to osiągnąć, czyli 3 x 1/6 x 5/6 x 5/6). Do tego podstawowego prawdopodobieństwa 75/216, musimy dodać 5/216 szansy z góry, że mamy do trzech z rodzaju przez tę alternatywną drogę.

Tak więc, ostatni element wymagany do ukończenia naszej macierzy przejścia ze stanu 2 do stanu 3 jest 75/216 + 5/216 = 80/216.

Jest to również ulga, aby obliczyć, że prawdopodobieństwa w tym rzędzie w sumie 1.0! (120/216 + 80/216 + 15/216 + 1/216). To pomaga potwierdzić, że nasze obliczenia są poprawne.

Nasza Macierz Przejściowa jest teraz kompletna!

Mnożenie macierzy

Wprowadzamy teraz wektor kolumnowy tożsamości i mnożymy go przez Macierz Przejściową. Otrzymany wynik wektora rzędów pokazuje prawdopodobieństwa rozkładu stanów, w jakich może znaleźć się kostka. Możemy teraz użyć tego wyjścia ponownie jako wejścia i tym razem wyjściem jest superpozycja prawdopodobieństw dla kostki na końcu drugiego obrotu. Aby otrzymać prawdopodobieństwo uzyskania Yahtzee przy (lub przed) trzech rzutach, mnożymy je po raz ostatni i odczytujemy wynik elementu jodły (stan 5) w końcowym wektorze wyjściowym.

(Od tego momentu przechodzę na liczby dziesiętne/procentowe, aby reprezentować prawdopodobieństwa, ponieważ ułamki są zbyt trudne do wprowadzenia i odczytania).

Wyniki

Prawdopodobieństwo otrzymania Yahtzee wynosi 4.6029%

Piękne Wykresy

Jeśli nie udało Ci się rzucić Yahtzee, co się stanie jeśli rzucisz ponownie? (jak to czasami próbują robić moje dzieci!) I znowu? I jeszcze raz? …

Poniżej jest wykres pokazujący procentową szansę uzyskania Yahtzee w n-rolach. Oś x to liczba rolek, a oś y pokazuje procentową szansę.

Krzywa asymptotyzuje do 100%, i przekracza 50% przy rolce #10. Aby mieć 95% pewności, że ułożysz Yahtzee, potrzebujesz 23 rolek.

Singleton Para Trzy takie same Cztery takie same Yahtzee Rolka 1 9.259% 69.444% 19.290% 1.929% 0.077% Roll 2 0.857% 45.010% 40.902% 11.967% 1.263% Roll 3 0.079% 25.601% 45.240% 24.476% 4.603% Roll 4 0.007% 14.278% 40.914% 34.743% 10.058% Roll 5 0,001% 7,937% 33,702% 41,309% 17.051% Roll 6 0,000% 4,410% 26,344% 44.337% 24,908% Roll 7 0,000% 2,450% 19.928% 44.572% 33.050% Roll 8 0.000% 1.361% 14.746% 42.849% 41.044% Roll 9 0.000% 0.756% 10.745% 39.898% 48.601% Roll 10 0.000% 0.420% 7.742% 36.286% 55.553% Roll 11 0.000% 0.233% 5.532% 32.418% 61.817% Roll 12 0,000% 0,130% 3,928% 28,567% 67.375% Roll 13 0.000% 0.072% 2.776% 24.906% 72,246% Roll 14 0,000% 0,040% 1.954% 21.531% 76.474% Roll 15 0.000% 0.022% 1.372% 18.488% 80.117% Roll 16 0.000% 0.012% 0.961% 15.790% 83.237% Roll 17 0.000% 0.007% 0.672% 13.426% 85.895% Roll 18 0.000% 0.004% 0.469% 11.375% 88.152% Roll 19 0.000% 0.002% 0.327% 9.610% 90.061% Roll 20 0.000% 0.001% 0,228% 8,099% 91,671% Roll 21 0.000% 0.001% 0.159% 6.813% 93.028% Roll 22 0,000% 0,000% 0,111% 5,722% 94.168% Roll 23 0,000% 0,000% 0,077% 4.799% 95,124% Roll 24 0,000% 0,000% 0,053% 4.020% 95,926% Roll 25 0,000% 0,000% 0.037% 3,365% 96,598%

Często zdarza się, że nie trafiasz w próbie Yahtzee. Jaki jest rozkład prawdopodobieństwa? Jak duże jest prawdopodobieństwo, że trafisz na Czwórkę z Rodziny, strzelając do swojego Yahtzee? Tę informację można łatwo uzyskać, odczytując wartość z wektora wyjściowego łańcucha Markowa dla stanu 4. (Szansa, że trafisz czwórkę w trzech rolkach wynosi 24,476%, a trójkę 45,240%). Tabela po lewej stronie pokazuje procentowy podział dla pierwszych 25 rolek. Poniżej znajdują się te same dane przedstawione w formie graficznej. Zauważ, że po 9 rolkach, Yahtzee staje się najbardziej prawdopodobnym wydarzeniem, a szansa na skończenie z parą lub Singletonem gwałtownie spada do poziomu szumu.