+ Share page with friends

Wprowadzenie do rachunku

Rozdział 1 – Wprowadzenie

• Sekcja 1.1 – Why Study Calculus
• Sekcja 1.2 – Dlaczego nie studiować rachunku

Sekcja 1.1 – Dlaczego studiować rachunek

Jako student prawdopodobnie postrzegasz rachunek jako kolejne nielogiczne zapamiętywanie równań, które trzeba przejść przez szkołę. Czujesz, że nigdy nie będziesz musiał użyć żadnego z tych „hipotetycznych bełkotów”, których się uczysz. W związku z tym podchodzisz do tematu z filozoficzną obojętnością i przystosowujesz się do znoszenia tego, czego nie możesz wyleczyć.

Być może gdzieś za tym złym nastawieniem kryje się przekonanie, że rachunek jest narzędziem niezbędnym do istnienia w świecie rzeczywistym. Niezależnie od tego, jak ktoś definiuje udaną egzystencję, zrozumienie rachunku nie jest niezbędne do dobrego samopoczucia. W rzeczywistości przesadą jest twierdzenie, że jest ono potrzebne, aby zostać nawet naukowcem.

W końcu wielu zawodowych inżynierów nie waha się przyznać do swojej ignorancji w tym temacie. Zrozumienie rachunku przez takiego inżyniera ogranicza się do znajomości równań i umiejętności posługiwania się nimi. Jeśli inżynier ma dobre wyczucie tego, czego można się spodziewać na podstawie doświadczenia, wtedy liczenie nie jest tak ważne. Thebest inżynierów tylko potrzebują numer crunching potwierdzić, co ich zdaniem wynik może być.

Do tej pory to wprowadzenie udało się tylko potwierdzić, co można już czuć o studium rachunku, tj. jest to bezsensowna strata czasu! Dlaczego musisz się męczyć ucząc się go, podczas gdy inni radzą sobie z nim bez żadnego zrozumienia? Co więcej może być w rachunku oprócz zapamiętywania, manipulacji i frustracji? Bez dalszego podsycania twoich rosnących podejrzeń, wróćmy do pierwotnego pytania i odpowiedzmy na nie z czysto niematerialnego punktu widzenia.

Dlaczego warto uczyć się rachunku? Na to pytanie najlepiej odpowiedzieć innym pytaniem; O co chodzi w rachunku? Niezwykle trudno jest odpowiedzieć na to pytanie krótko i przekonująco, gdyż wymagałoby to sparafrazowania całej tej książki w kilku linijkach tekstu. Mógłbym przedstawić szereg sytuacji, w których rachunek jest stosowany, ale to dałoby fałszywe wrażenie, że zastosowania praktyczne i teoria matematyczna są ze sobą powiązane tylko przez przypadek. Najprostszą definicją, jaką mogę zaproponować, jest to, że rachunek to badanie matematycznie zdefiniowanych zmian. W tej definicji znajdują się dwa słowa, które wymagają dalszego wyjaśnienia, zanim nabiorą sensu. Te słowa to matematyka i zmiana.

Czym jest matematyka? Zasadniczo matematyka jest niczym więcej niż językiem nauki. Podczas gdy nauka jest systematycznym badaniem natury, matematyka jest zwięzłą formą komunikacji używaną do reprezentowania natury. Rozum człowieka pozwala mu obserwować, analizować i stawiać hipotezy na temat przyrody i wszystkich zachodzących w niej procesów, a efektem końcowym tej uporządkowanej analizy jest matematyka. Ale co należy rozumieć przez naukę i naturę? Zamiast kontynuować pytania, na które odpowiedzi są jedynie uogólnieniami, zacznijmy studium rachunku od studium człowieka.

Co sprawia, że człowiek działa, myśli, czuje, porusza się i funkcjonuje? Filozofia w całości poświęcona jest odpowiadaniu na takie pytania, choć często zadaje więcej pytań niż jest gotowa odpowiedzieć. Życie wokół nas nieustannie stawia przed nami wyzwania, aby żyć i reagować na rzeczy pozornie niemożliwe i niezgłębione. Stajemy w obliczu dylematów, które wymagają naszej oceny. Jednak kodeks etyczny i moralny, którym się kierujemy, okazuje się być niczym więcej niż zbiorem ironicznych sprzeczności. Znajdujemy się w morzu chaosu. Życie niesie nas przez to morze zamętu, nie zatrzymując się nigdzie, aby doprowadzić nas do celu. Życie wydaje się daremne, bez żadnego sensu w zasięgu wzroku.

Czy człowiek jest ograniczony do tego bezradnego stanu istnienia? Szczerze mówiąc, nikt nie zna odpowiedzi. Możemy jednak szukać nadziei w umyśle. Siła myśli, rozum i logika są tym, co pozwala człowiekowi przejąć kontrolę nad życiem i ostatecznie służyć jako przewodnik do oświecenia i mądrości. Arystoteles czuł, że szczęście można osiągnąć jedynie poprzez kultywowanie umysłu. Napisał:

Teraz osobliwą doskonałością człowieka jest jego władza myślenia; to dzięki tej zdolności przewyższa on i rządzi innymi formami życia; a ponieważ rozwój tej zdolności dał mu przewagę, więc, jak możemy przypuszczać, jej rozwój da mu spełnienie i szczęście.

Prowadzi to do pytania: Jak definiujemy rozum? Jest to równoznaczne z pytaniem, jak myśli definiują zachowanie? Jako dziecko miałeś małą kontrolę nad swoimi działaniami. Tam wydawał się być żadny cel za co ty robiłeś lub co zdarzał się ty. Życie niesie ciebie wzdłuż, dawać tobie wolność cieszyć się the ride.

Pomysł wolna wola oferuje więcej wiarygodnego wyjaśnienie ludzki akcja. Ono mówić że człowiek mieć wolność wybór na pewny kurs akcja. Actions są rezultatami wyborów; wyborów, które jesteśmy wolni, aby make.

Gałąź filozofii znana jako determinizm bierze wolną wolę krok dalej, aby wyjaśnić, dlaczego człowiek wybiera działanie w taki a nie inny sposób. Kiedy człowiek staje w obliczu sytuacji, linia działania, którą postanowił podjąć, opiera się na doświadczeniu, osobistych zainteresowaniach i preferencjach. Decyzje, które podejmujemy, są więc całkowicie zależne od naszych przeszłych doświadczeń. Wola nie jest wolna, aby zachowywać się samodzielnie. Na przykład moja decyzja, aby napisać tę książkę nie była oparta na jakimś impulsywnym instynkcie, ale na kulminacji okoliczności, na które byłem narażony i na które reagowałem.

Każde działanie od najbardziej przypadkowego do najbardziej przewrotnego może być wyjaśnione przez zestaw sytuacji, doświadczeń, myśli i uczuć, które poprzedziły to działanie. Zasadniczo determinizm mówi, że nasze życie jest zdeterminowane do tego stopnia, że niezależnie od tego, jak żyjemy, nigdy nie możemy zmienić biegu naszego życia. Jak powiedział kiedyś francuski myśliciel: „Zmieniamy się, ale pozostajemy tacy sami”. Logika za tym stwierdzeniem jest taka, że jeśli nasza przeszłość nigdy nie może być zmieniona, to nasza przyszłość zawsze pozostanie taka sama. Każde działanie jest podyktowane przez poprzednie.

To jest w tym punkcie, gdzie nauka i sztuka się rozchodzą. Dla naukowca determinizm jest wystarczaj¡co dokładnym wyja±nieniem ludzkiego ¡ycia, poniewa” mówi on, „e wszystko, co si¦ wydarza, wydarza si¦ z pewnych powodów. Obserwacja i zrozumienie tych powodów staje się pracą naukowca. Artysta jednak interpretuje determinizm jako stwierdzenie: „Skoro wszystko w życiu jest z góry ustalone, to życie nie ma sensu”.

Życie może nie mieć sensu, ale celem artysty jest zakwestionowanie tego stwierdzenia poprzez zbadanie tajemniczych głębin ludzkiej natury i serca. Być może to właśnie zupełna przypadkowość życia sprawia, że ignorujemy nasze niezmienne przeznaczenie. Żaden człowiek nie ma kontroli nad tym, co go spotyka. Los zaczyna tracić znaczenie, bo nigdy nie wiadomo, co się z nami stanie. To bierze ryzyko artysty do tworzenia chaosu, z którego mądrość ewoluuje.

Z drugiej strony, badanie natury jest bardziej precyzyjne i jest mniej prawdopodobne, aby być pod wpływem szerokiej gamy czynników niezwiązanych. W naturze wszystkie działania, zdarzenia lub zmiany są zależne od kilku czynników, które mogą być starannie wyizolowane i badane indywidualnie. Nauka jest szczególnie o analizie tych systemów interakcji i formowania hipotez, które mogą dokładnie wyjaśnić je.

Co sprawia, że obserwowanie zjawisk w przyrodzie tak interesujące jest to, że zawsze występują w zamkniętym otoczeniu, gdzie czynniki zewnętrzne mogą być łatwo usunięte, aby pozostawić tylko kilka obiektów interakcji. To właśnie te obiekty wraz z ich właściwościami stają się przedmiotem badań. Wszelkie próby logicznego wyjaśnienia ich unikalnych interakcji muszą pochodzić od samych obiektów, a nie od wyimaginowanych czynników zewnętrznych. Dzięki rozumowaniu i obserwacji można zrozumieć naturę tak, że przyszłość może być określona na podstawie teraźniejszości. Jak Sherlock Holmes często ostrzegałby Watsona: „Widzisz, ale nie obserwujesz!”. .

Wystarczająco często, istoty ludzkie nie pojmują tej prostej zasady natury, ignorancko przypisując wszelkie naturalnie występujące zjawiska Bogom, niebiosom lub jakiejś tajemniczej substancji z supermocami. Zrozumienie i zaakceptowanie prawdy wymaga otwartego i krytycznego umysłu. Charlotte Bronte humorystycznie napisała o tej ironicznej wadzie ludzkiej natury w swojej popularnej powieści, Shirley.

Zauważ dobrze! Kiedykolwiek przedstawiasz rzeczywistą, prostą prawdę, jest ona zawsze potępiana jako kłamstwo: dezawuują ją, odrzucają, wyrzucają na plebanię; podczas gdy produkt twojej własnej wyobraźni, zwykłe zmyślenie, czysta fikcja, jest dostosowywana, określana jako ładna, właściwa, słodko naturalna: mały, fałszywy nieszczęśnik dostaje wszystkie komplementy – uczciwy, praworządny bantling wszystkie kajdany. Taka jest kolej rzeczy na świecie…”.

Nie tylko nauka jest sparaliżowana przez ignorancję i oszustwo, ale jest również sparaliżowana przez pracę pseudo-naukowca. Pseudo-naukowiec jest opisany przez hiszpańskiego filozofa, Jose Ortegę, w jego oszałamiającej książce o współczesnej zachodniej cywilizacji, Bunt mas:

„… W 1890 roku trzecie pokolenie przejmuje dowodzenie w świecie intelektualnym i znajdujemy typ naukowca bez precedensu w historii. Jest to osoba, która wie, ze wszystkiego, co rutynowo obowiązkowy człowiek musi wiedzieć, tylko coś o jednej specyficznej nauce; nawet o tej nauce, jest dobrze poinformowana tylko w tym ograniczonym obszarze, w którym jest aktywnym badaczem. Może nawet posunąć się do twierdzenia, że ma przewagę w nie kultywowaniu tego, co leży poza jego wąską dziedziną, i może oświadczyć, że ciekawość wiedzy ogólnej jest oznaką amatora, dyletanta.

Zanurzony w swoim małym obszarze, odnosi sukcesy w odkrywaniu nowych faktów, rozwija naukę, którą ledwo zna i powiększa encyklopedię wiedzy, której sumiennie nie zna…”.

Noblista z fizyki Richard Feynman napisał następujące spostrzeżenia na temat różnych typów pseudonaukowców, których spotkał na pewnej konferencji. Większość prac naukowców należała do jednej z tych kategorii:

1. Całkowicie niezrozumiałe
2. Mętne i nieokreślone
3. Coś poprawnego, co jest oczywiste i samoistne, wypracowane przez długą i trudną analizę i przedstawione jako ważne odkrycie
4. Twierdzenie oparte na głupocie autora, że jakaś oczywista i poprawna rzecz akceptowana i sprawdzana od lat jest w rzeczywistości fałszywa
5. Próba zrobienia czegoś prawdopodobnie niemożliwego, ale z pewnością bezużytecznego, co jak się okazuje na końcu nie udaje się
6. Po prostu błędna

Jednym z niezwykłych arcydzieł umysłu jest nauka matematyki, często nazywana nauką o rozumowaniu dedukcyjnym. Podczas gdy nauka jest logicznym systemem myślowym używanym do badania świata przyrody, matematyka jest precyzyjnym językiem nauki. Jest formą komunikacji dla analizy naukowej. Liczba i symbole są niczym więcej niż niejasnymi abstrakcjami, jeśli nie odnoszą się do czegoś konkretnego.Zanim matematyka może istnieć, musi istnieć sytuacja, aby nadać jej znaczenie. Jest to analiza naukowa, która określa strukturę matematyki.

Poprzez matematykę jesteśmy w stanie określić teraźniejszość. Teraźniejszość jest zależna tylko od warunków, które istnieją w krótkim przedziale czasu, który ona zajmuje. Szybko znika przed naszymi oczami, stając się wspomnieniem. Celem nauki jest zdefiniowanie obiektywnego świata w kategoriach istniejących kwantyfikowalnych warunków wyrażonych przez matematykę. Nasze wymiary lub właściwości pozostają stałe i nie ulegają zmianie.

To właśnie wtedy, gdy nasze wymiary się zmieniają, nasza nauka staje się nieco bardziej skomplikowana i pojawia się rachunek. Ale najpierw, co rozumiemy przez zmianę? Aby zrozumieć zmianę, musimy wyjaśnić pojęcie czasu. Z definicji, czas jest upływem zdarzeń, takich, że aby czas minął, coś musi się zmienić w odniesieniu do siebie. Na przykład poruszający się obiekt implikuje zmianę odległości przebytej od punktu odniesienia. To zawiera zdarzenie, które definiuje czas. Lub rosnąca temperatura oznacza, że temperatura się zmienia, zajmując w ten sposób czas. Zmiany są wynikami działań, które składają się na sytuację.

Podczas gdy rachunek jest badaniem matematycznie zdefiniowanej zmiany, niekoniecznie jest badaniem samego czasu. W nauce inne wymiary mogą się zmieniać w stosunku do siebie. Na przykład prędkość może zmieniać się z wysokością, temperatura zmienia się z energią, gęstość zmienia się z głębokością, siła zmienia się z masą itp.

Kiedy wymiar zmienia się względem siebie, mówimy, że zmienia się względem czasu. Gdy czynniki zmieniają się względem siebie, to pomijamy wpływ czasu na czynniki i przechodzimy do analizy tylko wymiarów oddziałujących. Zakładamy, że nasze czynniki są stałe, które zmieniają się względem siebie, a nie względem czasu. Rachunek jest więc dziedziną matematyki służącą do badania wszelkich zjawisk związanych ze zmianą. Zmiana jest pojęciem względnym, które może obejmować dowolną parę wymiarów, czas, siłę, masę, długość, temperaturę itd. To może brzmieć trochę abstrakcyjnie, ale stanie się to o wiele bardziej zrozumiałe, gdy będziemy podążać przez kurs.

To kończy odpowiedź na to, czym jest rachunek. Być może nie czujesz, że odpowiedziałem na pierwotnie postawione pytanie: „Po co studiować rachunek?”. Celem studiowania rachunku jest po prostu wprowadzenie twojego umysłu do naukowej metody analizy. Dzięki nauce można zidentyfikować praktyczne problemy, stworzyć wyjaśnienia i wybrać logiczne rozwiązania. Celem jest zrozumienie, jak zastosować swój umysł w systematyczny sposób do zrozumienia otaczającego nas świata.

Inżynieria opiera się bardziej na tym podstawowym logicznym podejściu do rozwiązywania problemów niż na czystym liczeniu i manipulowaniu formułami. Z tego powodu wielu inżynierów zapomniało wszystkie twierdzenia rachunku, ale to, co pozostało, to ważne ramy koncepcyjne metody i zastosowania. Inżynierowie często żartobliwie przyznają: „Nie znamy całej matematyki, ale znamy wynik końcowy! ”

Dobry zmysł inżynierski jest zdefiniowany jako zdolność do szybkiego zidentyfikowania problemu, wymyślić praktyczne rozwiązania, a następnie wybrać najbardziej efektywną opcję. Wiele problemów w świecie rzeczywistym są niezależne od skomplikowanej matematyki, ale to samo systematyczne podejście naukowe jest wymagane do ich rozwiązania. Zastosowanie zdrowej logiki jest wszystkim, co jest wymagane, aby zredukować złożoność do prostoty.

Wcześnie we wstępie stwierdziłem, że twierdzenie, iż ktoś potrzebuje rachunku, aby zostać naukowcem, było przesadą. Ci inżynierowie i naukowcy, którzy poradzili sobie z pobieżną znajomością tego przedmiotu, należą do sfery pseudonaukowców i szarlatanów. Jak pisał Ortega, pseudonaukowiec „rozwija naukę, którą ledwie zna, i siłą rzeczy powiększa encyklopedię wiedzy, której sumiennie nie zna…”. To dreszczyk emocji i oświecenie wynikające ze zrozumienia natury napędza naukowca. Inżynier posuwa naukę o krok dalej, aby kontrolować naturę tak, by odpowiadała potrzebom człowieka. Zarówno inżynier jak i naukowiec podzielają głębokie uznanie dla działania natury; uznanie, które rozwija się w mądrość.

Dlatego cel studiowania rachunku jest dwojaki. Pierwszym z nich jest zapoznanie się z podstawowymi pojęciami matematyki używanymi do badania prawie każdego rodzaju zmieniających się zjawisk w kontrolowanym otoczeniu. Po drugie, studia nad rachunkiem rozwiną w Tobie nieoceniony zmysł naukowy i praktyczne umiejętności rozwiązywania problemów inżynierskich. Zrozumiesz, jak myśleć logicznie, aby zredukować nawet najbardziej złożone systemy do kilku współdziałających elementów. W miarę studiowania głównych pojęć, teorii i przykładów zawartych w tej książce, twój umysł przekształci się w potężny instrument systematyczny.

Aby zakończyć na humorystycznej nucie, przeczytaj następujący satyryczny esej z The Onion w rozdziale o roku 1925 w książce Our DumbCentury.

Czy powinniśmy uczyć nasze dzieci faktów? Nie, mówię, po tysiąckroć nie! Jak wyrosną na przyszłych rolników, gospodynie domowe, pracowników młynów i górników, fakty są ostatnimi rzeczami, których będą potrzebować. Maniery! Posłuszeństwo! Przede wszystkim posłuszeństwo! Mówić tylko wtedy, kiedy się do nich mówi, i nie sprawiać kłopotów! To są zasady, na których opierał się nasz system edukacyjny. Dlaczego, na Boga, mielibyśmy go zastąpić systemem, który zachęca ignoranta do zadawania pytań? Dobry obywatel nie robi nic podobnego. Jest zadowolony z powodów, które otrzymywał od swoich przełożonych.

Pytania

1. Czy Bóg stworzył człowieka, czy człowiek stworzył Boga? Niektórzy twierdzą, że człowiek i natura są zbyt dobrze stworzone, aby mogły powstać przypadkowo. Wiele praw fizycznych tego wszechświata musi być stworzonych przez stwórcę, tak jak prawa ruchu drogowego są stworzone przez człowieka. Podczas gdy ewolucja może wydawać się przypadkowa, jest ona w rzeczywistości kumulacją nieskończonych zmian w czasie. To, co widzimy, to tylko stan obecny, a nie nieskończone warstwy, które zostały ułożone w ciągu wieczności. Z tego powodu łatwo jest dojść do wniosku, że obecny stan jest zbyt doskonały, by go zrozumieć. Ale kiedy studiuje się, jak przebiega każda warstwa ewolucji, dość łatwo zrozumieć, jak można osiągnąć złożoność z najprostszych zmian nagromadzonych w czasie. Skomentuj to pytanie w odniesieniu do twoich poglądów na religię i naukę.
2. Paradoksem życia jest to, że trzeba cierpieć, aby się nim cieszyć. Albo rozważ cytat ojca nowoczesnego ruchu olimpijskiego: „Najważniejszą rzeczą w igrzyskach olimpijskich nie jest zwycięstwo, ale udział, tak jak najważniejszą rzeczą w życiu nie jest triumf, ale walka. Najważniejsze jest nie to, by zwyciężyć, ale by dobrze walczyć. „Co o tym sądzisz? Czy w życiu chodzi o osiągnięcia, czy o drogę do tych osiągnięć?
3. Świat zawiera tysiące kultur. Każda kultura ma swój własny zestaw moralności i norm, według których społeczeństwo stara się żyć. To, co jedna kultura uważa za dobre, inna może uznać za tabu. Podczas gdy większość ludzi jest z gruntu dobra, istnieje niewielka spójność wśród społecznie akceptowanych zachowań. Czy moralność jest absolutna, czy też istnieje tylko w odniesieniu do siebie nawzajem? Innymi słowy, czy uważasz, że pewne działania mogą być oceniane jako czysto dobre lub złe, bez względu na osobiste wychowanie? Jakie aspekty twojej kultury mogłyby być postrzegane jako dziwne lub negatywne dla kogoś z innej kultury?

Następna sekcja ->Sekcja 1.2 – Dlaczego nie należy uczyć się rachunków

.