Wyobraź sobie, że walczysz w wojnie na 10 polach bitew. Ty i twój przeciwnik macie po 200 żołnierzy, a waszym celem jest wygranie jak największej liczby bitew. Jak rozmieścilibyście swoje wojska? Jeśli rozłożyłbyś je równomiernie, wysyłając po 20 na każde pole bitwy, twój przeciwnik mógłby skoncentrować swoje oddziały i z łatwością wygrać większość walk. Mógłbyś spróbować samemu obezwładnić kilka miejsc, ale nie ma gwarancji, że wygrasz, a pozostałe pola bitew pozostawisz słabo bronione. Opracowanie zwycięskiej strategii nie jest łatwe, ale tak długo, jak żadna ze stron nie zna planu drugiej z góry, jest to uczciwa walka.

Teraz wyobraź sobie, że twój przeciwnik ma moc rozmieszczenia twoich wojsk, jak również swoich własnych. Nawet jeśli masz więcej wojska, nie możesz wygrać.

W wojnie politycznej, ta moc rozmieszczania sił pochodzi z gerrymanderingu, odwiecznej praktyki manipulowania okręgami wyborczymi dla partyzanckich korzyści. Określając, kto gdzie głosuje, politycy mogą przechylić szalę na swoją korzyść i pokonać swoich przeciwników, zanim jeszcze rozpocznie się bitwa.

W 1986 roku Sąd Najwyższy uznał skrajne partyzanckie gerrymandry za niekonstytucyjne. Jednak bez wiarygodnego testu pozwalającego zidentyfikować niesprawiedliwe mapy okręgów wyborczych, sąd nie odrzucił jeszcze żadnej z nich. Teraz, gdy sąd najwyższy w kraju wysłuchuje argumentów za i przeciw prawnemu zakwestionowaniu mapy okręgów zgromadzenia stanowego Wisconsin, matematycy są na pierwszej linii frontu w walce o sprawiedliwość wyborczą.

Prosta matematyka może pomóc sprytnym politykom narysować okręgi, które dają ich partii ponadprzeciętne wpływy, ale matematyka może również pomóc zidentyfikować i naprawić te sytuacje. Minionego lata Metric Geometry and Gerrymandering Group, prowadzona przez matematyka Moona Duchina, zebrała się na Uniwersytecie Tufts, częściowo w celu omówienia nowych narzędzi matematycznych do analizy i rozwiązania problemu gerrymanderingu. Luka w efektywności” jest prostą ideą leżącą u podstaw niektórych narzędzi rozważanych przez Sąd Najwyższy. Przyjrzyjmy się tej koncepcji i niektórym jej konsekwencjom.

Zacznijmy od wyobrażenia sobie stanu z 200 wyborcami, z których 100 jest lojalnych wobec partii A i 100 wobec partii B. Załóżmy, że stan musi wybrać czterech przedstawicieli, a więc musi stworzyć cztery okręgi o równej wielkości wyborczej.

Wyobraźmy sobie, że masz prawo przypisać wyborców do dowolnego okręgu. Jeśli faworyzujesz partię A, możesz rozdzielić 100 wyborców A i 100 wyborców B do czterech okręgów w ten sposób:

.

.

Przy tak skonstruowanych okręgach, partia A wygrywa trzy z czterech wyborów. Oczywiście, jeśli wolisz partię B, możesz rozdzielić wyborców w ten sposób:

.

Tutaj, wyniki są odwrotne, a partia B wygrywa trzy z czterech wyborów.

Zauważmy, że w obu scenariuszach ta sama liczba wyborców o tych samych preferencjach głosuje w tej samej liczbie wyborów. Zmiana jedynie dystrybucji wyborców pomiędzy okręgami dramatycznie zmienia wyniki. Zdolność do określania okręgów wyborczych daje dużą władzę, a zwrócenie uwagi na prostą matematykę jest wszystkim, co jest potrzebne do stworzenia przewagi wyborczej.

A co jeśli, zamiast tworzyć przewagę dla jednej partii nad drugą, chciałbyś użyć swojej władzy do stworzenia sprawiedliwych okręgów? Po pierwsze, trzeba by określić, co znaczy „sprawiedliwy”, a to może być trudne, ponieważ zwycięzcy i przegrani często mają różne spojrzenia na sprawiedliwość. Ale jeśli zaczniemy od pewnych założeń dotyczących tego, co „sprawiedliwy” oznacza, możemy spróbować określić sprawiedliwość różnych rozkładów głosów. Możemy spierać się o te założenia i ich implikacje, ale poprzez przyjęcie modelu matematycznego możemy spróbować porównać różne scenariusze. Luka wydajności jest jednym z podejść do ilościowego określenia uczciwości dystrybucji wyborców.

Aby zrozumieć lukę wydajności, możemy zacząć od obserwacji, że w serii powiązanych ze sobą wyborów, nie wszystkie głosy mają taki sam wpływ. Niektóre głosy mogą zrobić dużą różnicę, a niektóre głosy mogą być uznane za „zmarnowane”. Dysproporcja w zmarnowanych głosach to luka efektywności: Mierzy ona, jak równo, lub nierówno, zmarnowane głosy są rozdzielane pomiędzy konkurujące partie.

Co więc liczy się jako zmarnowany głos? Rozważmy rolę Kalifornii w wyborach prezydenckich. Od 1992 r. Kalifornia zawsze popierała demokratycznego kandydata na prezydenta. Dlatego kalifornijscy republikanie wiedzą, że prawie na pewno popierają przegranego kandydata. W pewnym sensie ich głos jest zmarnowany: jeśli pozwolono by im głosować w losowo wybranym stanie, takim jak Floryda, ich głos mógłby mieć większe znaczenie. Z perspektywy republikanów byłoby to bardziej efektywne wykorzystanie ich głosu.

Jak się okazuje, wyborcy demokratyczni w Kalifornii mogą wysuwać podobny argument o marnowaniu ich głosu. Ponieważ kandydat Demokratów prawdopodobnie wygra w Kalifornii w wyniku osuwiska, wiele z ich głosów, w pewnym sensie, również jest zmarnowanych: Niezależnie od tego, czy kandydat wygra w Kalifornii z 51 procentami głosów, czy 67 procentami głosów, wynik jest taki sam. Te dodatkowe zwycięskie głosy są bez znaczenia.

Tak więc, w kontekście luki w efektywności, istnieją dwa rodzaje zmarnowanych głosów: te na przegrywającego kandydata i te na wygrywającego kandydata, które wykraczają poza to, co jest konieczne do zwycięstwa (dla uproszczenia, przyjmujemy, że próg zwycięstwa wynosi 50 procent, nawet jeśli technicznie rzecz biorąc może to skutkować remisem; rzeczywisty remis jest bardzo mało prawdopodobny przy setkach tysięcy wyborców w każdym okręgu kongresowym). W wyborach w wielu okręgach, każda partia prawdopodobnie będzie miała zmarnowane głosy każdego rodzaju. Luka efektywności jest różnicą w sumie zmarnowanych głosów dla każdej partii, wyrażoną jako procent wszystkich oddanych głosów. (Odejmujemy mniejszą liczbę od większej, gdy jest to możliwe, aby zapewnić nieujemną lukę efektywności. Moglibyśmy również wziąć wartość bezwzględną różnicy.)

Powróćmy do naszych scenariuszy dla czterech okręgów i zbadajmy ich luki efektywności. Nasz pierwszy rozkład wyglądał następująco.

W tym scenariuszu, 75 z głosów B jest zmarnowanych: 60 w przegranych sprawach i 15 więcej niż 25 potrzebnych do wygrania okręgu 4. Tylko 25 głosów partii A jest zmarnowanych: 5 dodatkowych głosów w każdym zwycięstwie i 10 głosów przegrywających. Surowa różnica w zmarnowanych głosach wynosi 75 – 25 = 50, więc luka efektywności wynosi tutaj 50/200 = 25 procent. Mówimy, że 25-procentowa luka efektywności faworyzuje partię A, ponieważ partia B miała większą liczbę zmarnowanych głosów. W drugim scenariuszu, gdzie liczby są odwrócone, 25 procent luki wydajności teraz faworyzuje partię B.

Czy luka wydajności może dać nam poczucie sprawiedliwości dystrybucji? Cóż, jeśli miałbyś władzę tworzenia okręgów wyborczych i chciałbyś zaprojektować zwycięstwa dla swojej partii, twoją strategią byłoby zminimalizowanie zmarnowanych głosów dla twojej partii i zmaksymalizowanie zmarnowanych głosów dla twojego przeciwnika. W tym celu stosuje się technikę znaną pod barwną nazwą „packing and cracking”: Głosy opozycji są pakowane do niewielkiej liczby okręgów, a pozostały blok głosów jest rozbijany i rozrzucany cienką warstwą po reszcie okręgów, aby zminimalizować ich wpływ. Ta praktyka naturalnie tworzy duże luki w efektywności, więc możemy oczekiwać, że bardziej sprawiedliwe dystrybucje będą miały mniejsze luki.

Przyjrzyjrzyjmy się bliżej lukom w efektywności, wyobrażając sobie stan, w którym mamy 200 wyborców, podzielonych na 10 równych okręgów. Rozważmy następujący rozkład głosów, w którym partia A wygrywa w 9 z 10 okręgów.

..

Na pozór, nie wygląda to na sprawiedliwy podział wyborców. Co mówi luka efektywności?

W tym scenariuszu, prawie wszystkie głosy partii B są zmarnowane: dziewięć przegranych głosów w każdym z dziewięciu okręgów, plus dziewięć nadmiarowych głosów w jednym zwycięstwie, co daje w sumie 90 zmarnowanych głosów. Wyborcy Partii A są znacznie bardziej efektywni: tylko 10 głosów jest zmarnowanych. Jest różnica 90 – 10 = 80 zmarnowanych głosów i różnica w efektywności 80/200 = 40 procent, faworyzująca partię A.

Porównaj to z następującym rozkładem, gdzie partia A wygrywa 7 z 10 okręgów.

.

TUTAJ, zmarnowanych głosów jest 70 dla partii B i 30 dla partii A, co daje różnicę efektywności 40/200 = 20 procent. Pozornie sprawiedliwsza dystrybucja skutkuje mniejszą luką efektywności.

Jako ostatnie ćwiczenie, rozważmy ten równy podział wyborów w okręgu.

.

Już sama symetria sugeruje odpowiedź, a obliczenia ją potwierdzają: 50 zmarnowanych głosów dla każdej partii oznacza 0-procentową różnicę efektywności. Zauważmy, że 0 procentowa luka efektywności odpowiada niezależnemu pojęciu sprawiedliwości: Mianowicie, z wyborcami w całym stanie równo podzielonymi pomiędzy obie partie, wydaje się rozsądne, że każda partia wygrałaby połowę wyborów.

Te elementarne przykłady demonstrują użyteczność luki efektywności jako miary uczciwości wyborczej. Jest ona łatwa do zrozumienia i obliczenia, jest przejrzysta, a jej interpretacje są zgodne z innymi pojęciami sprawiedliwości. To prosty pomysł, ale jest on wykorzystywany na wiele złożonych sposobów do badania gerrymanderingu. Na przykład, matematycy używają obecnie symulacji, aby rozważyć miliony teoretycznych map wyborczych dla danego stanu, a następnie zbadać rozkład wszystkich możliwych luk w efektywności. Nie tylko tworzy to kontekst do oceny uczciwości obecnej mapy w stosunku do innych możliwości, ale może być również potencjalnie wykorzystane do zasugerowania bardziej sprawiedliwych alternatyw.

Chociaż wyborcy nie są w rzeczywistości przypisani do okręgów w sposób, który wyobraziliśmy sobie w naszych przykładach, praktyka gerrymanderingu osiąga podobne rezultaty. Poprzez strategiczne wytyczanie granic okręgów wyborczych, gerrymanderzy mogą kształtować rozkład głosów w celu stworzenia nierównych warunków wyborczych. Te niesprawiedliwe walki wpływają na sposób, w jaki jesteśmy rządzeni, i pomagają zasiedziałym członkom partii większościowej ubiegać się o reelekcję w kolejnych kadencjach. Sprawa rozpatrywana przez Sąd Najwyższy dotyczy tylko jednej z wielu potencjalnie niesprawiedliwych map. Obiektywne narzędzia matematyczne, takie jak luka efektywności, mogą być jedynym sposobem na wykorzenienie gerrymanderingu i utrzymanie naszych politycznych pól bitewnych w równowadze.

Pobierz arkusz PDF „Doing the Political Math”, aby przećwiczyć te koncepcje lub podzielić się nimi z uczniami.