Jest wiele dowodów. Mój ulubiony brzmi tak. Podobno jest to zasługa bardzo młodego Alberta Einsteina, ale trudno to zweryfikować.

Trójkąty proste mają zgrabną własność, gdzie, biorąc pod uwagę trójkąt prosty, możesz narysować linię prostopadłą do przeciwprostokątnej, która przechodzi przez kąt prosty, a ta linia dzieli trójkąt na dwie mniejsze kopie samego siebie. Linia ta nazywana jest wysokością. Tutaj jest obrazek jak to działa. Powinieneś być w stanie przekonać się, że mniejsze trójkąty utworzone przez wysokość są w rzeczywistości kopiami dużego trójkąta – ma to związek z faktem, że kąty trójkąta sumują się do 180 stopni.

W każdym razie, zaczyna się. Po pierwsze, pomyślmy o twierdzeniu, nie jako o wzorze, ale jako o twierdzeniu o geometrii. Twierdzenie mówi, że dla trójkąta prostokątnego o bokach a, b i c (gdzie przeciwprostokątna to c), pole kwadratu o boku c jest równe sumie pól kwadratów o bokach a i b. Oto ilustracja. Suma pól powierzchni kwadratów niebieskiego i pomarańczowego jest równa polu powierzchni kwadratu fioletowego.

Aby to udowodnić, rozważ dowolny trójkąt prosty o bokach a, b, c, i używając wysokości, podziel go na małe kopie samego siebie, jak omówiliśmy powyżej. Możesz chcieć wziąć długopis i narysować diagramy, aby podążać za tym. Będziemy myśleć o polach małych kopii, jak również dużego trójkąta, więc nadajmy im nazwy. Niech A będzie polem małego trójkąta z przeciwprostokątną a, B będzie polem małego trójkąta z przeciwprostokątną b, a C będzie polem dużego trójkąta (z przeciwprostokątną c, oczywiście). Ponownie, narysuj obraz, jeśli nie możesz zobaczyć tego w swoim umyśle.

Teraz, wyraźnie: A + B = C. Zapamiętaj to i odłóż na bok.

Zauważ, że wszystkie kwadraty mają boki równe przeciwprostokątnym odpowiadających im trójkątów. Pomyślmy teraz o małym domku utworzonym wzdłuż boku a – czyli o trójkącie o polu A i kwadracie o polu a2. Niech r będzie stosunkiem pola trójkąta w kształcie domku do pola kwadratu, tak że

A = ra2

W zależności od tego, jak narysowałeś ten trójkąt, r może być duże lub małe. Zabawną rzeczą w tym dowodzie jest to, że r w końcu nam pomaga, mimo że nie ma znaczenia jaka ona jest.

Przestańmy skupiać się na kształcie domu utworzonego wzdłuż boku b. Teraz, ponieważ trójkąt o polu powierzchni B jest dokładną kopią trójkąta o polu powierzchni A, ale po prostu ma inny rozmiar (chyba, że zdarzyło Ci się narysować trójkąt równoramienny, w którym to przypadku jest on również tego samego rozmiaru), stosunek pomiędzy polami tego trójkąta i odpowiadającego mu kwadratu jest taki sam. To znaczy, ponieważ ten kształt domu jest po prostu skalowaną kopią pierwszego kształtu domu, ta sama zależność obowiązuje:

B = rb2

Wreszcie, możesz zobaczyć, że ta sama zależność będzie obowiązywać dla największego kształtu domu, wykonanego z oryginalnego trójkąta, ponieważ jest on po prostu skalowaną kopią również mniejszych.

C = rc2

Połączenie tych ostatnich tożsamości z pierwszym równaniem, możemy napisać

ra2 + rb2 = rc2

Podzielenie przez r daje pożądany wynik 🙂

.