Rozwiązanie krok po kroku :

Polynomial Roots Calculator :

1.1 Find roots (zeroes) of : F(x) = x5-x-1
Polynomial Roots Calculator to zestaw metod mających na celu znalezienie wartości x, dla których F(x)=0
Rational Roots Test jest jednym z wyżej wymienionych narzędzi. Znajdzie on tylko Racjonalne Korzenie, czyli liczby x, które mogą być wyrażone jako iloraz dwóch liczb całkowitych
Twierdzenie Racjonalnych Korzeni mówi, że jeśli wielomian zeruje się dla racjonalnej liczby P/Q to P jest czynnikiem Stałej Wleczonej, a Q jest czynnikiem Współczynnika Wiodącego
W tym przypadku Współczynnik Wiodący wynosi 1, a Stała Wleczona -1.
Faktorem (czynnikami) są:
współczynnika wiodącego : 1
stałej wleczonej : 1
Sprawdźmy …..

.

Kalkulator pierwiastków wielomianowych nie znalazł żadnych racjonalnych korzeni

Rozwiązanie równania na końcu kroku 1 :

 x5 - x - 1 = 0 

Krok 2 :

Rozwiązanie równań rzędu 5 lub wyższych :

2.1 Rozwiąż x5-x-1 = 0
Punkty dotyczące równań stopnia piątego lub wyższego.
(1) Nie ma ogólnej metody (wzoru) na rozwiązywanie równań wielomianowych stopnia piątego lub wyższego.
(2) Zgodnie z Podstawowym Twierdzeniem Algebry, jeśli dopuścimy liczby zespolone, równanie stopnia n będzie miało dokładnie n rozwiązań
(To jest, jeśli policzymy podwójne rozwiązania jako 2 , potrójne rozwiązania jako 3 i tak dalej
) (3) Na mocy twierdzenia Abela-Ruffiniego, rozwiązania nie zawsze można przedstawić w konwencjonalny sposób, używając tylko skończonej ilości dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia lub wyciągania pierwiastków

(4) Jeżeli F(x) jest wielomianem stopnia nieparzystego o współczynnikach rzeczywistych, to równanie F(X)=0 ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste.
(5) Używając metod takich jak Metoda bisekcji, rozwiązania rzeczywiste mogą być aproksymowane z dowolną dokładnością.

Aproksymacja pierwiastka za pomocą Metody bisekcji :

Użyjemy teraz Metody bisekcji do aproksymacji jednego z rozwiązań. Metoda bisekcji to iteracyjna procedura aproksymacji korzenia (korzeń to inna nazwa rozwiązania równania).
Funkcja ma postać F(x) = x5 – x – 1
Przy x= 1.00 F(x) jest równe -1.00
Przy x= 2.00 F(x) jest równe 29.00
Intuicyjnie czujemy, i słusznie, że skoro F(x) jest ujemne po jednej stronie przedziału, a dodatnie po drugiej stronie to gdzieś wewnątrz tego przedziału F(x) jest równe zero
Procedura :
(1) Znajdź punkt „Lewy” gdzie F(Lewy) < 0
(2) Znajdź punkt „Prawy” gdzie F(Prawy) > 0
(3) Oblicz „Środek” punkt środkowy przedziału
(4) Oblicz Wartość = F(Środkowy)
(5) Jeżeli Wartość jest wystarczająco bliska zeru goto Krok (7)
Else :
If Value < 0 then : Left <- Middle
If Value > 0 then : Right <- Middle
(6) Loop back to Step (3)
(7) Done!! Znaleziona aproksymacja to Middle
Prześledź ruchy Middle, aby zrozumieć jak to działa :

 Left Value(Left) Right Value(Right) 1.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 0.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 1.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 1.000000000 -1.000000000 1.500000000 5.093750000 1.000000000 -1.000000000 1.250000000 0.801757812 1.125000000 -0.322967529 1.250000000 0.801757812 1.125000000 -0.322967529 1.187500000 0.173892021 1.156250000 -0.089639038 1.187500000 0.173892021 1.156250000 -0.089639038 1.171875000 0.038197125 1.164062500 -0.026683718 1.171875000 0.038197125 1.164062500 -0.026683718 1.167968750 0.005513586 1.166015625 -0.010645540 1.167968750 0.005513586 1.166992188 -0.002581134 1.167968750 0.005513586 1.166992188 -0.002581134 1.167480469 0.001462432 1.167236328 -0.000560299 1.167480469 0.001462432 1.167236328 -0.000560299 1.167358398 0.000450830 1.167297363 -0.000054794 1.167358398 0.000450830 1.167297363 -0.000054794 1.167327881 0.000198003 1.167297363 -0.000054794 1.167312622 0.000071601 1.167297363 -0.000054794 1.167304993 0.000008403 1.167301178 -0.000023196 1.167304993 0.000008403

Następny Middle zbliży nas wystarczająco do zera:
F( 1.167304039 ) wynosi 0.000000503
Pożądanym przybliżeniem rozwiązania jest:
x ≓ 1.167304039
Uwaga, ≓ jest symbolem przybliżenia

Znaleziono jedno rozwiązanie :

.