Ci sono molte prove. La mia preferita è questa. Apparentemente è dovuta a un giovanissimo Albert Einstein, ma sembra difficile da verificare.

I triangoli retti hanno una proprietà chiara per cui, dato un triangolo retto, si può tracciare una linea perpendicolare all’ipotenusa che passa attraverso l’angolo retto, e questa linea divide il triangolo in due copie più piccole di se stesso. Quella linea è chiamata altitudine. Ecco un’immagine di come funziona. Dovresti essere in grado di convincerti che i triangoli più piccoli formati dall’altitudine sono effettivamente copie del triangolo grande – ha a che fare con il fatto che gli angoli di un triangolo si sommano a 180 gradi.

Perciò, ecco qui. Prima di tutto, pensiamo al teorema, non come una formula, ma come un’affermazione sulla geometria. Il teorema dice che per un triangolo rettangolo con lati a, b e c (dove l’ipotenusa è c), l’area del quadrato il cui lato è c è uguale alla somma delle aree dei quadrati i cui lati sono a e b. Ecco un’illustrazione. La somma delle aree dei quadrati blu e arancione è uguale all’area del quadrato viola.

Per dimostrarlo, considera un triangolo rettangolo arbitrario con lati a, b, c, e usando l’altitudine, dividilo nelle piccole copie di se stesso come abbiamo discusso sopra. Potresti voler prendere una penna e disegnare dei diagrammi per seguire qui. Penseremo alle aree delle piccole copie, così come al triangolo grande, quindi diamogli dei nomi. Sia A l’area del piccolo triangolo con ipotenusa a, B l’area del piccolo triangolo con ipotenusa b, e C l’area del triangolo grande (con ipotenusa c, ovviamente). Di nuovo, fai un disegno se non riesci a vedere questo nella tua mente.

Ora, chiaramente: A + B = C. Ricordatelo e mettetelo da parte.

Nota che i quadrati hanno tutti lati uguali all’ipotenusa dei loro triangoli corrispondenti. Pensiamo per ora alla forma della casetta formata lungo il lato a – cioè il triangolo con area A e il quadrato con area a2. Sia r il rapporto tra l’area del triangolo nella forma della casa e l’area del quadrato, così che

A = ra2

A seconda di come hai disegnato il triangolo all’inizio, r potrebbe essere grande o piccolo. La cosa divertente di questa dimostrazione è che r finisce per aiutarci anche se non importa quale sia.

Sposteremo la nostra attenzione sulla forma della casa formata lungo il lato b. Ora, poiché il triangolo con area B è una copia esatta del triangolo con area A, ma solo una dimensione diversa (a meno che non vi sia capitato di disegnare un triangolo isoscele, nel qual caso è anche la stessa dimensione), il rapporto tra le aree di quel triangolo e del suo quadrato corrispondente è lo stesso. Cioè, poiché questa forma di casa è solo una copia in scala della prima forma di casa, la stessa relazione vale:

B = rb2

Infine, potete vedere che la stessa relazione vale per la forma di casa più grande, fatta dal triangolo originale, poiché è solo una copia in scala di quelle più piccole.

C = rc2

Combinando queste ultime identità con la prima equazione, possiamo scrivere

ra2 + rb2 = rc2

Dividendo per r si ottiene il risultato desiderato 🙂