Probabilità Yahtzee
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Santa ha portato ai miei figli il gioco Yahtzee per Natale. Ci abbiamo giocato spesso la sera. Quando viene lanciato uno Yahtzee, i miei figli si scatenano. In questo post del blog esaminerò la probabilità di lanciare uno Yahtzee. |
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Yahtzee è un gioco giocato con cinque dadi a sei facce. Un giocatore lancia i dadi, esamina i risultati e può tenere tutti i dadi che vuole, rilanciando il resto. Dopo il secondo lancio, il processo viene ripetuto (se si desidera, il giocatore può ritirare i dadi tenuti nel primo turno). Dopo (fino a) tre lanci, i dadi ricevono un punteggio secondo varie categorie. Lo Yahtzee (con un punteggio di 50 punti) si ottiene ottenendo tutti e cinque i dadi uguali. |
Assunzioni
Assumiamo che il giocatore sia un giocatore intelligente, e che ad ogni punto di decisione faccia le scelte più intelligenti possibili di rilancio e tenuta.
La probabilità di ottenere uno Yahtzee in un singolo lancio è facile da calcolare. Ci sono cinque dadi, quindi qualunque sia il lancio del primo dado c’è una probabilità di 1/6 che il secondo dado sia lo stesso numero. Se questo accade, c’è 1/6 di possibilità che il terzo dado sia lo stesso, idem il quarto e il quinto.
Quindi la probabilità di Yahztee in un solo lancio è 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/1296.
Con tre lanci e la tenuta, tuttavia, le cose diventano un po’ più complicate. Il numero di dadi che lanciamo ogni turno può essere cambiato, e ci sono molte possibili combinazioni da considerare. Poiché lo stato dei dadi all’inizio di ogni lancio è indipendente da come i dadi sono stati lanciati, questa è un’occasione perfetta per tirare fuori uno dei miei strumenti preferiti, la Catena di Markov (per maggiori informazioni su questo, vedi i miei post precedenti su CandyLand e Chutes and Ladders).
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Prima di addentrarci nella Catena di Markov, tuttavia, ci sarà utile esaminare i vari modi in cui le combinazioni di dadi possono essere lanciate. Questo esercizio semplificherà notevolmente la creazione della matrice di transizione (fidatevi di me su questo). Ecco qui… |
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2 dadi |
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Questo è il caso banale. Ci sono solo due schemi per il modo in cui due dadi possono essere lanciati. O corrispondono, o non corrispondono. C’è una probabilità di 1/6 che il secondo dei due dadi corrisponda al primo e, al contrario, c’è una probabilità di 5/6 che non corrisponda. Le probabilità, naturalmente, devono sommarsi a 1 (uno dei due eventi deve verificarsi).
Un altro modo di vedere la cosa è che ci sono 36 possibili combinazioni per due dadi da lanciare. In sei di queste combinazioni {1.1}, {2,2}, {3,3}, {4,4}, {5,5}, {6,6} i numeri sono gli stessi, e in 30 di queste combinazioni, i dadi sono diversi.
Questi risultati sono mostrati graficamente nell’immagine sopra. C’è un 6/36 di possibilità che entrambi i dadi siano uguali, rappresentato come {A,A}, e un 30/36 di possibilità che siano diversi, rappresentato come {A,B}
3 dadi |
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Questo diventa un po’ più complesso, ma non molto. Qui ci sono tre possibili gusti di risultato per i tre dadi: O sono tutti uguali, o sono tutti diversi, o ce ne saranno due di un numero e uno di un altro. Ci sono 216 modi possibili in cui tre dadi possono essere lanciati (6 x 6 x 6).
Possiamo calcolare la probabilità che siano tutti uguali, facilmente, come 1/6 x 1/6 = 1/36 (Il secondo dado corrisponde al primo 1 volta su 6, e il terzo dado corrisponde, di nuovo, 1 volta su 6).
In alternativa, possiamo immaginare che, dei 216 modi possibili in cui i dadi possono atterrare, ci sono sei modi possibili quando sono tutti uguali: {1,1,1}, {2,2,2}, {3,3,3}, {4,4,4}, {5,5,5}, {6,6,6}.
La probabilità che siano tutti diversi può essere calcolata usando la seguente logica: Il primo dado può essere quello che vuole, poi per il secondo dado c’è un 5/6 di probabilità che non sia lo stesso numero del primo dado. Infine, c’è un 4/6 di probabilità che il terzo dado sia diverso dai primi due. Quindi, la probabilità che tutti i dadi siano diversi è 5/6 x 4/6 = 20/36 che può essere non semplificata a 120/216. Ci sono 120 possibili combinazioni dei 216 possibili risultati in cui tutti e tre i dadi sono diversi {A,B,C}.
Poiché sappiamo che il totale di tutte le probabilità per il modo in cui tre dadi rotolano deve sommare a 1,0 possiamo dedurre che la probabilità che due dei dadi siano uguali {A,A,B} è 90/216 (che è 1 – 6/216 – 120/216).
(Se volete convincervi di questo, pensatelo in questo modo: Ci sono sei possibili valori che A potrebbe essere, cinque possibili valori di ciò che B potrebbe essere, e tre possibili scelte di quale dado potrebbe essere B. Questo è 6 x 5 x 3 = 90 combinazioni su 216).
4 dadi |
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Le cose iniziano a diventare un po’ più complesse ora. Possono essere tutti uguali, tutti diversi, tre di un tipo, due lotti di due coppie, o una coppia con due diversi singleton.
Ci sono 1296 modi in cui quattro dadi possono essere disposti (6 x 6 x 6 x 6). I risultati sono mostrati qui sotto:
Dobbiamo fare molta attenzione qui, perché non vogliamo contare due volte. Quando contiamo i due lotti di due coppie, dobbiamo assicurarci di non contare inavvertitamente {5,5,5,5} come due serie di doppi cinque e metterlo nel secchio {A,A,B,B}, perché in realtà è un quattro di un tipo e deve essere nel secchio {A,A,A,A}. Se contiamo due volte, le probabilità diventeranno maggiori di 1,0!
Derivare la tabella di cui sopra può essere fatto in una varietà di modi. Quelli di voi che hanno studiato matematica all’università potrebbero usare un’espansione binomiale per calcolare le permutazioni. In alternativa, come abbiamo discusso nella pagina dell’analisi del rischio, il numero di combinazioni è così piccolo (solo 1296) che potreste voler semplicemente forzare brutalmente tutte le combinazioni nel codice e contarle.
In realtà è un buon esercizio mentale lavorare sulla derivazione di questi numeri per convincersi che i numeri sono corretti. Per esempio {A,A,A,A} è 1/6 x 1/6 x 1/6 per le probabilità che il secondo, il terzo e il quarto dado corrispondano al primo. (Pensiero alternativo, è che ci sono solo sei modi per ottenere quattro di un genere = 6/1296).
Per un tris {A,A,A,B} ci sono sei possibili numeri che A potrebbe essere, e cinque possibili numeri che B potrebbe essere, e quattro posizioni per il dado B, che è 6 x 5 x 4 combinazioni = 120/1296.
Perché tutti i dadi siano diversi {A,B,C,D} c’è un 5/6 di possibilità che il secondo dado sia diverso dal primo, e un 4/6 che il terzo sia unico, e 3/6 di possibilità che lo sia il quarto. 5/6 x 4/6 x 3/6 = 60/216 = 360/1296.
Nota interessante – Per inciso, quando si lanciano quattro dadi, il risultato più probabile è che si ottiene una coppia, e c’è una probabilità maggiore del 72.2% di possibilità di ottenere almeno una coppia (720+90+120+6)/1296
5 dadi |
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Ora le cose si fanno un po’ impegnative! Ci sono 7776 combinazioni possibili per cinque dadi. I risultati sono mostrati qui sotto. Nell’interesse della brevità, non le deriverò tutte qui (forse in un futuro post sul blog), e mostrerò semplicemente i risultati in modo da poter tornare alla catena di Markov.
Nota interessante – La probabilità di lanciare un FullHouse in un lancio è 300/7776 contro un quattro di un tipo a solo 150/7776. Secondo le nostre regole, un full house segna 25 punti e (al massimo), il four of a kind può segnare 30 punti (tutti i sei – bonus Yahtzee escluso), quindi il full house è una facile raccolta di punti, essendo due volte più facile che ottenere un four of a kind!
Nota interessante – Con cinque dadi, c’è 7056/7776 possibilità di ottenere una coppia o meglio al primo lancio (90.7%)
Torniamo a Markov
Per eseguire la nostra analisi di Markov, dobbiamo creare una matrice di transizione che definisce la probabilità di muoversi tra ogni stato.
Come stati, selezionerò il numero di dadi corrispondenti nel set, quindi abbiamo 5 stati: 1,2,3,4,5 (Qui, “1” dado corrispondente potrebbe anche essere descritto come un singleton). Questo risulta in una matrice di 25 elementi.
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La nostra matrice sarà di natura triangolare superiore (abbiamo fatto l’ipotesi di un giocatore intelligente quindi, se c’è un lancio di tre di un tipo, non abbiamo intenzione di suggerire che il giocatore rilanci una parte di questo per arrivare ad uno Yahtzee!) La matrice di transizione mostrerà le probabilità di passare da qualsiasi stato allo stesso stato o a uno superiore. Ecco la matrice di transizione. Abbiamo bisogno di popolare ogni posizione che contiene un ‘?’ con la probabilità di passare dallo stato rappresentato dal numero di colonna allo stato rappresentato dal numero di riga. (Tutte le altre posizioni hanno probabilità zero). Ecco qui… |
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Le prime voci sono facili da riempire. La probabilità di passare dallo stato 5 allo stato 5 è 1,0 Una volta ottenuto uno Yahtzee, lo terremo e non lanceremo altri dadi, quindi c’è il 100% di certezza di rimanere in questo stato! Se attualmente abbiamo 4 dadi corrispondenti, c’è 1/6 di probabilità che lanceremo il numero corretto per fare 5, e corrispondentemente un 5/6 di rimanere nello stato 4. La natura stocastica della matrice di transizione è mantenuta perché la riga di questa matrice si somma a 1.0 (Qualcosa deve succedere, e sarà uno di questi cambiamenti di stato). |
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Per lo stato 3, ci sono due dadi da rilanciare, dando 36 combinazioni possibili. (Richiamare la sezione di combinatronica sopra). C’è una probabilità di 1/36 che entrambi i dadi corrispondano al tris attuale per fare uno Yahtzee e questa probabilità è posta nella riga 3 e nella colonna 5. C’è una probabilità di 25/36 che il giocatore abbia ancora un tris alla fine del prossimo lancio (5/6 di probabilità di mancare con il primo dado moltiplicato per 5/6 di mancare con il secondo). Infine, c’è una probabilità di 10/36 di ottenere un numero aggiuntivo per fare quattro di un tipo. Questo è 1/6 x 5/6, e questo può essere ottenuto in due modi diversi (o il primo dado corrisponde, o il secondo lo fa). |
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Le cose stanno diventando un po’ più complicate ora, quindi rallenteremo. Passare dallo stato 2 allo stato 5 richiede che tutti e tre i dadi rilanciati corrispondano alla coppia corrente. Questo avviene con probabilità 1/216 (che è 1/6 x 1/6 x 1/6). Similmente passare da niente che corrisponde, (stato 1), allo stato 5, è l’equivalente di lanciare un Yahtzee in un solo colpo (perché tutti i dadi sono rilanciati). Questo è 1/1296, calcolato come (1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6). |
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Possiamo inserire altri due coefficienti. Se sei sfortunato, e non hai niente che corrisponde (stato 1), e rilanci tutti i dadi, la probabilità di ottenere di nuovo niente che corrisponde è 120/1296 (Questo è 5/6 di probabilità del secondo dado che non corrisponde, seguito da 4/6 per il terzo e 3/6 del quarto, e 2/6 per il quinto). Le probabilità di tirare quattro di un tipo in un singolo lancio sono 25/1296 (Che è 150/7776. Ricordate la sezione Combinatronics? Si calcola ottenendo quattro dadi uguali: 1/6 x 1/6 x 1/6, con l’ultimo dado che non corrisponde a 5/6, e ci sono cinque possibili modi in cui questo può essere formato con le cinque possibili posizioni per B nell’insieme {A,A,A,A,B}. Se non è chiaramente ovvio, le probabilità sulla riga superiore (cambiando da niente che corrisponde a qualsiasi altro stato), sono le probabilità per il risultato del primo lancio. |
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La probabilità di ottenere un tris in un lancio è 250/1296. Questo è un po’ più difficile da calcolare, e dobbiamo stare attenti. Questo si verifica in uno dei due schemi {A,A,A,B,B} e {A,A,A,B,C}. Facendo riferimento alla sezione combinatoria di cui sopra (ricordi, ho detto che sarebbe stato utile?), possiamo vedere che {A,A,A,B,B} si verifica 300/7776 volte (il full) e {A,A,A,B,C} (tris) si verifica 1200/7776. Sommando questi elementi (il modo probabilistico di dire OR) otteniamo 1500/7776, che si riduce a 250/1296. Per riempire l’ultimo elemento di questa fila (ottenere una coppia), di nuovo dobbiamo fare attenzione. Ci sono due insiemi da considerare: {A,A,B,C,D} e {A,A,B,B,C}. (Coppia singola e coppia doppia). Dato che stiamo andando a fare uno Yahtzee, tiriamo una delle coppie insieme al singolo. La probabilità di ottenere una coppia è 1800/7776 + 3600/7776 = 5400/7776 o 900/1296). E’ anche confortante sapere che tutte le probabilità in questa riga sommano a 1,0 (120/1296 + 900/1296 + 250/1296 + 25/1296 +1/1296). |
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Transizione da una coppia (stato 2) a quattro di un tipo (stato 4) è probabilità 15/216. C’è una probabilità di 1/6 che uno dei dadi corrisponda, poi un’altra probabilità di 1/6 che un altro corrisponda, moltiplicata per la probabilità di 5/6 che il dado finale non corrisponda. Ci sono tre modi possibili per quale dei 5/6 dadi è, quindi la probabilità finale = 3 x 1/6 x 1/6 x 5/6 = 15/216. |
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Ora gli ultimi due difficili. Leggendo un po’ su internet, è qui che la gente sembra sbagliare i suoi calcoli. La complicazione sorge perché, quando si rilanciano tre dadi, si potrebbe voler “saltare la nave” su ciò che si sta puntando. Per esempio, se hai tirato una coppia al tuo primo lancio, hai tenuto la coppia e hai rilanciato tre dadi, e questi tre dadi sono usciti tutti uguali (ma non uguali alla coppia, altrimenti sarebbe Yahtzee!), allora al prossimo lancio vorrai tenere il tris e rilanciare la coppia. Questa sottigliezza modifica le probabilità. Lavoriamo su questo – Abbiamo tenuto una coppia e rilanciato tre dadi. Ricordiamo dalla nostra combinatoria di tre dadi che tre dadi risultano tutti uguali con probabilità 1/6 x 1/6 = 1/36 = 6/216, ma in uno di questi casi, questo numero lanciato sarà lo stesso della coppia (causando uno Yahtzee), quindi dobbiamo sottrarre questo caso. Così, la probabilità di convertire da un due di un tipo a un tre di un tipo è 6/216 – 1/216 = 5/216. |
Per completare il coefficiente di transizione da una coppia (stato 2) a rimanere come coppia (stato 2), abbiamo bisogno della probabilità di base di questo, che è semplicemente 5/6 x 5/6 x 5/6 (tutti e tre i dadi non corrispondono alla coppia), e da questo, dobbiamo sottrarre la probabilità che tutti e tre i dadi siano uguali e non formino uno Yahtzee (5/216), quindi il risultato finale per questo elemento = 125/216 – 5/216 = 120/216.
Similmente, l’inverso di questo trucco per la probabilità di transizione da una coppia stato 2 a tre stato 3. Qui la probabilità di base di passare dallo stato 2 allo stato 3 è 75/216 (vengono lanciati tre dadi, con 1/6 di probabilità di corrispondenza, poi due 5/6 di mancanza, e ci sono tre combinazioni di modi in cui questo può essere ottenuto che è 3 x 1/6 x 5/6 x 5/6). A questa probabilità di base di 75/216, dobbiamo aggiungere il 5/216 di probabilità da sopra che siamo arrivati al tris attraverso questo percorso alternativo.
Quindi, l’elemento finale richiesto per completare la nostra matrice di transizione dallo stato 2 allo stato 3 è 75/216 + 5/216 = 80/216.
È anche un sollievo calcolare che le probabilità in questa riga ammontano a 1,0! (120/216 + 80/216 + 15/216 + 1/216). Questo aiuta a confermare che i nostri calcoli sono corretti.
La nostra matrice di transizione è ora completa!
Moltiplicazione della matrice
Inseriamo ora un vettore colonna identico e lo moltiplichiamo per la matrice di transizione. L’output del vettore di riga risultante mostra le probabilità della distrubuzione degli stati in cui i dadi potrebbero trovarsi. Possiamo ora prendere questo risultato e usarlo di nuovo come input e questa volta l’output è la sovrapposizione delle probabilità per i dadi alla fine del secondo lancio. Per ottenere la probabilità di ottenere uno Yahtzee su (o prima di) tre lanci, moltiplichiamo un’ultima volta e leggiamo il risultato del primo elemento (stato 5) nel vettore di uscita finale.
(Da questo punto in poi, sto passando ai decimali/percentuali per rappresentare le probabilità perché le frazioni coinvolte sono troppo scomode da inserire e leggere).
Risultati
La probabilità di ottenere uno Yahtzee è del 4,6029%
Grafici graziosi
Se hai sbagliato il tiro dello Yahtzee, cosa succede se tiri di nuovo? (come i miei figli a volte cercano di fare!) E ancora? E ancora? …
Sotto c’è un grafico che mostra la percentuale di probabilità di ottenere uno Yahtzee in n lanci. L’asse x è il numero di lanci, e l’asse y mostra la percentuale di probabilità.
La curva asintotica al 100%, e attraversa il 50% al lancio #10. Per essere sicuri al 95% di tirare uno Yahtzee hai bisogno di 23 lanci.
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Spesso si perde un tentativo di Yahtzee. Qual è la ripartizione delle probabilità? Quante probabilità hai di finire con il Quattro di un tipo quando tiri per il tuo Yahtzee? Questa informazione è facile da ottenere leggendo il valore del vettore di uscita della catena di Markov per lo stato 4. (La probabilità che tu finisca con Quattro di un tipo in tre tiri è del 24,476%, e Tre di un tipo è del 45,240%). La tabella a sinistra mostra la ripartizione percentuale per i primi 25 rulli. Di seguito gli stessi dati presentati in formato grafico. Notate che dopo 9 lanci, lo Yahtzee diventa l’evento più probabile, e la possibilità di finire con una coppia o un Singleton scende rapidamente al rumore.
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