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Introduzione al calcolo

Capitolo 1 – Introduzione

• Sezione 1.1 – Perché studiare il calcolo
• Sezione 1.2 – Perché non studiare il calcolo

Sezione 1.1 – Perché studiare il calcolo

Come studente probabilmente vedi il calcolo come un’altra illogica memorizzazione di equazioni che serve per passare la scuola. Sentite che non sarete mai chiamati ad usare nessuna delle “ipotetiche scemenze” che imparate. Di conseguenza, ti avvicini all’argomento con indifferenza filosofica e ti adatti a sopportare ciò che non puoi curare.

Forse da qualche parte dietro questo malumore c’è la convinzione che il calcolo sia uno strumento necessario per la tua esistenza nel mondo reale. Indipendentemente da come si definisce un’esistenza di successo, la comprensione del calcolo non è essenziale per il vostro benessere. In effetti è un’esagerazione affermare che uno ne ha bisogno per diventare anche solo uno scienziato.

Dopo tutto, molti ingegneri professionisti non esitano ad ammettere la loro ignoranza in materia. La comprensione del calcolo da parte di tali ingegneri si limita a conoscere le equazioni e a sapere come usarle. Se un ingegnere ha una buona percezione di cosa aspettarsi in base all’esperienza, allora l’analisi dei numeri non è così importante. I migliori ingegneri hanno solo bisogno che l’analisi dei numeri confermi quello che pensano possa essere il risultato.

Finora questa introduzione è riuscita solo a confermare quello che potresti già sentire riguardo al tuo studio del calcolo, cioè che è una perdita di tempo senza senso! Perché devi preoccuparti di impararlo mentre altri se la cavano senza capirlo assolutamente? Cosa può esserci di più nel calcolo a parte la memorizzazione, la manipolazione e la frustrazione? Senza alimentare ulteriormente i tuoi crescenti sospetti, torniamo alla domanda originale e rispondiamo da un punto di vista puramente non materialistico.

Perché studiare il calcolo? A questa domanda è meglio rispondere con un’altra domanda: che cos’è il calcolo? È estremamente difficile rispondere brevemente e in modo convincente a questa domanda, perché ciò richiederebbe di parafrasare l’intero libro in poche righe di testo. Potrei presentarvi una serie di situazioni in cui il calcolo viene applicato, ma questo vi darebbe la falsa impressione che le applicazioni pratiche e la teoria matematica siano legate insieme solo dal caso. La definizione più semplice che posso offrire è che il calcolo è lo studio del cambiamento definito matematicamente. Ci sono due parole in questa definizione che richiedono ulteriori spiegazioni prima che possa avere senso. Queste parole sono matematica e cambiamento.

Cos’è la matematica? Essenzialmente la matematica non è altro che il linguaggio della scienza. Mentre la scienza è uno studio sistematico della natura, la matematica è una forma concisa di comunicazione utilizzata per rappresentare la natura. La facoltà di ragione dell’uomo gli permette di osservare, sezionare e ipotizzare la natura e tutti i suoi processi in corso in modo tale che il risultato finale di questa analisi ordinata è la matematica. Ma cosa si intende per scienza e natura? Piuttosto che continuare con domande che rispondono solo a generalizzazioni, iniziamo questo studio del calcolo con uno studio dell’uomo.

Cosa fa agire, pensare, sentire, muovere e funzionare l’uomo? Il soggetto della filosofia è dedicato interamente a rispondere a domande come queste, anche se spesso chiede più di quanto sia preparato a rispondere. La vita intorno a noi ci sfida costantemente a vivere e rispondere all’apparentemente impossibile e insondabile. Ci troviamo di fronte a dilemmi che richiedono il nostro giudizio. Tuttavia, il codice etico e morale in base al quale viviamo si rivela essere nient’altro che un insieme di ironiche contraddizioni. Ci troviamo circondati da un mare di caos. La vita ci porta attraverso questo mare di confusione, senza mai fermarsi da nessuna parte per lasciarci a destinazione. La vita appare futile, senza un senso in vista.

L’uomo è confinato in questo stato di esistenza impotente? Per essere onesti, nessuno conosce la risposta. Possiamo, tuttavia, cercare la speranza nella mente. Il potere del pensiero, la ragione e la logica sono ciò che permettono all’uomo di prendere il controllo della vita e alla fine servono come guida per l’illuminazione e la saggezza. Aristotele sentiva che la felicità poteva essere raggiunta solo coltivando la mente. Egli scrisse:

Ora l’eccellenza peculiare dell’uomo è la sua potenza di pensiero; è per questa facoltà che egli supera e governa le altre forme di vita; e come la crescita di questa facoltà gli ha dato la supremazia, così, possiamo presumere, il suo sviluppo gli darà appagamento e felicità.

Questo porta alla domanda: Come definiamo la ragione? Questo è sinonimo di chiedere come i pensieri definiscono il comportamento? Da bambino avevi poco controllo sulle tue azioni. Non sembrava esserci alcuno scopo dietro quello che facevi o quello che ti succedeva. La vita ti portava con sé, dandoti la libertà di goderti la corsa.

L’idea del libero arbitrio offre una spiegazione più plausibile delle azioni umane. Dice che l’uomo ha la libertà di scelta per decidere un certo corso d’azione. Le azioni sono il risultato di scelte; scelte che siamo liberi di fare.

La branca della filosofia conosciuta come determinismo fa un passo avanti per spiegare perché l’uomo sceglie di agire in un modo piuttosto che in un altro. Quando l’uomo si trova di fronte ad una situazione, la linea d’azione che decide di intraprendere si basa sull’esperienza, sugli interessi personali e sulle preferenze. Le decisioni che prendiamo sono quindi interamente influenzate dalle nostre esperienze passate. La volontà non è libera di comportarsi da sola. Per esempio, la mia decisione di scrivere questo libro non si è basata su un qualche istinto impulsivo, ma su una culminazione di circostanze a cui sono stato esposto e contro cui ho reagito.

Qualsiasi azione, dalla più casuale alla più perversa, può essere spiegata dall’insieme di situazioni, esperienze, pensieri e sentimenti che hanno preceduto quell’azione. Essenzialmente il determinismo dice che le nostre vite sono predeterminate nella misura in cui indipendentemente da come viviamo non possiamo mai cambiare il nostro corso di vita. Come disse una volta un pensatore francese, “Noi cambiamo eppure rimaniamo gli stessi”. La logica dietro questa affermazione è che se il nostro passato non può mai essere cambiato, allora il nostro futuro rimarrà sempre lo stesso. Ogni azione è dettata da quella precedente.

È a questo punto che scienza e arte divergono. Per lo scienziato, il determinismo è una spiegazione abbastanza accurata della vita umana, poiché dice che tutto ciò che accade, accade per una serie di ragioni. Osservare e comprendere questo insieme di ragioni diventa il lavoro dello scienziato. L’artista, tuttavia, interpreta il determinismo come se dicesse: “Dato che tutto nella vita è predeterminato, allora la vita non ha senso”.

La vita può non avere senso, ma l’obiettivo dell’artista è quello di mettere in discussione questa affermazione esplorando le misteriose profondità della natura umana e del cuore. Forse è l’assoluta casualità della vita che ci fa ignorare il nostro immutabile destino. Nessun essere umano ha alcun controllo sulle azioni a cui sarà esposto. Il destino comincia a perdere significato perché non si sa mai cosa succederà a se stessi. Ci vuole il rischio dell’artista per creare il caos da cui si evolve la saggezza.

D’altra parte, lo studio della natura è più preciso ed è meno probabile che sia influenzato da una grande varietà di fattori non correlati. Coninnatura tutte le azioni, gli avvenimenti o i cambiamenti dipendono da pochi fattori che possono essere accuratamente isolati e studiati individualmente. La scienza si occupa specificamente di analizzare questi sistemi interagenti e poi di formare ipotesi che possano spiegarli accuratamente.

Ciò che rende così interessante l’osservazione dei fenomeni in natura è che essi avvengono sempre in un ambiente chiuso dove i fattori esterni possono essere facilmente rimossi per lasciare solo pochi oggetti interagenti. Sono questi oggetti, insieme alle loro proprietà, che diventano il centro dello studio. Qualsiasi tentativo di spiegare logicamente la loro interazione unica deve provenire dagli oggetti stessi e non da fattori esterni immaginari. Attraverso il ragionamento e l’osservazione, la natura può essere compresa, così che il futuro può essere determinato dal presente. Come Sherlock Holmes avvertiva spesso Watson: “Tu vedi ma non osservi!”.

Abbastanza spesso, gli esseri umani non riescono ad afferrare questa semplice regola della natura, attribuendo ignorantemente qualsiasi fenomeno naturale agli dei, al cielo o a qualche misteriosa sostanza con superpoteri. Comprendere e accettare la verità richiede una mente aperta e critica. Charlotte Bronte scrisse umoristicamente di questo ironico difetto della natura umana nel suo romanzo popolare, Shirley.

Nota bene! Ogni volta che si presenta l’effettiva, semplice, verità, è in qualche modo sempre denunciata come una bugia: la disconoscono, la scacciano, la gettano nella parrocchia; mentre il prodotto della propria immaginazione, il mero parto, la pura finzione, è adattato, definito carino, appropriato, dolcemente naturale: il piccolo disgraziato spurio ottiene tutti i benefici – l’onesto, legittimo bantling tutte le manette. Così va il mondo…”.

Non solo la scienza è ostacolata dall’ignoranza e dall’inganno, ma è anche confusa dall’opera dello pseudo-scienziato. Lo pseudo-scienziato è descritto dal filosofo spagnolo Jose Ortega nel suo stupefacente libro sulla moderna civiltà occidentale, La rivolta delle masse:

“… Dal 1890 una terza generazione prende il comando nel mondo intellettuale, e troviamo un tipo di scienziato senza precedenti nella storia. È una persona che conosce, di tutto ciò che un uomo di routine deve sapere, solo qualcosa di una scienza specifica; anche di questa scienza, è ben informato solo all’interno di quell’area limitata in cui è un ricercatore attivo. Può anche arrivare a sostenere di avere un vantaggio nel non coltivare ciò che si trova al di fuori del suo campo ristretto, e può dichiarare che la curiosità per la conoscenza generale è il segno del dilettante, del dilettante.

Immerso nel suo piccolo campo, egli riesce a scoprire nuovi fatti, fa progredire la scienza che conosce appena, e aumenta con forza l’enciclopedia del sapere di cui è coscienziosamente ignorante…”

Il premio Nobel per la fisica Richard Feynman scrisse le seguenti osservazioni sui diversi tipi di pseudoscienziati che incontrò ad una conferenza. La maggior parte del lavoro degli scienziati rientrava in una di queste categorie:

1. Completamente incomprensibile
2. Vago e indefinito
3. Qualcosa di corretto che è ovvio ed evidente, elaborato da una lunga e difficile analisi e presentato come un’importante scoperta
4. Un’affermazione basata sulla stupidità dell’autore che una cosa ovvia e corretta accettata e verificata per anni è in realtà falsa
5. Un tentativo di fare qualcosa probabilmente impossibile ma di sicura utilità che alla fine si rivela fallimentare
6. Semplicemente sbagliato

Uno dei notevoli capolavori della mente è la scienza della matematica, spesso chiamata la scienza del ragionamento deduttivo. Mentre la scienza è un sistema logico di pensiero usato per studiare il mondo naturale, la matematica è il linguaggio preciso della scienza. È la forma di comunicazione per l’analisi scientifica. I numeri e i simboli non sono altro che vaghe astrazioni se non si riferiscono a qualcosa di specifico; prima che la matematica possa esistere, ci deve essere una situazione che le dia un significato. È l’analisi scientifica che determina la struttura della matematica.

Attraverso la matematica siamo in grado di definire il presente. Il presente dipende solo dalle condizioni che esistono nel breve lasso di tempo che occupa. Rapidamente svanisce davanti ai nostri occhi, diventando un ricordo. L’obiettivo della scienza è definire il mondo oggettivo in termini di condizioni esistenti quantificabili espresse dalla matematica. Le nostre dimensioni o proprietà rimangono fisse e non cambiano.

È quando le nostre dimensioni cambiano che il nostro studio diventa un po’ più complicato e nasce il calcolo. Ma prima, cosa si intende per cambiamento? Per capire il cambiamento dobbiamo spiegare il concetto di tempo. Per definizione, il tempo è un passaggio di eventi, tale che perché il tempo passi, qualcosa deve cambiare rispetto a se stesso. Per esempio, un oggetto in movimento implica un cambiamento della distanza percorsa da un punto di riferimento. Questo comprende un evento che definisce il tempo. O una temperatura in aumento implica che la temperatura sta cambiando, occupando così il tempo. I cambiamenti sono i risultati di azioni che comprendono una situazione.

Mentre il calcolo è lo studio del cambiamento definito matematicamente, non è necessariamente lo studio del solo tempo. Nella scienza, altre dimensioni possono cambiare l’una rispetto all’altra. Per esempio la velocità può cambiare con l’altezza, la temperatura con l’energia, la densità con la profondità, la forza con la massa, ecc.

Quando una dimensione cambia rispetto a se stessa, diciamo che cambia rispetto al tempo. Quando i fattori cambiano l’uno rispetto all’altro, ignoriamo l’effetto del tempo sui fattori e procediamo ad analizzare solo le dimensioni che interagiscono. Assumiamo che i nostri fattori siano costanti che cambiano l’uno rispetto all’altro, non rispetto al tempo. Il calcolo è quindi il ramo della matematica utilizzato per studiare qualsiasi fenomeno che coinvolga il cambiamento. Il cambiamento è un concetto relativo che può coinvolgere qualsiasi coppia di dimensioni, tempo, forza, massa, lunghezza, temperatura ecc. Questo può sembrare un po’ astratto, ma diventerà molto più chiaro man mano che seguiremo il corso.

Questo conclude la risposta a cosa è il calcolo. Forse non vi sembra che io abbia risposto alla domanda originale postata, “Perché studiare il calcolo? Lo scopo dello studio del calcolo è semplicemente quello di introdurre la mente al metodo scientifico di analisi. Attraverso la scienza, i problemi pratici possono essere identificati, le spiegazioni generate e le soluzioni logiche selezionate. Lo scopo è che tu capisca come applicare la tua mente in modo sistematico per comprendere il mondo che ti circonda.

L’ingegneria si basa più su questo approccio logico fondamentale verso la soluzione dei problemi che non sulla pura scrematura dei numeri e la manipolazione delle formule. Per questo motivo molti ingegneri hanno dimenticato tutti i teoremi del calcolo, ma ciò che rimane è l’importante quadro concettuale di metodo e applicazione. Gli ingegneri spesso ammettono scherzosamente: “Non conosciamo tutta la matematica, ma conosciamo il risultato finale! “

Il buon senso ingegneristico è definito come la capacità di identificare rapidamente un problema, trovare soluzioni pratiche e poi selezionare l’opzione più efficiente. Molti problemi del mondo reale sono indipendenti da qualsiasi matematica complessa, ma lo stesso approccio scientifico sistematico è richiesto per risolverli. L’applicazione di una sana logica è tutto ciò che è richiesto per ridurre le complessità alle semplicità.

All’inizio dell’introduzione ho affermato che era un’affermazione eccessiva sostenere che uno ha bisogno del calcolo per diventare uno scienziato. Gli ingegneri e gli scienziati che se la cavano con una conoscenza sommaria della materia rientrano nel regno degli pseudo-scienziati e dei ciarlatani. Come ha scritto Ortega, lo pseudo-scienziato, “fa progredire la scienza che conosce appena, e aumenta per forza l’enciclopedia del sapere di cui è coscienziosamente ignorante…”. È il brivido e l’illuminazione della comprensione della natura che spinge lo scienziato. L’ingegnere porta la scienza un passo avanti per controllare la natura per soddisfare i bisogni dell’uomo. Sia l’ingegnere che lo scienziato condividono un profondo apprezzamento per il funzionamento della natura; un apprezzamento che si sviluppa in saggezza.

Pertanto, lo scopo di studiare il calcolo è duplice. Il primo è quello di introdurvi ai concetti di base della matematica usati per studiare quasi ogni tipo di fenomeno mutevole in un ambiente controllato. In secondo luogo, lo studio del calcolo svilupperà in voi un inestimabile senso scientifico e capacità pratiche di risoluzione dei problemi ingegneristici. Capirete come pensare logicamente per ridurre anche i sistemi più complessi a pochi componenti interagenti. Mentre studiate i principali concetti, teorie ed esempi in questo libro, la vostra mente si svilupperà in un potente strumento sistematico.

Per concludere con una nota umoristica, leggete il seguente saggio satirico di The Onion nel capitolo sul 1925 nel loro libro, Our DumbCentury.

Dovremmo insegnare ai nostri figli i fatti? No, dico, mille volte no! Quando diventeranno gli agricoltori, le casalinghe, gli operai e i minatori di domani, i fatti sono le ultime cose di cui avranno bisogno. Le buone maniere! La sottomissione! Soprattutto, obbedienza! Parlare solo quando si è interpellati e non creare problemi! Questi sono i principi su cui è stato fondato il nostro sistema educativo. Perché, in nome di Dio, dovremmo sostituirlo con un sistema che incoraggia effettivamente un uomo ignorante a fare domande? Un buon cittadino non fa nulla del genere. Si accontenta delle ragioni che gli vengono date dai suoi superiori.

Domande

1. Dio ha creato l’uomo o l’uomo ha creato Dio? Alcuni dicono che l’uomo e la natura sono troppo ben fatti per accadere a caso. Le molte leggi fisiche di questouniverso devono essere fatte da un creatore proprio come le leggi del traffico sono fatte dall’uomo. Mentre l’evoluzione può sembrare casuale, in realtà è un’accumulazione di infiniti cambiamenti nel tempo. Quello che vediamo è solo lo stato attuale, non gli infiniti strati che sono stati stabiliti nel corso dell’eternità. Per questo motivo, è facile concludere che lo stato attuale è troppo perfetto per essere compreso. Ma quando si studia come avviene ogni strato dell’evoluzione, diventa abbastanza facile capire come la complessità può essere raggiunta dal più semplice dei cambiamenti accumulati nel tempo. Commenta questa domanda in relazione al tuo punto di vista sulla religione e la scienza.
2. Il paradosso della vita è che bisogna soffrire per goderne. Oppure considera la citazione del padre del movimento olimpico moderno: “La cosa più importante nei giochi olimpici non è vincere ma partecipare, così come la cosa più importante nella vita non è il trionfo ma la lotta. L’essenziale non è aver vinto ma aver combattuto bene”. “Cosa ne pensi? La vita riguarda le conquiste o il viaggio verso queste conquiste?
3. Il mondo contiene migliaia di culture. Ogni cultura ha una propria serie di morali e standard che la società cerca di seguire. Ciò che una cultura considera buono, un’altra cultura può considerarlo un tabù. Mentre la maggior parte delle persone sono fondamentalmente buone, c’è poca coerenza tra i comportamenti socialmente accettati. La morale è assoluta o esiste solo in relazione l’una all’altra? In altre parole, pensi che certe azioni possano essere giudicate come puro bene o male, indipendentemente dall’educazione personale? Quali aspetti della tua cultura potrebbero essere percepiti come strani o negativi da qualcuno di una cultura diversa?

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