Immaginate di combattere una guerra su 10 campi di battaglia. Tu e il tuo avversario avete 200 soldati ciascuno, e il vostro obiettivo è quello di vincere più battaglie possibili. Come disporresti le tue truppe? Se le distribuisci uniformemente, mandandone 20 in ogni campo di battaglia, il tuo avversario potrebbe concentrare le proprie truppe e vincere facilmente la maggior parte dei combattimenti. Potresti provare a sopraffare da solo diverse località, ma non c’è garanzia di vittoria e lasceresti i campi di battaglia rimanenti scarsamente difesi. Elaborare una strategia vincente non è facile, ma finché nessuna delle due parti conosce in anticipo il piano dell’altra, è una lotta equa.

Ora immagina che il tuo avversario abbia il potere di schierare le tue truppe e le sue. Anche se hai più truppe, non puoi vincere.

Nella guerra della politica, questo potere di schierare le forze viene dal gerrymandering, la pratica secolare di manipolare i distretti elettorali per un guadagno di parte. Determinando chi vota dove, i politici possono inclinare le probabilità a loro favore e sconfiggere i loro avversari prima ancora che la battaglia inizi.

Nel 1986, la Corte Suprema ha dichiarato incostituzionali i gerrymanders partigiani estremi. Ma senza un test affidabile per identificare le mappe distrettuali ingiuste, la corte deve ancora buttarne fuori qualcuna. Ora, mentre la più alta corte della nazione ascolta gli argomenti a favore e contro una sfida legale alla mappa distrettuale dell’assemblea statale del Wisconsin, i matematici sono in prima linea nella lotta per l’equità elettorale.

La matematica semplice può aiutare i politici intriganti a disegnare distretti che danno al loro partito un’influenza eccessiva, ma la matematica può anche aiutare a identificare e rimediare a queste situazioni. L’estate scorsa il Gruppo di Geometria Metrica e Gerrymandering, guidato dal matematico Moon Duchin, si è riunito alla Tufts University, in parte per discutere nuovi strumenti matematici per analizzare e affrontare il gerrymandering. Il “gap di efficienza” è una semplice idea al centro di alcuni degli strumenti presi in considerazione dalla Corte Suprema. Esploriamo questo concetto e alcune delle sue ramificazioni.

Iniziamo a immaginare uno stato con 200 elettori, di cui 100 sono fedeli al partito A e 100 al partito B. Supponiamo che lo stato abbia bisogno di eleggere quattro rappresentanti e quindi debba creare quattro distretti di uguale dimensione elettorale.

Immaginate di avere il potere di assegnare gli elettori a qualsiasi distretto vogliate. Se siete a favore del partito A, potreste distribuire i 100 elettori A e i 100 elettori B nei quattro distretti in questo modo:

Con distretti costruiti in questo modo, il partito A vince tre delle quattro elezioni. Naturalmente, se si preferisce il partito B, si potrebbero distribuire gli elettori in questo modo:

Ecco, i risultati sono invertiti e il partito B vince tre delle quattro elezioni.

Si noti che in entrambi gli scenari lo stesso numero di elettori con le stesse preferenze vota nello stesso numero di elezioni. Cambiare solo la distribuzione degli elettori tra i distretti altera drammaticamente i risultati. La capacità di determinare i distretti elettorali conferisce molto potere, ed è sufficiente occuparsi di semplice matematica per creare un vantaggio elettorale.

E se, invece di creare un vantaggio per un partito sull’altro, si volesse usare il proprio potere per creare distretti equi? Per prima cosa, avreste bisogno di determinare cosa significa “equo”, e questo può essere complicato, dato che i vincitori e i perdenti hanno spesso prospettive diverse sull’equità. Ma se iniziamo con alcune ipotesi su ciò che significa “equo”, possiamo provare a quantificare l’equità delle diverse distribuzioni degli elettori. Possiamo discutere su queste ipotesi e sulle loro implicazioni, ma adottando un modello matematico possiamo tentare di confrontare diversi scenari. Il divario di efficienza è un approccio per quantificare l’equità di una distribuzione degli elettori.

Per capire il divario di efficienza, possiamo iniziare con l’osservazione che, in una serie di elezioni correlate, non tutti i voti hanno lo stesso impatto. Alcuni voti potrebbero fare una grande differenza, e alcuni voti potrebbero essere considerati “sprecati”. La disparità dei voti sprecati è il divario di efficienza: Misura quanto equamente, o meno, i voti sprecati sono distribuiti tra i partiti in competizione.

Quindi cosa conta come voto sprecato? Consideriamo il ruolo della California nelle elezioni presidenziali. Dal 1992, la California ha sempre sostenuto il candidato democratico alla presidenza. Pertanto, i repubblicani californiani sanno che quasi certamente stanno sostenendo un candidato perdente. In un certo senso il loro voto è sprecato: se avessero il permesso di votare in uno stato a rischio come la Florida, il loro voto potrebbe fare più di una differenza. Dal punto di vista repubblicano, questo sarebbe un uso più efficiente del loro voto.

Come si è scoperto, gli elettori democratici in California possono fare un argomento simile sul fatto che il loro voto è sprecato. Poiché il candidato democratico probabilmente vincerà la California con una valanga di voti, anche molti dei loro voti, in un certo senso, sono sprecati: Che il candidato vinca la California con il 51% dei voti o con il 67% dei voti, il risultato è lo stesso. Quei voti vincenti in più sono insignificanti.

Quindi, nel contesto del divario di efficienza, ci sono due tipi di voti sprecati: quelli per un candidato perdente e quelli per un candidato vincente che vanno oltre ciò che è necessario per la vittoria (per semplicità, prendiamo la soglia per la vittoria al 50%, anche se questo potrebbe tecnicamente risultare in un pareggio; un pareggio effettivo è più che improbabile con centinaia di migliaia di elettori in ogni distretto congressuale). In un’elezione multi-distrettuale, ogni partito avrà probabilmente voti sprecati di ogni tipo. Il divario di efficienza è la differenza nei totali dei voti sprecati per ogni partito, espressa come percentuale dei voti totali espressi. (Sottraiamo il numero più piccolo dal più grande quando possibile, per assicurare un divario di efficienza non negativo. Potremmo anche prendere il valore assoluto della differenza.

Torniamo ai nostri scenari a quattro distretti ed esaminiamo i loro divari di efficienza. La nostra prima distribuzione aveva questo aspetto.

In questo scenario, 75 dei voti di B sono sprecati: 60 in cause perse e 15 in più dei 25 necessari per vincere il distretto 4. Solo 25 dei voti del partito A sono sprecati: 5 voti extra in ogni vittoria e 10 voti perdenti. La differenza grezza dei voti sprecati è 75 – 25 = 50, quindi il divario di efficienza qui è 50/200 = 25 per cento. Diciamo che il divario di efficienza del 25 per cento qui favorisce il partito A, poiché il partito B ha il maggior numero di voti sprecati. Nel secondo scenario, dove i numeri sono invertiti, il divario di efficienza del 25 per cento ora favorisce il partito B.

Il divario di efficienza può darci un senso dell’equità di una distribuzione? Ebbene, se aveste il potere di creare distretti elettorali e voleste progettare vittorie per il vostro partito, la vostra strategia sarebbe quella di minimizzare i voti sprecati per il vostro partito e massimizzare i voti sprecati per il vostro avversario. A questo scopo, viene impiegata una tecnica coloritamente nota come packing and cracking: I voti dell’opposizione sono impacchettati in un piccolo numero di distretti concessi, e il restante blocco di voti è spaccato e distribuito in modo sottile sul resto dei distretti per minimizzare il loro impatto. Questa pratica crea naturalmente grandi divari di efficienza, quindi potremmo aspettarci che distribuzioni più eque ne abbiano di più piccoli.

Diamo uno sguardo più profondo ai divari di efficienza immaginando il nostro stato da 200 voti ora diviso in 10 distretti uguali. Consideriamo la seguente distribuzione degli elettori, in cui il partito A vince 9 dei 10 distretti.

In superficie, questa non sembra una distribuzione equa degli elettori. Cosa dice il divario di efficienza?

In questo scenario, quasi tutti i voti del partito B sono sprecati: nove voti perdenti in ciascuno dei nove distretti, più nove voti in eccesso in una vittoria, per un totale di 90 voti sprecati. Gli elettori del partito A sono molto più efficienti: solo 10 voti totali sono sprecati. C’è una differenza di 90 – 10 = 80 voti sprecati e un divario di efficienza di 80/200 = 40 per cento, che favorisce il partito A.

Confronta questo con la seguente distribuzione, dove il partito A vince 7 dei 10 distretti.

Qui, il conteggio dei voti sprecati è 70 per il partito B e 30 per il partito A, producendo un divario di efficienza di 40/200 = 20 per cento. Una distribuzione apparentemente più equa si traduce in un divario di efficienza minore.

Come esercizio finale, consideriamo questa suddivisione uniforme delle elezioni distrettuali.

La sola simmetria suggerisce la risposta, e i calcoli la confermano: 50 voti sprecati per ogni partito significa un divario di efficienza dello 0 per cento. Notate qui che un divario di efficienza dello 0 per cento corrisponde a una nozione indipendente di equità: Vale a dire, con gli elettori in tutto lo stato equamente divisi tra i due partiti, sembra ragionevole che ogni partito vinca la metà delle elezioni.

Questi esempi elementari dimostrano l’utilità del divario di efficienza come misura dell’equità elettorale. È facile da capire e calcolare, è trasparente e le sue interpretazioni sono coerenti con altre nozioni di equità. È un’idea semplice, ma che viene usata in una varietà di modi complessi per studiare il gerrymandering. Per esempio, i matematici stanno ora usando simulazioni per considerare milioni di mappe elettorali teoriche per un dato stato e poi esaminare la distribuzione di tutti i possibili divari di efficienza. Questo non solo crea un contesto per valutare l’equità di una mappa attuale rispetto ad altre possibilità, ma può anche essere potenzialmente utilizzato per suggerire alternative più eque.

Anche se gli elettori non sono effettivamente assegnati ai distretti nel modo che abbiamo immaginato nei nostri esempi, la pratica del gerrymandering raggiunge risultati simili. Ridisegnando strategicamente i confini dei distretti, i gerrymanderers possono ingegnare la distribuzione del voto per creare un campo di gioco elettorale iniquo. Queste lotte ingiuste influenzano il modo in cui siamo governati e aiutano i partiti di maggioranza a rieleggersi mandato dopo mandato. Il caso davanti alla Corte Suprema coinvolge solo una delle tante mappe potenzialmente ingiuste. Strumenti matematici oggettivi come il divario di efficienza possono essere l’unico modo per sradicare il gerrymandering e mantenere i nostri campi di battaglia politici in equilibrio.

Scaricate il foglio di lavoro PDF “Doing the Political Math” per mettere in pratica questi concetti o per condividerlo con gli studenti.