Soluzione passo passo :

Polynomial Roots Calculator :

1.1 Trova le radici (zeri) di : F(x) = x5-x-1
Polynomial Roots Calculator è un insieme di metodi volti a trovare i valori di x per i quali F(x)=0
Rational Roots Test è uno degli strumenti sopra menzionati. Troverebbe solo le Radici Razionali, cioè i numeri x che possono essere espressi come quoziente di due interi
Il Teorema della Radice Razionale afferma che se un polinomio si azzera per un numero razionale P/Q allora P è un fattore della Costante d’Avanzamento e Q è un fattore del Coefficiente Principale
In questo caso, il Coefficiente Principale è 1 e la Costante d’Avanzamento è -1.
I fattori sono:
del Coefficiente di testa: 1
della Costante di coda: 1
Testiamo ….

Calcolatrice di radici polinomiali non ha trovato radici razionali

Equazione alla fine del passo 1 :

 x5 - x - 1 = 0 

Passo 2 :

Equazioni di ordine 5 o superiore :

2.1 Risolvere x5-x-1 = 0
Punti riguardanti le equazioni di grado cinque o superiore.
(1) Non esiste un metodo generale (formula) per risolvere equazioni polinomiali di grado cinque o superiore.
(2) Per il teorema fondamentale dell’algebra, se ammettiamo i numeri complessi, un’equazione di grado n avrà esattamente n soluzioni
(Questo se contiamo le soluzioni doppie come 2, le soluzioni triple come 3 e così via
) (3) Per il teorema di Abel-Ruffini, le soluzioni non possono essere sempre presentate nel modo convenzionale usando solo una quantità finita di addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni o estrazioni di radici

(4) Se F(x) è un polinomio di grado dispari con coefficienti reali, allora l’equazione F(X)=0 ha almeno una soluzione reale.
(5) Usando metodi come il metodo di bisezione, le soluzioni reali possono essere approssimate con qualsiasi grado di precisione desiderato.

Approssimazione di una radice usando il metodo di bisezione :

Ora usiamo il metodo di bisezione per approssimare una delle soluzioni. Il metodo di bisezione è una procedura iterativa per approssimare una radice (radice è un altro nome per una soluzione di un’equazione).
La funzione è F(x) = x5 – x – 1
Alla x= 1.00 F(x) è uguale a -1.00
Alla x= 2.00 F(x) è uguale a 29.00
Intuitivamente sentiamo, e giustamente, che poiché F(x) è negativa da un lato dell’intervallo, e positiva dall’altro lato allora, da qualche parte dentro questo intervallo, F(x) è zero
Procedura :
(1) Trovare un punto “Sinistra” dove F(Sinistra) < 0
(2) Trovare un punto “Destra” dove F(Destra) > 0
(3) Calcolare “Medio” il punto centrale dell’intervallo
(4) Calcolare Valore = F(Medio)
(5) Se Valore è abbastanza vicino a zero andare al Passo (7)
Else :
Se Valore < 0 allora : Sinistra <- Medio
Se Valore > 0 allora : Destra <- Medio
(6) Tornare al Passo (3)
(7) Fatto!! L’approssimazione trovata è Middle
Seguire i movimenti Middle per capire come funziona:

 Left Value(Left) Right Value(Right) 1.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 0.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 1.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 1.000000000 -1.000000000 1.500000000 5.093750000 1.000000000 -1.000000000 1.250000000 0.801757812 1.125000000 -0.322967529 1.250000000 0.801757812 1.125000000 -0.322967529 1.187500000 0.173892021 1.156250000 -0.089639038 1.187500000 0.173892021 1.156250000 -0.089639038 1.171875000 0.038197125 1.164062500 -0.026683718 1.171875000 0.038197125 1.164062500 -0.026683718 1.167968750 0.005513586 1.166015625 -0.010645540 1.167968750 0.005513586 1.166992188 -0.002581134 1.167968750 0.005513586 1.166992188 -0.002581134 1.167480469 0.001462432 1.167236328 -0.000560299 1.167480469 0.001462432 1.167236328 -0.000560299 1.167358398 0.000450830 1.167297363 -0.000054794 1.167358398 0.000450830 1.167297363 -0.000054794 1.167327881 0.000198003 1.167297363 -0.000054794 1.167312622 0.000071601 1.167297363 -0.000054794 1.167304993 0.000008403 1.167301178 -0.000023196 1.167304993 0.000008403

La prossima media ci porterà abbastanza vicino allo zero:
F( 1,167304039 ) è 0,000000503
L’approssimazione desiderata della soluzione è:
x ≓ 1.167304039
Nota, ≓ è il simbolo di approssimazione

Una soluzione è stata trovata :