Yahtzee Sannolikhet
|
Jultomten gav mina barn spelet Yahtzee i julklapp. Vi har spelat det mycket på kvällarna. När en Yahtzee rullas ut blir mina barn vilda. I det här blogginlägget kommer jag att undersöka sannolikheten för att kasta en Yahtzee. |
 |
Yahtzee är ett spel som spelas med fem sexsidiga tärningar. En spelare kastar tärningarna, undersöker resultaten och kan behålla så många av tärningarna som han eller hon vill och kastar om resten. Efter det andra kastet upprepas processen (om så önskas kan spelaren plocka upp de tärningar som han/hon behöll under den första omgången). Efter (upp till) tre kast får tärningarna poäng enligt olika kategorier. Yahtzee (som ger 50 poäng) uppnås genom att alla fem tärningar får samma resultat. |
Antaganden
Vi utgår från att spelaren är en smart spelare och vid varje beslutstillfälle gör de smartaste möjliga valen av att rulla på nytt och att hålla kvar.
Sannolikheten för att få en Yahtzee i ett enda kast är lätt att beräkna. Det finns fem tärningar, så oavsett vad den första tärningen kastar finns det 1/6 chans att den andra tärningen ger samma nummer. Om det sker finns det en 1/6 chans att den tredje tärningen är samma, dito den fjärde och den femte.
Så sannolikheten att få Yahztee i ett enda kast är 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/1296.
Med tre kast och innehav blir det dock lite mer komplicerat. Antalet tärningar vi kastar varje tur kan ändras, och det finns många möjliga kombinationer att ta hänsyn till. Eftersom tärningarnas tillstånd i början av varje kast är oberoende av hur tärningarna kastades är detta ett perfekt tillfälle att rulla fram ett av mina favoritverktyg, Markovkedjan (för mer bakgrund om detta, se mina tidigare inlägg om CandyLand och Chutes and Ladders).
|
För att fördjupa oss i Markovkedjan är det dock fördelaktigt att undersöka de olika sätt på vilka kombinationer av tärningar kan kastas. Denna övning kommer att förenkla skapandet av övergångsmatrisen avsevärt (lita på mig när det gäller detta). Här är vi … |
 |
2 tärningar |
|
Detta är det triviala fallet. Det finns bara två mönster för hur två tärningar kan kastas. Antingen stämmer de överens eller så stämmer de inte. Det finns en 1/6 chans att den andra av de två tärningarna matchar den första, och omvänt finns det en 5/6 chans att den inte matchar. Sannolikheterna måste naturligtvis summera till 1 (en av de två händelserna måste inträffa).
Ett annat sätt att se på detta är att det finns 36 möjliga kombinationer för två tärningar att kasta. I sex av dessa kombinationer {1,1}, {2,2}, {3,3}, {4,4}, {5,5}, {6,6} är siffrorna desamma, och i 30 av dessa kombinationer är tärningarna olika.
Dessa resultat visas grafiskt på bilden ovan. Det finns 6/36 chans att båda tärningarna är samma, representerat som {A,A}, och 30/36 chans att de är olika, representerat som {A,B}
3 tärningar |
|
Det här blir lite mer komplext, men inte mycket. Här finns det tre möjliga varianter av resultat för de tre tärningarna: Det finns tre olika resultat för varje tärning: De är antingen alla lika, de är alla olika eller det blir två av ett nummer och ett av ett annat. Det finns 216 möjliga sätt som tre tärningar kan kastas på (6 x 6 x 6 x 6).
Vi kan enkelt beräkna sannolikheten för att de alla är lika, som 1/6 x 1/6 = 1/36 (den andra tärningen matchar den första 1 gång på 6, och den tredje tärningen matchar, återigen, 1 gång på 6).
Alternativt kan vi föreställa oss att av de 216 möjliga sätt som tärningarna kan landa på finns det sex möjliga sätt när alla är lika: {1,1,1}, {2,2,2}, {3,3,3}, {4,4,4}, {5,5,5}, {6,6,6}.
Sannolikheten för att de alla är olika kan beräknas med följande logik: Den första tärningen kan vara vad den vill, för den andra tärningen finns det en 5/6 chans att den inte blir samma nummer som den första tärningen. Slutligen finns det 4/6 chans att den tredje tärningen kommer att vara annorlunda än de två första. Sannolikheten för att alla tärningar är olika är alltså 5/6 x 4/6 = 20/36, vilket kan förenklas till 120/216. Det finns 120 möjliga kombinationer av de 216 möjliga utfallen där alla tre tärningarna är olika {A,B,C}.
Då vi vet att summan av alla sannolikheter för hur tre tärningar rullar måste summera till 1,0 kan vi härleda att sannolikheten för att två av tärningarna är lika {A,A,B} är 90/216 (Vilket är 1 – 6/216 – 120/216).
(Om du vill övertyga dig själv om detta kan du tänka på det så här: Det finns sex möjliga värden som A kan vara, fem möjliga värden av vad B kan vara och tre möjliga val av vilken tärning som kan vara B. Detta är 6 x 5 x 3 = 90 kombinationer av de 216).
4 tärningar |
|
Det börjar bli lite mer komplicerat nu. De kan vara alla lika, alla olika, tre av samma slag, två partier med två par eller ett par med två olika singletons.
Det finns 1296 sätt som fyra tärningar kan arrangeras på (6 x 6 x 6 x 6 x 6). Resultaten visas nedan:
Vi måste vara extra försiktiga här, eftersom vi inte vill dubbelräkna. När vi räknar de två partierna med två par måste vi se till att vi inte av misstag räknar {5,5,5,5,5} som två uppsättningar med dubbla femor och placerar detta i skopan {A,A,B,B}, eftersom det egentligen är fyra av samma slag och måste placeras i skopan {A,A,A,A,A}. Om vi dubbelräknar blir sannolikheterna större än 1,0!
Det går att få fram ovanstående tabell på flera olika sätt. De av er som studerat matematik på universitetet kanske sträcker sig efter en binomialexpansion för att beräkna permutationerna. Alternativt, som vi diskuterade på sidan om riskanalys, är antalet kombinationer så litet (bara 1296) att du kanske helt enkelt vill bryta alla kombinationer i kod och räkna dem.
Det är faktiskt en bra mental övning att arbeta igenom härledningen av dessa siffror för att övertyga dig själv om att siffrorna är korrekta. Till exempel {A,A,A,A,A} är 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 för chansen att den andra, tredje och fjärde tärningen matchar den första. (Alternativt tänkande är att det bara finns sex sätt att få fyra av samma slag = 6/1296).
För tre av samma slag {A,A,A,A,B} finns det sex möjliga nummer som A kan vara, och fem möjliga nummer som B kan vara, och fyra platser för tärningen B, vilket är 6 x 5 x 4 kombinationer = 120/1296.
För att alla tärningar ska vara olika {A,B,C,D} finns det 5/6 chans att den andra tärningen är annorlunda än den första, och 4/6 att den tredje är unik, och 3/6 chans att den fjärde är det. 5/6 x 4/6 x 3/6 = 60/216 = 360/1296.
Interessant anmärkning – Som ett sidospår här, när man kastar fyra tärningar är det mest sannolika resultatet att man får ett par, och det finns en större än 72.2% chans att du får minst ett par (720+90+120+6)/1296
5 tärningar |
|
Nu börjar det bli lite hektiskt! Det finns 7776 möjliga kombinationer för fem tärningar. Resultaten visas nedan. För att göra det kortfattat kommer jag inte att härleda dem alla här (kanske i ett framtida blogginlägg), utan jag visar helt enkelt resultaten så att vi kan återgå till Markovkedjan.
Interessant notering – Sannolikheten för att få en FullHouse i ett enda kast är 300/7776 jfr. fyrtal på bara 150/7776. Enligt våra regler ger ett full house 25 poäng och (som mest) kan fyra av samma slag ge 30 poäng (alla sexor – Yahtzee-bonus undantaget), så ett full house är en lätt poängplockare, dubbelt så lätt som att få fyra av samma slag!
Interessant kommentar – Med fem tärningar finns det 7056/7776 chans att du får ett par eller bättre på din första rulle (90.7%)
Tillbaka till Markov
För att utföra vår Markov-analys måste vi skapa en övergångsmatris som definierar sannolikheten för att flytta mellan varje tillstånd.
Som tillstånd kommer jag att välja antalet matchande tärningar i uppsättningen, så vi har 5 tillstånd: 1,2,3,4,5 (Här kan ”1” matchande tärning också beskrivas som en singleton). Detta resulterar i en matris med 25 element.
 |
Vår matris kommer att vara övre triangulär till sin natur (vi har gjort antagandet att det är en smart spelare, så om det finns tre likadana tärningar kommer vi inte att föreslå att spelaren kastar om en del av detta för att komma till en Yahtzee!) Övergångsmatrisen kommer att visa sannolikheterna för att gå från varje tillstånd till antingen samma tillstånd eller ett högre tillstånd. Här är övergångsmatrisen. Vi måste fylla varje plats som innehåller ett ’?’ med sannolikheten att gå från mellan det tillstånd som representeras av kolumnnumret till det tillstånd som representeras av radnumret. (Alla andra platser har noll sannolikhet). Här är vi … |
 |
De första posterna är lätta att fylla ut. Sannolikheten för att gå från tillstånd 5 till tillstånd 5 är 1,0 När vi väl har uppnått ett Yahtzee ska vi behålla det och inte kasta fler tärningar, så det är 100 % säkert att vi stannar i detta tillstånd! Om vi för närvarande har 4 matchande tärningar finns det en 1/6 chans att vi kastar rätt antal för att få 5, och på motsvarande sätt en 5/6 chans att vi stannar i tillstånd 4. Den stokastiska karaktären hos övergångsmatrisen bibehålls eftersom raden i denna matris summerar till 1,0 (Något måste hända, och det blir någon av dessa tillståndsändringar). |
 |
För tillstånd 3 finns det två tärningar att rulla om, vilket ger 36 möjliga kombinationer. (Minns tillbaka till avsnittet om kombinatronik ovan). Det finns en chans på 1/36 att båda tärningarna matchar den aktuella trissan för att göra en Yahtzee och denna sannolikhet placeras i rad 3 och kolumn 5. Det finns en 25/36-chans att spelaren fortfarande har tre likadana i slutet av nästa kast (5/6 chans att missa med den första tärningen multiplicerat med 5/6 chans att missa med den andra tärningen). Slutligt finns det en 10/36-chans att få ett ytterligare nummer för att göra fyra likadana. Detta är 1/6 x 5/6, och detta kan uppnås på två olika sätt (antingen matchar den första tärningen, eller så gör den andra det). |
 |
Det börjar bli lite knepigare nu, så vi ska sakta ner. För att gå från tillstånd 2 till tillstånd 5 krävs det att alla tre omkastade tärningar matchar det aktuella paret. Detta sker med sannolikhet 1/216 (vilket är 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6). Och om man går från ingenting som matchar (tillstånd 1) till tillstånd 5 motsvarar det att kasta en Yahtzee i ett svep (eftersom alla tärningar kastas om). Detta är 1/1296, beräknat som (1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6). |
 |
Vi kan fylla i ytterligare två koefficienter. Om du har otur och inte har något som matchar (tillstånd 1) och kastar om alla tärningar är sannolikheten att få något som matchar igen 120/1296 (Det är 5/6 chans att den andra tärningen inte matchar, följt av 4/6 för den tredje, 3/6 för den fjärde och 2/6 för den femte). Sannolikheterna för att få fyra likadana tärningar i ett enda kast är 25/1296 (Vilket är 150/7776. Minns du tillbaka till avsnittet Combinatronics? Den beräknas genom att få fyra tärningar lika: 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6, med den sista tärningen som inte matchar 5/6, och det finns fem möjliga sätt detta kan bildas med de fem möjliga platserna för B i uppsättningen {A,A,A,A,A,A,B}. Om det inte är klart uppenbart är sannolikheterna på den översta raden (som ändras från ingenting som matchar till något annat tillstånd), sannolikheterna för resultatet av det första kastet. |
 |
Sannolikheten för att få tre likadana i ett kast är 250/1296. Detta är lite mer utmanande att beräkna och vi måste vara försiktiga. Detta inträffar i ett av två mönster {A,A,A,A,B,B} och {A,A,A,A,B,C}. Genom att hänvisa till kombinatronics-avsnittet ovan (minns du att jag sa att det skulle vara användbart?) kan vi se att {A,A,A,A,B,B} förekommer 300/7776 gånger (det fulla huset) och {A,A,A,A,B,C} (tre likadana) förekommer 1200/7776. Genom att addera dessa (det probabilistiska sättet att säga OR) får vi 1500/7776, vilket reduceras till 250/1296. För att fylla i det sista elementet i denna rad (att få ett par) måste vi återigen vara försiktiga. Det finns två uppsättningar att ta hänsyn till: Vi måste ta hänsyn till två uppsättningar: {A,A,B,C,D} och {A,A,B,B,C}. (Ett par och två par). Eftersom vi ska göra en Yahtzee kastar vi den ena av paren tillsammans med singleton. Sannolikheten att få ett par är 1800/7776 + 3600/7776 = 5400/7776 eller 900/1296). Det är också en lättnad att veta att alla sannolikheter i denna rad summerar till 1,0 (120/1296 + 900/1296 + 250/1296 + 25/1296 +1/1296). |
 |
Övergången från ett par (tillstånd 2) till fyrtal (tillstånd 4) är sannolikhet 15/216. Det är 1/6 chans att en av tärningarna matchar, sedan ytterligare 1/6 chans att en annan matchar, multiplicerat med 5/6 chans att den sista tärningen inte matchar. Det finns tre möjliga sätt för vilken av de 5/6 tärningarna är, så den slutliga sannolikheten = 3 x 1/6 x 1/6 x 5/6 = 15/216. |
 |
Nu kommer de två sista knepiga. När man läser lite på internet är det här som folk verkar göra misstag i sina beräkningar. Komplikationen uppstår eftersom man, när man rullar om tre tärningar, kanske vill ”hoppa av” om vad man siktar på. Om du till exempel kastade ett par på ditt första kast, behöll paret och kastade om tre tärningar, och dessa tre tärningar gav alla samma resultat (men inte samma som paret, annars skulle det vara Yahtzee!), så skulle du på nästa kast vilja behålla de tre samma och kasta om paret. Denna subtilitet ändrar sannolikheterna. Låt oss arbeta igenom detta – Vi har behållit ett par och kastat om tre tärningar. Minns från vår kombinatronik med tre tärningar att tre tärningar visar sig alla lika med sannolikheten 1/6 x 1/6 = 1/36 = 6/216, men i ett av dessa fall kommer detta antal som kastas att vara detsamma som paret (vilket orsakar en Yahtzee), så vi måste subtrahera detta fall. Chansen att konvertera från två av samma slag till tre av samma slag är alltså 6/216 – 1/216 = 5/216. |
För att komplettera koefficienten för övergång från ett par (tillstånd 2) till att förbli ett par (tillstånd 2) behöver vi den grundläggande sannolikheten för detta, som helt enkelt är 5/6 x 5/6 x 5/6 (alla tre tärningarna missar att matcha paret), och från detta måste vi subtrahera chansen att alla dessa tre tärningar är likadana och inte bildar en Yahtzee (5/216), så slutresultatet för detta element = 125/216 – 5/216 = 120/216.
Samma gäller det omvända tricket för övergångssannolikheten från ett partillstånd 2 till tre av samma slagtillstånd 3. Här är den grundläggande sannolikheten för att gå från tillstånd 2 till tillstånd 3 75/216 (tre tärningar kastas, med 1/6 chans till en träff, sedan två 5/6 chanser till en miss, och det finns tre kombinationer av sätt som detta kan åstadkommas på, vilket är 3 x 1/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6). Till denna grundsannolikhet på 75/216 måste vi lägga till chansen på 5/216 från ovan att vi fick tre av samma slag genom denna alternativa väg.
Det sista elementet som krävs för att slutföra vår övergångsmatris från tillstånd 2 till tillstånd 3 är alltså 75/216 + 5/216 = 80/216.
Det är också en lättnad att räkna ut att sannolikheterna i den här raden sammanlagt är 1,0! (120/216 + 80/216 + 15/216 + 1/216). Detta hjälper till att bekräfta att våra beräkningar är korrekta.
Vår övergångsmatris är nu komplett!
Matrismultiplikation
Vi matar nu in en identisk kolumnvektor och multiplicerar denna med övergångsmatrisen. Den resulterande radvektorn visar sannolikheterna för de olika tillstånd som tärningarna kan befinna sig i. Vi kan nu ta detta resultat och använda det som indata igen och denna gång är resultatet superpositionen av sannolikheterna för tärningarna i slutet av det andra kastet. För att få fram sannolikheten för att få en Yahtzee på (eller före) tre kast, multiplicerar vi en sista gång och läser resultatet av det första elementet (tillstånd 5) i den slutliga utdatavektorn.
(Från och med nu övergår jag till decimaler/procent för att representera sannolikheterna, eftersom de inblandade bråken är för otympliga att skriva in och läsa).
Resultat
Sannolikheten för att få ett Yahtzee är 4,6029%
Snygga grafer
Om du missade ditt Yahtzee-rullning, vad händer om du rullar igen? (som mina barn ibland försöker göra!) Och igen? Och igen? …
Nedan följer ett diagram som visar den procentuella chansen att få ett Yahtzee i n-rullningar. X-axeln är antalet kast och y-axeln visar den procentuella chansen.
Kurvan asymptomatiserar till 100 % och passerar över 50 % vid kast nr 10. För att vara 95 % säker på att få en Yahtzee behöver du 23 kast.
|
Ofta missar du ett Yahtzee-försök. Hur ser fördelningen av sannolikheterna ut? Hur stor är sannolikheten att du får fyrtal när du skjuter på din Yahtzee? Denna information är lätt att få fram genom att läsa av värdet från Markovkedjans utgångsvektor för tillstånd 4. (Sannolikheten att du hamnar med fyrtal i tre kast är 24,476 %, och tretal är 45,240 %). Tabellen till vänster visar den procentuella fördelningen för de första 25 kasten. Nedan visas samma data i grafiskt format. Lägg märke till att efter 9 kast blir Yahtzee den mest sannolika händelsen, och chansen att hamna med ett par eller Singleton sjunker snabbt till brus.
|