+ Dela sidan med dina vänner

Introduktion till kalkyl

Kapitel 1 – Introduktion

• Avsnitt 1.1 – Varför studera kalkyl
• Avsnitt 1.2 – Varför man inte ska studera kalkyl

Avsnitt 1.1 – Varför man ska studera kalkyl

Som student ser du förmodligen kalkyl som ännu en ologisk memorering av ekvationer som man behöver för att klara skolan. Du känner att du aldrig kommer att bli kallad att använda något av det ”hypotetiska rappakalja” som du lär dig. Följaktligen närmar du dig ämnet med filosofisk likgiltighet och anpassar dig till att uthärda det som du inte kan bota.

Kanske finns det någonstans bakom denna dåliga känsla en tro på att kalkyl är ett nödvändigt verktyg för din existens i den verkliga världen. Oavsett hur man definierar en framgångsrik existens är en förståelse för kalkyl inte nödvändig för ditt välbefinnande. Det är faktiskt en överdrift att hävda att man behöver det för att ens bli vetenskapsman.

Trots allt tvekar inte många yrkesverksamma ingenjörer att erkänna sin okunnighet i ämnet. En sådan ingenjörs förståelse av kalkyl är begränsad till att han eller hon känner till ekvationerna och vet hur man använder dem. Om en ingenjör har en god känsla för vad han eller hon kan förvänta sig baserat på erfarenhet, är det inte så viktigt att räkna med siffror. De bästa ingenjörerna behöver bara siffertricket för att bekräfta vad de tror att resultatet kan bli.

Så här långt har denna introduktion bara lyckats bekräfta vad du kanske redan känner om dina studier av kalkyl, dvs. att det är ett meningslöst slöseri med tid! Varför måste du bry dig om att lära dig det medan andra klarar sig utan att ha någon som helst förståelse för det? Vad mer kan kalkylen innehålla förutom memorering, manipulering och frustration? Utan att underblåsa dina växande misstankar ytterligare, låt oss återgå till den ursprungliga frågan och besvara den ur en rent icke-materialistisk synvinkel.

Varför studera kalkyl? Denna fråga besvaras bäst med en annan fråga: Vad handlar kalkyl om? Det är ytterst svårt att besvara denna fråga kortfattat och övertygande, för det skulle kräva att man parafraserar hela denna bok till bara några få rader text. Jag skulle kunna presentera en rad situationer där kalkyl tillämpas, men det skulle ge dig det falska intrycket att praktiska tillämpningar och matematisk teori är sammanlänkade enbart av en slump. Den enklaste definition jag kan ge är att kalkyl är studiet av matematiskt definierade förändringar. Det finns två ord i den definitionen som kräver ytterligare förklaring innan den blir begriplig. Dessa ord är matematik och förändring .

Vad är matematik? I grund och botten är matematik inget annat än vetenskapens språk. Medan vetenskap är en systematisk studie av naturen är matematik en kortfattad form av kommunikation som används för att representera naturen. Människans förnuftsförmåga gör det möjligt för henne att observera, dissekera och ställa hypoteser om naturen och alla dess pågående processer så att slutresultatet av denna ordnade analys är matematik. Men vad menas med vetenskap och natur? I stället för att fortsätta med frågor som endast besvaras av generaliseringar, låt oss börja denna studie av kalkyl med en studie av människan.

Vad får människan att agera, tänka, känna, röra sig och fungera? Ämnet filosofi ägnar sig helt och hållet åt att besvara frågor som dessa, även om det ofta frågar mer än vad det är berett att besvara. Livet omkring oss utmanar oss ständigt att leva och reagera på det till synes omöjliga och outgrundliga. Vi ställs inför dilemman som kräver vår bedömning. Den etiska kodex och de moraliska principer som vi lever efter visar sig dock inte vara något annat än en uppsättning ironiska motsägelser. Vi finner oss omgivna av ett hav av kaos. Livet för oss sedan genom detta hav av förvirring utan att stanna någonstans för att släppa av oss vid en destination. Livet verkar meningslöst utan någon mening i sikte.

Är människan begränsad till detta hjälplösa tillstånd av existens? Ärligt talat vet ingen svaret. Vi kan dock söka hopp i sinnet. Tankeförmåga, förnuft och logik är det som gör det möjligt för människan att ta kontroll över livet och i slutändan tjäna som en guide till upplysning och visdom. Aristoteles ansåg att lycka endast kan uppnås genom att odla sinnet. Han skrev:

Människans särskilda förträfflighet är hennes tankeförmåga; det är med hjälp av denna förmåga som hon överträffar och behärskar andra former av liv; och eftersom tillväxten av denna förmåga har gett henne överlägsenhet, kan vi förmoda att utvecklingen av den kommer att ge henne fulländning och lycka.

Detta leder till frågan: Hur definierar vi förnuft? Detta är synonymt med att fråga hur tankarna definierar beteendet? Som barn hade du liten kontroll över dina handlingar. Det verkade inte finnas något syfte bakom det du gjorde eller det som hände dig. Livet bar dig med sig och gav dig friheten att njuta av färden.

Tanken om den fria viljan erbjuder en mer trovärdig förklaring till mänskliga handlingar. Den säger att människan har valfrihet att bestämma sig för en viss handling. Handlingar är resultatet av val; val som vi är fria att göra.

Den gren av filosofin som kallas determinism tar den fria viljan ett steg längre för att förklara varför människan väljer att handla på ett sätt framför ett annat. När människan ställs inför en situation är den handlingslinje hon bestämt sig för att följa baserad på erfarenhet, personliga intressen och preferenser. De beslut vi fattar är alltså helt och hållet påverkade av våra tidigare erfarenheter. Viljan är inte fri att bete sig på egen hand. Mitt beslut att skriva den här boken grundade sig till exempel inte på någon impulsiv instinkt utan på en kulmination av omständigheter som jag utsattes för och reagerade mot.

Varje handling, från den mest slumpmässiga till den mest perversa, kan förklaras av den uppsättning situationer, erfarenheter, tankar och känslor som föregick handlingen. I huvudsak säger determinismen att våra liv är förutbestämda i den mån att vi, oavsett hur vi lever, aldrig kan ändra vår livsbana. Som en fransk tänkare en gång sa: ”Vi förändras men förblir ändå desamma”. Logiken bakom detta påstående är att om vårt förflutna aldrig kan ändras så kommer vår framtid alltid att förbli densamma. Varje handling dikteras av den föregående.

Det är vid denna punkt som vetenskap och konst skiljer sig åt. För vetenskapsmannen är determinismen en tillräckligt korrekt förklaring av det mänskliga livet, eftersom den säger att allt som inträffar sker av en uppsättning orsaker. Att observera och förstå dessa orsaker blir vetenskapsmannens uppgift. Konstnären däremot tolkar determinismen som att den säger: ”Eftersom allt i livet är förutbestämt är livet meningslöst”.

Livet må vara meningslöst, men det är konstnärens mål att ifrågasätta detta påstående genom att utforska den mänskliga naturens och hjärtats mystiska djup. Kanske är det livets totala slumpmässighet som får oss att ignorera vårt oföränderliga öde. Ingen människa har någon kontroll över de handlingar som hon eller han kommer att utsättas för. Ödet börjar förlora sin betydelse eftersom man aldrig vet vad som kommer att hända en själv. Det krävs konstnärens risker för att skapa kaos ur vilket visdom utvecklas.

Å andra sidan är studiet av naturen mer exakt och det är mindre troligt att den påverkas av en mängd olika orelaterade faktorer. I naturen är alla handlingar, händelser eller förändringar beroende av ett fåtal faktorer som noggrant kan isoleras och studeras individuellt. Vetenskap handlar specifikt om att analysera dessa interagerande system och sedan bilda hypoteser som exakt kan förklara dem.

Det som gör det så intressant att observera fenomen i naturen är att de alltid inträffar i en sluten miljö där yttre faktorer lätt kan avlägsnas för att lämna kvar bara ett fåtal interagerande objekt. Det är dessa objekt tillsammans med deras egenskaper som står i fokus för studierna. Varje försök att logiskt förklara deras unika interaktion måste komma från objekten själva och inte från imaginära externa faktorer. Genom resonemang och observation kan naturen förstås, så att framtiden kan bestämmas utifrån nuet. Som Sherlock Holmes ofta skulle varna Watson: ”Du ser men du observerar inte!”. .

Ofta misslyckas människorna med att förstå denna enkla naturregel genom att okunnigt tillskriva gudarna, himlen eller någon mystisk substans med superkrafter alla naturligt förekommande fenomen. För att förstå och acceptera sanningen krävs ett öppet och kritiskt sinne. Charlotte Bronte skrev humoristiskt om denna ironiska brist i den mänskliga naturen i sin populära roman Shirley.

Notera väl! Närhelst du presenterar den faktiska, enkla sanningen, blir den på något sätt alltid fördömd som en lögn: de förnekar den, kastar den av sig, kastar den på socknen; medan produkten av din egen fantasi, det rena påhittet, den rena fiktionen, anpassas, benämns som vacker, korrekt, ljuvligt naturlig: den lilla falska stackaren får alla kamouflage – den hederliga, laglydiga bantningen får alla handklovar. Så är det i världen…”.

Vetenskapen hindras inte bara av okunnighet och bedrägeri, utan också av pseudovetenskapsmännens arbete. Pseudovetenskapsmannen beskrivs av den spanske filosofen Jose Ortega i hans fantastiska bok om den moderna västerländska civilisationen, The Revolt of the Masses:

”… År 1890 tar en tredje generation över befälet i den intellektuella världen, och vi finner en typ av vetenskapsman som saknar motstycke i historien. Han är en person som av allt som en rutinmässigt plikttrogen man måste veta endast vet något om en specifik vetenskap; även om denna vetenskap är han välinformerad endast inom det begränsade område där han är en aktiv forskare. Han kan till och med gå så långt som att hävda att han har en fördel av att inte odla det som ligger utanför hans eget snäva område, och han kan förklara att nyfikenhet på allmän kunskap är ett kännetecken för amatörer, dilettanter, och han kan förklara att nyfikenhet på allmän kunskap är ett kännetecken för amatörer, dilettanter.

Inom sitt lilla område lyckas han upptäcka nya fakta, utveckla vetenskapen som han knappt känner till och öka med kraft det uppslagsverk av kunskap som han samvetsgrant är okunnig om …”.

Nobelpristagaren i fysik Richard Feynman skrev följande observationer om de olika typerna av pseudovetenskapsmän som han mötte vid en konferens. De flesta av vetenskapsmännens arbete föll in i någon av dessa kategorier:

1. Helt obegripligt
2. Vagt och obestämt
3. Något korrekt som är uppenbart och självklart, som utarbetas genom en lång och svår analys och presenteras som en viktig upptäckt
4. Ett påstående baserat på författarens dumhet att något uppenbart och korrekt som accepterats och kontrollerats i åratal i själva verket är falskt
5. Ett försök att göra något som troligen är omöjligt men som inte är till någon nytta, men som till slut avslöjas som ett misslyckande
6. Helt enkelt fel

Ett av hjärnans anmärkningsvärda mästerverk är matematikens vetenskap, ofta kallad vetenskapen om deduktiva resonemang. Medan vetenskapen är ett logiskt tankesystem som används för att studera den naturliga världen är matematiken vetenskapens exakta språk. Det är kommunikationsformen för vetenskaplig analys. Tal och symboler är ingenting annat än vaga abstraktioner om de inte hänvisar till något specifikt.Innan matematiken kan existera måste det finnas en situation som ger den en mening. Det är den vetenskapliga analysen som bestämmer matematikens struktur.

Med hjälp av matematiken kan vi definiera nuet. Nuet är endast beroende av de förhållanden som existerar inom den korta tidsram som det upptar. Snabbt försvinner det inför våra ögon och blir ett minne. Vetenskapens mål är att definiera den objektiva världen i termer av existerande kvantifierbara förhållanden som uttrycks genom matematik. Våra dimensioner eller egenskaper förblir fasta och förändras inte.

Det är när våra dimensioner förändras som vår studie blir lite mer komplicerad och kalkyl uppstår. Men först vill jag fråga vad som menas med förändring. För att förstå förändring måste vi förklara begreppet tid. Per definition är tid en passage av händelser, så att för att tid ska passera måste något förändras i förhållande till sig självt. Ett objekt i rörelse innebär till exempel att avståndet till en referenspunkt förändras. Detta utgör en händelse som definierar tiden. Eller en stigande temperatur innebär att temperaturen förändras, vilket tar tid i anspråk. Förändringar är resultatet av handlingar som utgör en situation.

Men även om kalkyl är studiet av matematiskt definierade förändringar är det inte nödvändigtvis studiet av enbart tid. Inom vetenskapen kan andra dimensioner förändras i förhållande till varandra. Till exempel kan hastigheten förändras med höjden, temperaturen förändras med energin, densiteten förändras med djupet, kraften förändras med massan etc.

När en dimension förändras i förhållande till sig själv säger vi att den förändras i förhållande till tiden. När faktorer förändras med avseende på varandra bortser vi från den effekt som tiden har på faktorerna och fortsätter att endast analysera de samverkande dimensionerna. Vi antar att våra faktorer är konstanta som förändras i förhållande till varandra, inte i förhållande till tiden. Kalkyl är således den gren av matematiken som används för att studera alla fenomen som inbegriper förändring . Förändring är ett relativt begrepp som kan omfatta alla par dimensioner, tid, kraft, massa, längd, temperatur osv. Detta kan låta lite abstrakt, men det kommer att bli mycket tydligare när vi följer kursen.

Detta avslutar svaret på vad kalkyl handlar om. Ni kanske inte tycker att jag har svarat på den ursprungliga frågan, ”Varför studera kalkyl?”. Syftet med att studera kalkyl är helt enkelt att introducera ditt sinne till den vetenskapliga analysmetoden. Genom vetenskapen kan praktiska problem identifieras, förklaringar skapas och logiska lösningar väljas. Målet är att du ska förstå hur du kan använda ditt sinne på ett systematiskt sätt för att förstå världen omkring dig.

Ingenjörsvetenskap är mer beroende av detta grundläggande logiska tillvägagångssätt för att lösa problem än av ren och skär siffertolkning och manipulering av formler. Av denna anledning har många ingenjörer glömt alla teorem i kalkyl, men det som återstår är den viktiga konceptuella ramen för metod och tillämpning. Ingenjörer erkänner ofta skämtsamt: ”Vi kan inte all matematik, men vi känner till slutresultatet! ”

Gott ingenjörssinne definieras som förmågan att snabbt identifiera ett problem, komma med praktiska lösningar och sedan välja det mest effektiva alternativet. Många verkliga problem är oberoende av komplex matematik, men samma systematiska vetenskapliga tillvägagångssätt krävs för att lösa dem. Tillämpning av sund logik är allt som krävs för att reducera komplexiteter till enkelheter.

Tidigt i inledningen konstaterade jag att det var en överdrift att hävda att man behöver kalkyl för att bli vetenskapsman. De ingenjörer och vetenskapsmän som klarar sig med en ytlig kunskap i ämnet faller inom området för pseudovetenskapsmän och charlataner. Som Ortega skrev, pseudovetenskapsmannen ”främjar den vetenskap som han knappt känner till, och ökar med nödvändighet det uppslagsverk av kunskap som han samvetsgrant är okunnig om…”. Det är spänningen och upplysningen av att förstå naturen som driver vetenskapsmannen. Ingenjören tar vetenskapen ett steg längre för att kontrollera naturen så att den passar människans behov. Både ingenjören och vetenskapsmannen delar en djup uppskattning av hur naturen fungerar; en uppskattning som utvecklas till visdom.

Därför är syftet med att studera kalkyl tvåfaldigt. Det första är att introducera dig till de grundläggande matematiska begrepp som används för att studera nästan alla typer av föränderliga fenomen i en kontrollerad miljö. För det andra kommer studierna i kalkyl att utveckla ett ovärderligt vetenskapligt sinne och praktiska tekniska problemlösningsförmågor hos dig. Du kommer att förstå hur man tänker logiskt för att reducera även de mest komplexa systemen till ett fåtal interagerande komponenter. När du studerar de viktigaste begreppen, teorierna och exemplen i den här boken kommer ditt sinne att utvecklas till ett kraftfullt systematiskt instrument.

För att avsluta på ett humoristiskt sätt, läs följande satiriska essä från The Onion i kapitlet om 1925 i deras bok Our DumbCentury.

Bör vi lära våra barn fakta? Nej, säger jag, tusen gånger nej! När de växer upp till morgondagens bönder, hemmafruar, fabriksarbetare och gruvarbetare är fakta det sista de kommer att behöva. Manér! Underkastelse! Framför allt lydnad! Att bara tala när de blir tilltalade och inte orsaka problem! Detta är de principer som vårt utbildningssystem bygger på. Varför i Guds namn skulle vi ersätta det med ett system som faktiskt uppmuntrar en okunnig människa att ställa frågor? En god medborgare gör inget sådant. Han nöjer sig med de skäl som han får av sina överordnade.

Frågor

1. Har Gud skapat människan eller människan skapat Gud? Vissa säger att människan och naturen är alltför välgjorda för att ske slumpmässigt. De många fysiska lagarna i detta universum måste ha skapats av en skapare, precis som trafiklagarna har skapats av människan. Även om evolutionen kan verka slumpmässig är den i själva verket en ackumulering av oändliga förändringar över tiden. Det vi ser är bara det nuvarande tillståndet, inte de oändliga lager som har lagts ner under en evighet. Av denna anledning är det lätt att dra slutsatsen att det nuvarande tillståndet är för perfekt för att förstå. Men när man studerar hur varje lager av evolutionen sker blir det ganska lätt att förstå hur komplexitet kan uppnås från de enklaste förändringar som ackumulerats över tiden. Kommentera denna fråga med hänsyn till din syn på religion och vetenskap.
2. Livets paradox är att man måste lida för att kunna njuta av det. Eller tänk på citatet av den moderna olympiska rörelsens fader: ”Det viktigaste i de olympiska spelen är inte att vinna utan att delta, precis som det viktigaste i livet inte är triumfen utan kampen”. Det viktigaste är inte att ha segrat utan att ha kämpat väl. ”Vad tycker du? Handlar livet om prestationer eller om resan till dessa prestationer?
3. Världen innehåller tusentals kulturer. Varje kultur har sin egen uppsättning moral och normer som samhället försöker leva efter. Det som en kultur anser vara bra kan en annan kultur betrakta som tabu. Även om de flesta människor i grund och botten är goda finns det inte mycket samstämmighet i det socialt accepterade beteendet. Är moralen absolut eller existerar den endast i förhållande till varandra? Tror du med andra ord att vissa handlingar kan bedömas som rent goda eller onda, oavsett personlig uppfostran? Vilka aspekter av din kultur skulle kunna uppfattas som konstiga eller negativa av någon från en annan kultur?

Nästa avsnitt ->Avsnitt 1.2 – Varför man inte ska studera matematik