O caso mais simples do último teorema de Fermat, a impossibilidade de resolver x3 + y3 = z3 em números inteiros não zero, foi provado. Em outras palavras, 1 não é expressável como uma soma de dois cubos de números racionais. No entanto, o problema ligeiramente prolongado, no qual os inteiros D são expressíveis como uma soma de dois cubos de números racionais, não está resolvido. Há a conjectura (baseada no trabalho de Birch, Swinnerton-Dyer e Stephens) de que x3 + y3 = D é solvível nos números racionais para todos os inteiros positivos sem quadrados D ≡ 4 (mod 9). A condição de que D deve ser livre de quadrados é necessária. Como exemplo, é mostrado perto do final deste trabalho que x3 + y3 = 4 não tem solução nos números racionais. O restante deste trabalho está relacionado com a prova publicada pelo primeiro autor (Proc. Nat. Acad. Sci. USA., 1963) intitulada “Observações sobre uma conjectura de C. L. Siegel”. Isto apontou um erro numa declaração de Siegel de que a equação diophantine ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 = n tem um número limitado de soluções inteiras para a, b, c, d, e, além disso, que o limite é independente de a, b, c, d, e n. No entanto, x3 + y3 = n já tem um número ilimitado de soluções. O próprio papel de S. Chowla contém um erro ou, pelo menos, uma omissão. Isto pode ser rectificado citando um teorema de E. Lutz.