Articles

Op x3 + y3 = D

Het eenvoudigste geval van de laatste stelling van Fermat, de onmogelijkheid om x3 + y3 = z3 op te lossen in gehele getallen niet nul, is bewezen. Met andere woorden, 1 is niet uit te drukken als een som van twee kubussen van rationale getallen. Het iets uitgebreidere probleem, waarbij gehele getallen D uitdrukbaar zijn als een som van twee kubussen van rationale getallen, is echter onopgelost. Er is het vermoeden (gebaseerd op werk van Birch, Swinnerton-Dyer, en Stephens) dat x3 + y3 = D oplosbaar is in de rationale getallen voor alle kwadraatvrije positieve gehele getallen D ≡ 4 (mod 9). De voorwaarde dat D kwadraatvrij moet zijn is noodzakelijk. Als voorbeeld wordt tegen het einde van dit artikel getoond dat x3 + y3 = 4 geen oplossingen heeft in de rationale getallen. De rest van dit artikel gaat over het bewijs dat door de eerste auteur is gepubliceerd (Proc. Nat. Acad. Sci. USA., 1963) onder de titel “Remarks on a conjecture of C. L. Siegel.” Hierin werd gewezen op een fout in een bewering van Siegel dat de diophantische vergelijking ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 = n een begrensd aantal gehele oplossingen heeft voor vaste a, b, c, d, en verder dat de begrenzing onafhankelijk is van a, b, c, d, en n. Echter, x3 + y3 = n heeft al een onbegrensd aantal oplossingen. Het artikel van S. Chowla zelf bevat een fout of op zijn minst een omissie. Dit kan worden rechtgezet door een stelling van E. Lutz te citeren.