Föreställ dig att utkämpa ett krig på tio slagfält. Du och din motståndare har 200 soldater vardera, och ert mål är att vinna så många strider som möjligt. Hur skulle ni placera ut era trupper? Om du sprider ut dem jämnt och skickar 20 till varje slagfält kan din motståndare koncentrera sina egna trupper och lätt vinna majoriteten av striderna. Du kan försöka övermanna flera platser själv, men det finns ingen garanti för att du vinner, och du lämnar de återstående slagfälten dåligt försvarade. Att utforma en vinnande strategi är inte lätt, men så länge ingen sida känner till den andras plan i förväg är det en rättvis kamp.

Föreställ dig nu att din motståndare har makten att placera ut både dina och sina egna trupper. Även om du får fler trupper kan du inte vinna.

I det politiska kriget kommer denna makt att placera ut styrkor från gerrymandering, den urgamla metoden att manipulera röstningsdistrikt för partipolitisk vinning. Genom att bestämma vem som röstar var, kan politiker luta oddsen till sin fördel och besegra sina motståndare innan slaget ens har börjat.

År 1986 förklarade Högsta domstolen att extrema partipolitiska gerrymanders är grundlagsstridiga. Men utan ett tillförlitligt test för att identifiera orättvisa distriktskartor har domstolen ännu inte kastat ut några. Nu när landets högsta domstol hör argument för och emot en rättslig prövning av Wisconsins distriktskarta för delstatsförsamlingen står matematikerna i frontlinjen i kampen för rättvisa val.

Enklare matematik kan hjälpa intrigerande politiker att rita upp distrikt som ger deras parti ett överdrivet stort inflytande, men matematiken kan också hjälpa till att identifiera och åtgärda dessa situationer. I somras samlades Metric Geometry and Gerrymandering Group, som leds av matematikern Moon Duchin, vid Tufts University, bland annat för att diskutera nya matematiska verktyg för att analysera och åtgärda gerrymandering. ”Effektivitetsgapet” är en enkel idé som ligger till grund för några av de verktyg som övervägs av Högsta domstolen. Låt oss utforska detta begrepp och några av dess förgreningar.

Start med att föreställa oss en stat med 200 väljare, varav 100 är lojala mot parti A och 100 mot parti B. Låt oss anta att staten behöver välja fyra representanter och därför måste skapa fyra distrikt med lika stor valmängd.

Föreställ dig att du har makten att tilldela väljare till vilket distrikt du vill. Om du föredrar parti A kan du fördela de 100 A-väljarna och 100 B-väljarna på de fyra distrikten på följande sätt:

.

.

Med distrikt konstruerade på detta sätt, vinner parti A tre av fyra val. Om du föredrar parti B kan du naturligtvis fördela väljarna på detta sätt:

.

Här, är resultaten omvända, och parti B vinner tre av fyra val.

Bemärk att i båda scenarierna röstar samma antal väljare med samma preferenser i samma antal val. Om man bara ändrar fördelningen av väljare mellan distrikten ändras resultaten dramatiskt. Möjligheten att bestämma röstningsdistrikt ger mycket makt, och det räcker med att följa lite enkel matematik för att skapa en valfördel.

Tänk om du i stället för att skapa en fördel för det ena partiet framför det andra ville använda din makt för att skapa rättvisa distrikt? Först måste du fastställa vad ”rättvis” innebär, och det kan vara knepigt eftersom vinnare och förlorare ofta har olika syn på rättvisa. Men om vi börjar med vissa antaganden om vad ”rättvis” innebär kan vi försöka kvantifiera hur rättvis olika röstfördelningar är. Vi kan diskutera dessa antaganden och deras konsekvenser, men genom att använda en matematisk modell kan vi försöka jämföra olika scenarier. Effektivitetsgapet är ett sätt att kvantifiera hur rättvis en väljarfördelning är.

För att förstå effektivitetsgapet kan vi börja med att konstatera att i en serie relaterade val har inte alla röster samma effekt. Vissa röster kan göra stor skillnad och vissa röster kan betraktas som ”bortkastade”. Skillnaden i bortkastade röster är effektivitetsgapet: Den mäter hur jämnt, eller ojämnt, bortkastade röster fördelas mellan de konkurrerande partierna.

Så vad räknas som en bortkastad röst? Tänk på Kaliforniens roll i presidentvalen. Sedan 1992 har Kalifornien alltid stött den demokratiska presidentkandidaten. Därför vet republikanerna i Kalifornien att de med största sannolikhet stöder en förlorande kandidat. På sätt och vis är deras röst bortkastad: Om de fick rösta i en delstat som Florida skulle deras röst kunna göra större skillnad. Ur ett republikanskt perspektiv skulle det vara en mer effektiv användning av deras röst.

Det visar sig att demokratiska väljare i Kalifornien kan göra ett liknande resonemang om att deras röst är bortkastad. Eftersom den demokratiska kandidaten troligen kommer att vinna Kalifornien i en jordskredsseger är många av deras röster på sätt och vis också bortkastade: Oavsett om kandidaten vinner Kalifornien med 51 procent av rösterna eller 67 procent av rösterna är resultatet detsamma. Dessa extra vinnarröster är meningslösa.

I samband med effektivitetsgapet finns det alltså två typer av bortkastade röster: de för en förlorande kandidat och de för en vinnande kandidat som går utöver vad som är nödvändigt för att vinna (för enkelhetens skull antar vi att tröskelvärdet för seger är 50 procent, även om detta tekniskt sett skulle kunna resultera i oavgjort resultat; ett faktiskt oavgjort resultat är mer än osannolikt med hundratusentals väljare i varje kongressdistrikt). I ett val med flera distrikt kommer varje parti sannolikt att ha bortkastade röster av varje slag. Effektivitetsgapet är skillnaden mellan summan av de bortkastade rösterna för varje parti, uttryckt i procent av det totala antalet avgivna röster. (Vi subtraherar det mindre talet från det större när det är möjligt, för att säkerställa ett icke-negativt effektivitetsgap. Vi skulle också kunna ta det absoluta värdet av skillnaden.)

Låt oss återgå till våra scenarier med fyra distrikt och undersöka deras effektivitetsgap. Vår första fördelning såg ut så här.

I detta scenario, 75 av B:s röster är bortkastade: 60 för att förlora och 15 fler än de 25 som krävs för att vinna distrikt 4. Endast 25 av parti A:s röster slösas bort: 5 extra röster i varje seger och 10 förlorarröster. Den råa skillnaden i bortkastade röster är 75 – 25 = 50, så effektivitetsgapet här är 50/200 = 25 procent. Vi säger att den 25-procentiga effektivitetsskillnaden här gynnar parti A, eftersom parti B hade det större antalet bortkastade röster. I det andra scenariot, där siffrorna är omvända, gynnar effektivitetsgapet på 25 procent nu parti B.

Kan effektivitetsgapet ge oss en uppfattning om hur rättvis en fördelning är? Tja, om du hade makten att skapa röstningsdistrikt och du ville skapa segrar för ditt parti, skulle din strategi vara att minimera de bortkastade rösterna för ditt parti och maximera de bortkastade rösterna för din motståndare. För detta ändamål används en teknik som på ett färgstarkt sätt kallas ”packing and cracking”: Motståndarrösterna packas i ett litet antal av de distrikt som man har gett upp, och det återstående blocket av röster knäcks och sprids tunt ut över resten av distrikten för att minimera deras inverkan. Denna metod skapar naturligtvis stora effektivitetsgap, så vi kan förvänta oss att rättvisare fördelningar har mindre sådana.

Låt oss ta en djupare titt på effektivitetsgapen genom att föreställa oss vår stat med 200 röster som nu är uppdelad i 10 lika stora distrikt. Tänk på följande väljarfördelning, där parti A vinner 9 av de 10 distrikten.

..

På ytan, verkar detta inte vara en rättvis fördelning av väljarna. Vad säger effektivitetsgapet?

I detta scenario är nästan alla av parti B:s röster bortkastade: nio förlorade röster i vart och ett av nio distrikt, plus nio överskottsröster i en seger, vilket ger totalt 90 bortkastade röster. Parti A:s väljare är mycket mer effektiva: endast 10 röster totalt går till spillo. Det finns en skillnad på 90 – 10 = 80 bortkastade röster och en effektivitetsskillnad på 80/200 = 40 procent, vilket gynnar parti A.

Genomför detta med följande fördelning, där parti A vinner 7 av de 10 distrikten.

.

Här, är antalet bortkastade röster 70 för parti B och 30 för parti A, vilket ger en effektivitetsskillnad på 40/200 = 20 procent. En till synes rättvisare fördelning resulterar i ett mindre effektivitetsgap.

Som en sista övning kan vi betrakta denna jämna uppdelning av distriktsvalen.

Symmetrin i sig själv tyder på svaret, och beräkningarna bekräftar det: 50 bortkastade röster för varje parti innebär en effektivitetsskillnad på 0 procent. Observera här att ett 0-procentigt effektivitetsgap motsvarar ett oberoende begrepp om rättvisa: Med väljarna i hela staten jämnt fördelade mellan de båda partierna verkar det rimligt att varje parti skulle vinna hälften av valen.

Dessa elementära exempel visar hur användbart effektivitetsgapet är som ett mått på rättvisa i valen. Det är lätt att förstå och beräkna, det är transparent och dess tolkningar är förenliga med andra uppfattningar om rättvisa. Det är en enkel idé, men en idé som används på en mängd olika komplexa sätt för att studera gerrymandering. Till exempel använder matematiker nu simuleringar för att överväga miljontals teoretiska valkartor för en viss delstat och undersöker sedan fördelningen av alla möjliga effektivitetsgap. Detta skapar inte bara ett sammanhang för att utvärdera hur rättvis en nuvarande karta är i förhållande till andra möjligheter, utan kan också potentiellt användas för att föreslå rättvisare alternativ.

Tyvärr fördelas väljarna i själva verket inte till distrikten på det sätt som vi har föreställt oss i våra exempel, men genom gerrymandering uppnås liknande resultat. Genom att strategiskt dra om distriktsgränserna kan man manipulera röstfördelningen för att skapa en ojämn spelplan för valen. Dessa orättvisa strider påverkar hur vi styrs och hjälper de etablerade majoritetspartierna att vinna omval mandatperiod efter mandatperiod. Fallet i Högsta domstolen gäller bara en av många potentiellt orättvisa kartor. Objektiva matematiska verktyg som effektivitetsgapet kan vara det enda sättet att utrota gerrymandering och hålla våra politiska slagfält i balans.

Ladda ner PDF-arbetsbladet ”Doing the Political Math” för att öva på dessa begrepp eller för att dela med eleverna.