Steg för steg-lösning :

Ekvation i slutet av steg 1 :

 ((x3) - 22x2) - 6x = 0 

Steg 2 :

Skulle ut liknande termer :

3.1 Dra ut liknande faktorer :
x3 – 4×2 – 6x = x – (x2 – 4x – 6)

försök att faktorisera genom att dela upp den mellersta termen

3.2 Faktorisering av x2 – 4x – 6
Den första termen är, x2 dess koefficient är 1 .
Den mellersta termen är, -4x dess koefficient är -4 .
Den sista termen, ”konstanten”, är -6
Steg-1 : Multiplicera koefficienten i den första termen med konstanten 1 – -6 = -6
Steg-2 : Hitta två faktorer till -6 vars summa är lika med koefficienten i den mellersta termen, som är -4 .

Observation : Inga två sådana faktorer kan hittas !!
Slutsats : Trinomialet kan inte faktoriseras

Svenska i slutet av steg 3 :

 x • (x2 - 4x - 6) = 0 

Steg 4 :

Teori – Rotter av en produkt :

4.1 En produkt av flera termer är lika med noll.
När en produkt av två eller flera termer är lika med noll måste minst en av termerna vara noll.
Vi ska nu lösa varje term = 0 separat
Med andra ord ska vi lösa lika många ekvationer som det finns termer i produkten
Alla lösningar av termen = 0 löser också produkten = 0.

Lösning av en ekvation med en enda variabel :

4.2 Lös : x = 0
Lösningen är x = 0

Parabola, hitta toppunkt :

4.3 Hitta topppunkten för y = x2-4x-6
Parabola har en högsta eller lägsta punkt som kallas toppunkt . Vår parabel öppnar sig och har följaktligen en lägsta punkt (AKA absolut minimum) . Vi vet detta redan innan vi har plottat ”y” eftersom koefficienten för den första termen, 1 , är positiv (större än noll).
Varje parabel har en vertikal symmetrilinje som går genom dess toppunkt. På grund av denna symmetri skulle symmetrilinjen till exempel gå genom mittpunkten mellan de två x -intercepten (rötterna eller lösningarna) i parabeln. Det vill säga om parabeln verkligen har två reella lösningar.
Paraboler kan modellera många verkliga situationer, t.ex. höjden över marken för ett föremål som kastas uppåt efter en viss tidsperiod. Parabelns spets kan ge oss information, t.ex. den maximala höjd som det föremål som kastas uppåt kan nå. Av denna anledning vill vi kunna hitta koordinaterna för hörnpunkten.
För varje parabel,Ax2+Bx+C,ges x -koordinaten för hörnet av -B/(2A) . I vårt fall är x-koordinaten 2,0000
Om vi använder parabelformeln 2,0000 för x kan vi beräkna y-koordinaten :
y = 1,0 * 2,00 * 2,00 – 4,0 * 2,00 – 6,0
eller y = -10,000

Parabola, grafering av toppar och X-gränser :

Rotplott för : y = x2-4x-6
Symmetriaxel (streckad) {x}={ 2,00}
Toppen vid {x,y} = { 2.00,-10.00}
x -Interpunkter (rötter) :
Rot 1 vid {x,y} = {-1.16, 0.00}
Rot 2 vid {x,y} = { 5.16, 0.00}

Lös kvadratisk ekvation genom att komplettera kvadraten

4.4 Lösa x2-4x-6 = 0 genom att komplettera kvadraten .
Lägg till 6 på båda sidor av ekvationen :
x2-4x = 6
Nu kommer den smarta biten: Ta koefficienten för x , som är 4, dividera med två, vilket ger 2, och kvadrera den slutligen, vilket ger 4
Addera 4 till båda sidor av ekvationen :
På höger sida har vi :
6 + 4 eller (6/1)+(4/1)
Den gemensamma nämnaren för de två bråken är 1. Addera (6/1)+(4/1) ger 10/1
Så genom att addera till båda sidorna får vi till slut :
x2-4x+4 = 10
Med 4 har vi kompletterat vänster sida till en perfekt kvadrat :
x2-4x+4 =
(x-2) – (x-2) =
(x-2)2
Ting som är lika med samma sak är också lika med varandra. Eftersom
x2-4x+4 = 10 och
x2-4x+4 = (x-2)2
så är enligt lagen om transitivitet
(x-2)2 = 10
Vi kallar denna ekvation för ekv. #4.4.1
Kvadratrotsprincipen säger att när två saker är lika, är deras kvadratrötter lika.
Notera att kvadratroten till
(x-2)2 är
(x-2)2/2 =
(x-2)1 =
x-2
Om vi nu tillämpar kvadratrotsprincipen på ekv. #4.4.1 får vi:
x-2 = √ 10
Tillägg 2 till båda sidor för att få:
x = 2 + √ 10
Då en kvadratrot har två värden, ett positivt och ett negativt
x2 – 4x – 6 = 0
har två lösningar:
x = 2 + √ 10
eller
x = 2 – √ 10

Lös kvadratisk ekvation med hjälp av den kvadratiska formeln

4.5 Lösa x2-4x-6 = 0 med hjälp av den kvadratiska formeln .
Enligt den kvadratiska formeln, x , är lösningen för Ax2+Bx+C = 0 , där A, B och C är tal, ofta kallade koefficienter, given genom :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
I vårt fall är A = 1
B = -4
C = -6
Därmed blir B2 – 4AC =
16 – (-24) =
40
Användning av den kvadratiska formeln :
4 ± √ 40
x = —–
2
Kan √ 40 förenklas?
Ja! Primfaktoriseringen av 40 är
2-2-2-2-5
För att kunna ta bort något under radikalen måste det finnas 2 förekomster av det (eftersom vi tar en kvadrat, dvs. andra roten).
√ 40 = √ 2-2-2-5 =
± 2 – √ 10
√ 10 , avrundat till 4 decimaler, är 3.1623
Så nu tittar vi på:
x = ( 4 ± 2 – 3,162 ) / 2
Två reella lösningar:
x =(4+√40)/2=2+√ 10 = 5,162
eller:
x =(4-√40)/2=2-√ 10 = -1,162

Tre lösningar hittades :