A Mikulás karácsonyra a Yahtzee játékot hozta a gyerekeimnek. Sokat játszottunk vele esténként. Amikor Yahtzee-t dobnak, a gyerekeim megvadulnak. Ebben a blogbejegyzésben a Yahtzee gurításának valószínűségét fogom megvizsgálni.

A Yahtzee egy játék, amit öt hatoldalú kockával játszanak. A játékos dobja a kockákat, megvizsgálja az eredményeket, és annyi kockát tarthat meg, amennyit akar, a többit újradobja. A második dobás után a folyamat megismétlődik (ha kívánja, a játékos felveheti az első fordulóban megtartott kockákat). (Legfeljebb) három dobás után a kockákat különböző kategóriák szerint pontozzák. A Yahtzee-t (50 pontot érő pontszám) akkor érjük el, ha mind az öt kockát egyformára kapjuk.

Feltételezések

Feltételezzük, hogy a játékos okos játékos, és minden döntési ponton a lehető legokosabb újradobást és megtartást választja.

A Yahtzee egyetlen dobással történő megszerzésének valószínűsége könnyen kiszámítható. Öt kocka van, tehát bármit is dob az első kocka, 1/6 esélye van annak, hogy a második kocka is ugyanazt a számot dobja. Ha ez bekövetkezik, akkor 1/6 esély van arra, hogy a harmadik kocka is ugyanez legyen, dettó a negyedik és az ötödik.

A Yahztee valószínűsége egy dobásban tehát 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/1296.

Három dobás és tartás esetén azonban a dolgok kicsit bonyolultabbá válnak. Az egyes fordulókban dobott kockák száma változtatható, és sok lehetséges kombinációt kell figyelembe venni. Mivel a kockák állapota az egyes dobások kezdetén független attól, hogy a kockákat hogyan dobtuk, ez tökéletes alkalom arra, hogy elővegyük egyik kedvenc eszközömet, a Markov-láncot (ennek további hátterét lásd a CandyLandről és a Chutes and Laddersről szóló korábbi bejegyzéseimben).

Mielőtt azonban elmélyednénk a Markov-láncban, hasznos lesz megvizsgálnunk, hogy a kockák különböző kombinációit milyen módon lehet dobni. Ez a gyakorlat nagyban leegyszerűsíti az Átmeneti mátrix létrehozását (bízz bennem). Íme …

2 kocka

Ez a triviális eset. Csak kétféle minta van arra, hogy két kockát hogyan lehet dobni. Vagy egyeznek, vagy nem. Van 1/6 esély arra, hogy a két kocka közül a második megegyezik az elsővel, és fordítva, van 5/6 esély arra, hogy nem egyezik. A valószínűségeknek természetesen össze kell adódniuk 1-re (a két esemény közül az egyiknek be kell következnie).

Egy másik módja a szemléletnek, hogy a két kocka dobásának 36 lehetséges kombinációja van. Ezek közül hat kombinációban {1,1}, {2,2}, {3,3}, {4,4}, {5,5}, {6,6} a számok megegyeznek, 30 kombinációban pedig a kockák különbözőek.

A fenti képen ezek az eredmények grafikusan láthatók. Van 6/36 esély arra, hogy mindkét kocka azonos, amit {A,A} jelképez, és 30/36 esély arra, hogy különbözőek, amit {A,B} jelképez

3 kocka

Ez egy kicsit bonyolultabbá válik, de nem sokkal. Itt a három kocka eredményének három lehetséges íze van: Vagy mind egyforma, vagy mind különböző, vagy kettő lesz az egyik számból, egy pedig a másikból. A három kocka dobásának 216 lehetséges módja van (6 x 6 x 6 x 6).

Az, hogy mindhárom kocka egyforma lesz, könnyen kiszámítható: 1/6 x 1/6 = 1/36 (A második kocka 6 kockából 1 alkalommal egyezik az elsővel, a harmadik kocka pedig szintén 6 kockából 1 alkalommal egyezik).

Alternatívaként elképzelhetjük, hogy a kockák 216 lehetséges esési módja közül hat lehetséges módja van annak, ha mind egyforma: {1,1,1}, {2,2,2,2}, {3,3,3}, {4,4,4}, {5,5,5}, {6,6,6}.

Az, hogy mind különböző, valószínűsége a következő logika szerint számítható ki: Az első kocka lehet bármi, akkor a második kocka esetében 5/6 esély van arra, hogy nem ugyanaz a szám lesz, mint az első kocka. Végül 4/6 esély van arra, hogy a harmadik kocka az első kettőtől eltérő lesz. Tehát annak a valószínűsége, hogy az összes kocka különböző lesz, 5/6 x 4/6 = 20/36, ami nem egyszerűsítve 120/216-ra egyszerűsíthető. A 216 lehetséges kimenetelből 120 lehetséges kombináció van, ahol mindhárom kocka különböző {A,B,C}.

Mivel tudjuk, hogy a három kocka dobásának összes valószínűségének összege 1,0, levonhatjuk, hogy annak a valószínűsége, hogy a két kocka {A,A,B} azonos, 90/216 (Ami 1 – 6/216 – 120/216).

(Ha meg akarod győzni magad erről, gondolj rá így: Van hat lehetséges érték, ami A lehet, öt lehetséges érték, ami B lehet, és három lehetséges választás, hogy melyik kocka lehet B. Ez 6 x 5 x 3 = 90 kombináció a 216-ból).

4 kocka

A dolgok most kezdenek egy kicsit bonyolultabbá válni. Lehet mindegyik egyforma, mindegyik különböző, három egyforma, két tétel két párral, vagy egy pár két különböző egyessel.

Négy kocka 1296 módon rendezhető el (6 x 6 x 6 x 6 x 6). Az eredmények az alábbiakban láthatók:

Itt különösen óvatosnak kell lennünk, mert nem akarunk duplán számolni. A két párból álló két tétel megszámlálásakor ügyelnünk kell arra, hogy véletlenül se számoljuk az {5,5,5,5,5,5}-t két dupla ötös sorozatnak, és ezt a {A,A,B,B,B} vödörbe tegyük, mert ez valójában négyes, és a {A,A,A,A,A,A} vödörbe kell kerülnie. Ha duplán számolunk, a valószínűségek nagyobbak lesznek, mint 1,0!

A fenti táblázatot többféleképpen is előállíthatjuk. Azok, akik az egyetemen matematikát tanultak, talán a binomiális kiterjesztéshez nyúlnak a permutációk kiszámításához. Alternatív megoldásként, ahogy azt a Kockázatelemzés oldalon tárgyaltuk, a kombinációk száma olyan kicsi (mindössze 1296), hogy lehet, hogy egyszerűen nyersen, kódban akarjuk az összes kombinációt megszámolni.

Az igazából egy jó mentális gyakorlat, ha végigdolgozzuk ezeknek a számoknak a levezetését, hogy meggyőződjünk a számok helyességéről. Például {A,A,A,A,A} 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 annak az esélye, hogy a második, harmadik és negyedik kocka megegyezik az elsővel. (Alternatív gondolkodás, hogy csak hatféleképpen lehet négy egyforma = 6/1296).

A három egyforma {A,A,A,A,A,B} esetében hat lehetséges szám van, hogy A lehet, és öt lehetséges szám, hogy B lehet, és négy hely a B kocka számára, ami 6 x 5 x 4 kombináció = 120/1296.

Az összes kocka különböző {A,B,C,D} esetén 5/6 esély van arra, hogy a második kocka különbözik az elsőtől, 4/6 esély van arra, hogy a harmadik egyedi, és 3/6 esély van arra, hogy a negyedik egyedi. 5/6 x 4/6 x 3/6 = 60/216 = 360/1296.

Érdekes megjegyzés – Itt mellékesen megjegyezzük, hogy négy kocka dobásakor a legvalószínűbb eredmény az, hogy egy párt kapunk, és nagyobb a 72-nél.2% az esélye annak, hogy legalább egy párt kapsz (720+90+120+6)/1296

5 kocka

Most a dolgok egy kicsit felpörögnek! Öt kocka esetén 7776 lehetséges kombináció létezik. Az eredmények az alábbiakban láthatók. A rövidség kedvéért nem fogom itt mindet levezetni (talán egy későbbi blogbejegyzésben), egyszerűen csak megmutatom az eredményeket, hogy visszatérhessünk a Markov-lánchoz.

Érdekes megjegyzés – A FullHouse egy dobással történő dobásának valószínűsége 300/7776, vö. a Four of a kind csak 150/7776. Szabályaink szerint a full house 25 pontot ér, és (legfeljebb) a négy egyforma 30 pontot érhet (az összes hatos – a Yahtzee-bónusz kivételével), tehát a full house könnyű pontgyűjtés, kétszer olyan könnyű, mint a négy egyforma elérése!

Érdekes megjegyzés – Öt kockával 7056/7776 az esélye annak, hogy az első dobásnál egy párt vagy jobbat kapunk (90.7%)

Vissza a Markovhoz

A Markov-elemzésünk elvégzéséhez létre kell hoznunk egy átmenetmátrixot, amely meghatározza az egyes állapotok közötti átmenet valószínűségét.

Az állapotokként a megfelelő kockák számát fogom kiválasztani a készletben, tehát 5 állapotunk van: 1,2,3,4,5 (Itt az “1” egyező kockát szingletonnak is nevezhetnénk). Ez egy 25 elemű mátrixot eredményez.

	A mátrixunk felső háromszög jellegű lesz (okos játékosról tettünk feltevést, így ha három egyforma kockát dobunk, nem fogjuk azt sugallni, hogy a játékos újra dobja ennek egy részét, hogy Yahtzee-hez jusson!) Az Átmeneti mátrix megmutatja, hogy milyen valószínűséggel lehet bármelyik állapotból vagy ugyanabba az állapotba, vagy egy magasabb állapotba lépni. Itt az Átmeneti mátrix. Minden egyes helyet, amely egy ‘?’-t tartalmaz, fel kell töltenünk az oszlopszámmal jelölt állapotból a sorszámmal jelölt állapotba való átlépés valószínűségével. (Minden más helynek nulla a valószínűsége). Íme …
	Az első néhány bejegyzést könnyű kitölteni. Az 5-ös állapotból az 5-ös állapotba való átlépés valószínűsége 1,0 Ha egyszer elértünk egy Yahtzee-t, akkor azt megtartjuk, és nem dobunk több kockát, tehát 100%-os biztonsággal maradunk ebben az állapotban! Ha jelenleg 4 egyforma kockánk van, akkor 1/6 az esélye annak, hogy a megfelelő számot dobjuk, hogy 5 legyen, és ennek megfelelően 5/6 az esélye annak, hogy a 4-es állapotban maradunk. Az átmeneti mátrix sztochasztikus jellege megmarad, mert ennek a mátrixnak a sora 1,0-ra adódik (Valaminek történnie kell, és ez valamelyik állapotváltozás lesz).
	A 3. állapothoz két kockát kell újradobni, ami 36 lehetséges kombinációt ad. (Emlékezzünk vissza a combinatronikáról szóló fenti részre). Ez az 1/36-os esélye annak, hogy mindkét kocka egyezik az aktuális hármasával, hogy Yahtzee-t kapjunk, és ez a valószínűség a 3. sorba és az 5. oszlopba kerül. Egy 25/36 esély van arra, hogy a játékosnak a következő dobás végén még mindig három egyforma lesz (5/6 esélye, hogy az első kocka nem találja el, szorozva 5/6 esélyével, hogy a második kocka nem találja el). Végezetül, egy 10/36 esély van arra, hogy egy további számmal négy egyforma lesz. Ez 1/6 x 5/6, és ezt kétféleképpen lehet elérni (vagy az első kockával egyezik, vagy a másodikkal).
	A dolgok most egy kicsit bonyolultabbak lesznek, ezért lassítunk. A 2-es állapotból az 5-ös állapotba való átlépéshez mindhárom újradobott kocka az aktuális párral egyezik. Ez 1/216-os valószínűséggel történik (ami 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6). Hasonlóképpen a semmivel sem egyező (1. állapot) állapotból az 5. állapotba való átlépés egy Yahtzee-gurítással egyenértékű (mivel az összes kockát újradobjuk). Ez 1/1296, amit úgy számolunk ki, hogy (1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6).
	Még két együtthatót tölthetünk ki. Ha nincs szerencsénk, és semmi sem egyezik (1. állapot), és újra dobjuk az összes kockát, akkor annak a valószínűsége, hogy ismét semmi sem egyezik, 120/1296 (Ez 5/6 esélye annak, hogy a második kocka nem egyezik, majd 4/6 a harmadik, 3/6 a negyedik és 2/6 az ötödik). Az esélye, hogy egy dobással négy egyforma kockát dobunk, 25/1296 (Ami 150/7776. Emlékszel vissza a Combinatronics szakaszra? Ezt úgy számoljuk ki, hogy négy kocka egyforma: 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6, az utolsó kocka nem egyezik 5/6-tal, és ez ötféleképpen alakulhat ki a B öt lehetséges helyével a {A,A,A,A,A,A,B} halmazban. Ha nem egyértelmű, a felső sorban lévő valószínűségek (a semmi egyezésből bármely más állapotra váltva), az első dobás eredményének valószínűségei.
	Egy dobással három egyforma dobás valószínűsége 250/1296. Ezt egy kicsit nehezebb kiszámítani, és óvatosnak kell lennünk. Ez a két minta {A,A,A,A,B,B,B} és {A,A,A,A,A,B,C} valamelyikében fordul elő. A fenti kombinatronikai részre hivatkozva (emlékszel, azt mondtam, hogy hasznos lesz?), láthatjuk, hogy az {A,A,A,A,A,B,B,B} 300/7776 alkalommal fordul elő (a full house) és az {A,A,A,A,B,C} (három egyforma) 1200/7776 alkalommal fordul elő. Ezeket összeadva (a VAGY kifejezés valószínűségi módja) 1500/7776-ot kapunk, ami 250/1296-ra csökken. A sor utolsó elemének kitöltéséhez (pár kapása) ismét óvatosnak kell lennünk. Két halmazt kell figyelembe vennünk: {A,A,A,B,C,D} és {A,A,B,B,B,C}. (Egy pár és két pár). Mivel Yahtzee-re megyünk, az egypárral együtt az egyik párt is dobjuk. Annak valószínűsége, hogy egy párt kapunk, 1800/7776 + 3600/7776 = 5400/7776 vagy 900/1296). Azt is megnyugtató tudni, hogy ebben a sorban az összes valószínűség összege 1,0 (120/1296 + 900/1296 + 250/1296 + 25/1296 + +1/1296).
	A párról (2. állapot) négyesre (4. állapot) való átmenet valószínűsége 15/216. Ez 1/6 esélye van annak, hogy az egyik kocka egyezik, majd még 1/6 esélye annak, hogy egy másik egyezik, szorozva annak 5/6 esélyével, hogy az utolsó kocka nem egyezik. Háromféleképpen lehetséges, hogy melyik az 5/6 kocka, tehát a végső valószínűség = 3 x 1/6 x 1/6 x 1/6 x 5/6 = 15/216.
	Most az utolsó két trükkös. Kicsit olvasgatva az interneten, itt úgy tűnik, hogy az emberek elcsúsznak a számításaikban. A bonyodalom azért merül fel, mert három kocka újradobásakor előfordulhat, hogy “ugrani akarsz” arról, hogy mi a célod. Például, ha az első dobásnál egy párt dobtál, megtartottad a párt, és újradobtál három kockát, és ez a három kocka mind ugyanazt hozta (de nem ugyanazt, mint a pár, különben az Yahtzee lenne!), akkor a következő dobásnál meg akarod tartani a három egyforma kockát, és újradobod a párt. Ez a finomság módosítja a valószínűségeket. Menjünk végig ezen – Megtartottunk egy párt és újradobtunk három kockát. Emlékezzünk vissza a három kocka kombinatronikánkból, hogy három kocka mindegyike 1/6 x 1/6 = 1/36 = 6/216 valószínűséggel fordul fel, de az egyik ilyen esetben ez a dobott szám megegyezik a párral (Yahtzee-t okozva), tehát ezt az esetet ki kell vonnunk. Így az esélye annak, hogy a két egyforma helyett három egyforma lesz, 6/216 – 1/216 = 5/216.

Ahhoz, hogy a párból (2. állapot) a párként való átmenet együtthatóját (2. állapot) kiegészítsük, szükségünk van ennek alapvalószínűségére, ami egyszerűen 5/6 x 5/6 x 5/6 (mindhárom kocka nem találja el a párját), és ebből le kell vonnunk annak az esélyét, hogy mindhárom kocka egyforma, és nem alkot Yahtzee-t (5/216), így a végeredmény erre az elemre = 125/216 – 5/216 = 120/216.

Hasonlóképpen ennek a trükknek a fordítottja a 2-es páros állapotból a 3-as hármas állapotba való átmenet valószínűségére. Itt a 2-es állapotból a 3-as állapotba való átmenet alapvalószínűsége 75/216 (három kockával dobunk, 1/6 esélye van a találatra, majd két 5/6 esélye a mellé találásra, és ennek háromféle kombinációja van, ami 3 x 1/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6). Ehhez a 75/216-os alapvalószínűséghez hozzá kell adnunk a fentiekből azt az 5/216-os esélyt, hogy ezen az alternatív útvonalon keresztül jutottunk el a hármashoz.

Így az utolsó elem, ami ahhoz szükséges, hogy a 2. állapotból a 3. állapotba való átmenetmátrixunk teljes legyen, 75/216 + 5/216 = 80/216.

Az is megkönnyebbülés, ha kiszámoljuk, hogy a valószínűségek ebben a sorban összesen 1,0! (120/216 + 80/216 + 15/216 + 1/216). Ez segít megerősíteni számításaink helyességét.

Az Átmeneti mátrixunk most már teljes!

Mátrix-szorzás

Most beírunk egy azonossági oszlopvektort, és ezt megszorozzuk az Átmeneti mátrixszal. Az így kapott sorvektor kimenet a kocka lehetséges állapotok eloszlásának valószínűségeit mutatja. Most foghatjuk ezt a kimenetet, és ismét bemenetként használhatjuk, és ezúttal a kimenet a kocka valószínűségeinek szuperpozíciója lesz a második dobás végén. Ahhoz, hogy megkapjuk annak a valószínűségét, hogy három dobáson (vagy előtte) Yahtzee-t kapunk, még egyszer utoljára többszörözzük, és a végső kimeneti vektorból kiolvassuk a negyedik elem (5. állapot) eredményét.

(Innentől kezdve a valószínűségek ábrázolására tizedesjegyekre/százalékokra váltok, mert az érintett törteket túl körülményes beírni és kiolvasni).

Eredmények

A Yahtzee dobás valószínűsége 4.6029%

Szép grafikonok

Ha elhibáztad a Yahtzee dobást, mi történik, ha újra dobsz? (Ahogy a gyerekeim néha megpróbálják!) És újra? És még egyszer? …

Az alábbiakban egy grafikon mutatja a Yahtzee százalékos esélyét n dobás esetén. Az x-tengely a dobások száma, az y-tengely pedig a százalékos esélyt mutatja.

A görbe aszimptotikusan a 100%-ra mutat, és a 10. dobásnál átlépi az 50%-ot. Ahhoz, hogy 95%-ban biztos legyél a Yahtzee gurításában, 23 dobásra van szükséged.

Singleton Pár Három egyforma Négy egyforma Yahtzee 1. dobás 9.259% 69.444% 19.290% 1.929% 0.077% Roll 2 0.857% 45.010% 40.902% 11.967% 1.263% Roll 3 0.079% 25.601% 45.240% 24.476% 4.603% Roll 4 0.007% 14.278% 40.914% 34.743% 10.058% Roll 5 0.001% 7.937% 33.702% 41.309% 17.051% Roll 6 0.000% 4.410% 26.344% 44.337% 24.908% Roll 7 0.000% 2.450% 19.928% 44.572% 33.050% Roll 8 0.000% 1.361% 14.746% 42.849% 41.044% Roll 9 0.000% 0.756% 10.745% 39.898% 48.601% Roll 10 0.000% 0.420% 7.742% 36.286% 55.553% Roll 11 0.000% 0.233% 5.532% 32.418% 61.817% Roll 12 0.000% 0.130% 3.928% 28.567% 67.375% Roll 13 0.000% 0.072% 2.776% 24.906% 72.246% Roll 14 0.000% 0.040% 1.954% 21.531% 76.474% Roll 15 0.000% 0.022% 1.372% 18.488% 80.117% Roll 16 0.000% 0.012% 0.961% 15.790% 83.237% Roll 17 0.000% 0.007% 0.672% 13.426% 85.895% Roll 18 0.000% 0.004% 0.469% 11.375% 88.152% Roll 19 0.000% 0.002% 0.327% 9.610% 90.061% Roll 20 0.000% 0.001% 0.228% 8.099% 91.671% Roll 21 0.000% 0.001% 0.159% 6.813% 93.028% Roll 22 0.000% 0.000% 0.111% 5.722% 94.168% Roll 23 0.000% 0.000% 0.077% 4.799% 95.124% Roll 24 0.000% 0.000% 0.053% 4.020% 95.926% Roll 25 0.000% 0.000% 0.037% 3.365% 96.598%

Gyakran elhibázol egy Yahtzee kísérletet. Hogyan oszlanak meg a valószínűségek? Mekkora a valószínűsége annak, hogy a Yahtzee lövésénél négyesével végzel? Ezt az információt könnyen megkaphatjuk, ha leolvassuk a Markov-lánc kimeneti vektorából a 4. állapotra vonatkozó értéket. (Annak az esélye, hogy három dobás után négy egyforma lesz, 24,476%, a három egyforma pedig 45,240%). A bal oldali táblázat az első 25 dobás százalékos megoszlását mutatja. Az alábbiakban ugyanezek az adatok grafikus formában láthatók. Vegyük észre, hogy 9 dobás után a Yahtzee válik a legvalószínűbb eseménnyé, és annak az esélye, hogy egy párral vagy egyszemélyessel végezzük, rohamosan zajosra csökken.