Képzeljük el, hogy 10 csatatéren vívunk háborút. Neked és az ellenfelednek egyenként 200 katonája van, és az a célod, hogy minél több csatát nyerj. Hogyan vetnéd be a csapataidat? Ha egyenletesen oszlatnád el őket, és minden csatatérre 20-at küldenél, az ellenfeled koncentrálni tudná a saját csapatait, és könnyedén megnyerné a csaták többségét. Megpróbálhatnál több helyszínt te magad is lerohanni, de nincs rá garancia, hogy győzni fogsz, és a megmaradt csatatereket gyengén védve hagyod. A győztes stratégia kidolgozása nem könnyű, de amíg egyik fél sem ismeri előre a másik tervét, addig a harc tisztességes.

Most képzeld el, hogy az ellenfelednek megvan a hatalma ahhoz, hogy a te csapataidat és a sajátjait is bevethesse. Még ha több csapatot is kapsz, akkor sem nyerhetsz.

A politikai háborúban ez az erők bevetésére vonatkozó hatalom a gerrymanderingből származik, a szavazókörzetek manipulálásának ősi gyakorlatából a pártpolitikai haszonszerzés érdekében. Azzal, hogy meghatározzák, ki hol szavazzon, a politikusok a maguk javára billenthetik az esélyeket, és legyőzhetik ellenfeleiket, még mielőtt a csata elkezdődne.

1986-ban a Legfelsőbb Bíróság alkotmányellenesnek ítélte a szélsőséges pártpolitikai körzetkialakításokat. De mivel nincs megbízható teszt a tisztességtelen kerületi térképek azonosítására, a bíróság még nem dobott ki egyet sem. Most, amikor az ország legfelsőbb bírósága meghallgatja a Wisconsin államgyűlési körzetek térképének megtámadása mellett és ellen szóló érveket, a matematikusok a választási igazságosságért folytatott harc frontvonalában állnak.

Az egyszerű matematika segíthet az ármánykodó politikusoknak olyan körzetek kialakításában, amelyek pártjuknak túl nagy befolyást biztosítanak, de a matematika segíthet az ilyen helyzetek azonosításában és orvoslásában is. Tavaly nyáron a Tufts Egyetemen ülésezett a Moon Duchin matematikus által vezetett Metric Geometry and Gerrymandering Group, részben azért, hogy megvitassák a gerrymandering elemzésének és kezelésének új matematikai eszközeit. A “hatékonysági rés” egy egyszerű gondolat, amely a Legfelsőbb Bíróság által fontolóra vett néhány eszköz középpontjában áll. Vizsgáljuk meg ezt a koncepciót és néhány következményét.

Kezdjük azzal, hogy elképzeljünk egy államot 200 szavazóval, akik közül 100-an hűségesek az A párthoz, 100-an pedig a B párthoz. Tegyük fel, hogy az államnak négy képviselőt kell választania, és ezért négy egyenlő választókerületet kell létrehoznia.

Képzeljük el, hogy hatalmunkban áll a választókat tetszőleges körzetbe sorolni. Ha Ön az A pártot részesíti előnyben, akkor a 100 A és 100 B szavazót így oszthatná el a négy körzet között:

.

Az így felépített körzetekkel, Az A párt a négy választásból hármat megnyer. Természetesen, ha a B pártot részesítjük előnyben, akkor a szavazókat így is eloszthatjuk:

.

Itt, az eredmények megfordulnak, és a négy választásból hármat a B párt nyer.

Megjegyezzük, hogy mindkét forgatókönyvben ugyanannyi választópolgár szavaz ugyanannyi választáson, ugyanannyi preferenciával. Ha csak a választók körzetek közötti eloszlását változtatjuk meg, az drámaian megváltoztatja az eredményeket. A szavazókörzetek meghatározásának képessége nagy hatalommal ruház fel, és néhány egyszerű matematikai művelet elvégzése elegendő ahhoz, hogy választási előnyt teremtsen.

Mi lenne, ha ahelyett, hogy az egyik pártnak előnyt teremtenénk a másikkal szemben, inkább arra akarnánk használni a hatalmunkat, hogy igazságos körzeteket hozzunk létre? Először is meg kellene határoznod, hogy mit jelent a “tisztességes”, és ez trükkös lehet, mivel a győztesek és a vesztesek gyakran másképp látják a tisztességességet. De ha néhány feltételezéssel indulunk ki arról, hogy mit jelent a “tisztességes”, akkor megpróbálhatjuk számszerűsíteni a különböző szavazóeloszlások igazságosságát. Vitatkozhatunk ezekről a feltételezésekről és azok következményeiről, de egy matematikai modell elfogadásával megkísérelhetjük a különböző forgatókönyvek összehasonlítását. A hatékonysági rés a választói eloszlás igazságosságának számszerűsítésére szolgáló egyik megközelítés.

A hatékonysági rés megértéséhez azzal a megfigyeléssel kezdhetjük, hogy egy sor egymáshoz kapcsolódó választás során nem minden szavazatnak van ugyanolyan hatása. Néhány szavazat nagy különbséget jelenthet, és néhány szavazat “elpazaroltnak” tekinthető. Az elpazarolt szavazatok egyenlőtlensége a hatékonysági rés: Azt méri, hogy az elvesztegetett szavazatok mennyire egyenlően vagy egyenlőtlenül oszlanak meg a versengő pártok között.

Mi számít tehát elvesztegetett szavazatnak? Nézzük meg Kalifornia szerepét az elnökválasztásokon. 1992 óta Kalifornia mindig a demokraták elnökjelöltjét támogatta. Ezért a kaliforniai republikánusok tudják, hogy szinte biztosan egy vesztes jelöltet támogatnak. Bizonyos értelemben elvesztegetett szavazatuk: ha egy olyan államban szavazhattak volna, mint Florida, akkor a szavazatuk talán többet számítana. A republikánusok szemszögéből ez a szavazatuk hatékonyabb felhasználása lenne.

Kiderült, hogy a kaliforniai demokrata szavazók is hasonlóan érvelhetnek a szavazatuk elvesztegetésével kapcsolatban. Mivel a demokrata jelölt valószínűleg elsöprő győzelmet arat Kaliforniában, sok szavazatuk bizonyos értelemben szintén kárba veszett: Akár a szavazatok 51 százalékával, akár 67 százalékával nyeri meg a jelölt Kaliforniát, az eredmény ugyanaz. Ezek a plusz győztes szavazatok értelmetlenek.

A hatékonysági rés összefüggésében tehát kétféle elvesztegetett szavazat létezik: a vesztes jelöltre leadott szavazatok és a győztes jelöltre leadott szavazatok, amelyek meghaladják a győzelemhez szükséges mértéket (az egyszerűség kedvéért a győzelmi küszöböt 50 százaléknak vesszük, még akkor is, ha ez technikailag döntetlent eredményezhet; a tényleges döntetlen több százezer szavazó mellett minden egyes kongresszusi körzetben több mint valószínűtlen). Egy több körzetből álló választáson valószínűleg minden pártnak lesznek elvesztegetett szavazatai. A hatékonysági különbség az egyes pártok által elvesztegetett szavazatok összegének különbsége, az összes leadott szavazat százalékában kifejezve. (Ha lehetséges, a kisebb számot kivonjuk a nagyobbból, hogy a hatékonysági rés ne legyen negatív. A különbség abszolút értékét is vehetjük.)

Visszatérjünk vissza a négy körzetre vonatkozó forgatókönyveinkhez, és vizsgáljuk meg a hatékonysági résüket. Az első eloszlásunk így nézett ki.

Ebben a forgatókönyvben, B 75 szavazata kárba vész: 60 a vesztes ügyekben, és 15-tel több, mint a 4. körzet megnyeréséhez szükséges 25 szavazat. Az A párt szavazataiból csak 25 megy veszendőbe: 5 plusz szavazat minden győzelemre és 10 vesztes szavazat. Az elvesztegetett szavazatok nyers különbsége 75 – 25 = 50, tehát a hatékonysági különbség itt 50/200 = 25 százalék. Azt mondjuk, hogy a 25 százalékos hatékonysági különbség itt az A pártnak kedvez, mivel a B pártnak volt a nagyobb számú elvesztegetett szavazata. A második forgatókönyvben, ahol a számok megfordulnak, a 25 százalékos hatékonysági rés most a B pártnak kedvez.

A hatékonysági rés adhat nekünk egy eloszlás igazságosságáról? Nos, ha önnek hatalmában állna szavazóköröket létrehozni, és a pártja győzelmét akarná megtervezni, a stratégiája az lenne, hogy minimalizálja a pártja számára elvesztegetett szavazatokat, és maximalizálja az ellenfele számára elvesztegetett szavazatokat. Ebből a célból egy olyan technikát alkalmaznak, amelyet színesen pakolásnak és feltörésnek neveznek: Az ellenzéki szavazatokat egy kis számú elismervényesített körzetbe tömörítik, a fennmaradó szavazatblokkot pedig feltörik és vékonyan szétosztják a többi körzetben, hogy minimalizálják a hatásukat. Ez a gyakorlat természetesen nagy hatékonysági réseket hoz létre, ezért azt várhatnánk, hogy az igazságosabb eloszlásoknak kisebbek lesznek.

Mélyebben megvizsgáljuk a hatékonysági réseket, ha elképzeljük, hogy a 200 szavazóval rendelkező államunkat most 10 egyenlő körzetre osztjuk. Tekintsük a következő választói eloszlást, amelyben a 10 körzetből 9-et az A párt nyer.

..

A felszínen, ez nem tűnik a szavazók igazságos eloszlásának. Mit mond a hatékonysági rés?

Ebben a forgatókönyvben a B párt majdnem minden szavazata kárba vész: kilenc vesztes szavazat mind a kilenc körzetben, plusz kilenc többletszavazat egy győzelemnél, ami összesen 90 elvesztegetett szavazatot jelent. Az A párt szavazói sokkal hatékonyabbak: összesen csak 10 szavazat megy veszendőbe. A különbség 90 – 10 = 80 elvesztegetett szavazat, és a hatékonysági különbség 80/200 = 40 százalék, ami az A pártnak kedvez.

Vessük ezt össze a következő eloszlással, ahol a 10 körzetből 7-et az A párt nyer.

.

Itt, az elvesztegetett szavazatok száma 70 a B pártnak és 30 az A pártnak, ami 40/200 = 20 százalékos hatékonysági különbséget eredményez. Egy látszólag igazságosabb eloszlás kisebb hatékonysági rést eredményez.

Egy utolsó gyakorlatként tekintsük a kerületi választásoknak ezt az egyenletes felosztását.

A szimmetria önmagában is sejteti a választ, és a számítások is megerősítik: Az 50 elvesztegetett szavazat mindkét párt esetében 0 százalékos hatékonysági különbséget jelent. Vegyük észre itt, hogy a 0 százalékos hatékonysági rés megfelel a méltányosság egy független fogalmának: Nevezetesen, ha a szavazók az államban egyenletesen oszlanak meg a két párt között, ésszerűnek tűnik, hogy mindkét párt a választások felét megnyeri.

Ezek az elemi példák bizonyítják a hatékonysági résnek mint a választási igazságosság mérőszámának hasznosságát. Könnyen érthető és kiszámítható, átlátható, és értelmezései összhangban vannak a méltányosság más fogalmaival. Ez egy egyszerű ötlet, amelyet azonban számos összetett módon használnak a gerrymandering tanulmányozására. A matematikusok például most szimulációk segítségével több millió elméleti választási térképet vizsgálnak egy adott államra vonatkozóan, majd megvizsgálják az összes lehetséges hatékonysági rés eloszlását. Ez nem csak egy jelenlegi térkép igazságosságának más lehetőségekkel való összehasonlításához teremt összefüggést, hanem potenciálisan arra is felhasználható, hogy igazságosabb alternatívákat javasoljon.

Noha a választókat valójában nem úgy osztják be a körzetekbe, ahogyan azt a példáinkban elképzeltük, a gerrymandering gyakorlata hasonló eredményeket ér el. A körzethatárok stratégiai átrajzolásával a gerrymanderek úgy alakíthatják ki a szavazatok megoszlását, hogy egyenlőtlen választási esélyeket teremtsenek. Ezek a tisztességtelen küzdelmek befolyásolják a kormányzást, és segítik a többségi pártok hivatalban lévő képviselőit, hogy ciklusról ciklusra újraválasszák őket. A Legfelsőbb Bíróság elé kerülő ügy csak egyet érint a sok potenciálisan tisztességtelen térkép közül. Az olyan objektív matematikai eszközök, mint a hatékonysági rés, lehetnek az egyetlen módja annak, hogy felszámoljuk a gerrymanderinget és egyensúlyban tartsuk politikai csataterünket.

Töltse le a “Doing the Political Math” PDF feladatlapot, hogy gyakorolja ezeket a fogalmakat, vagy hogy megossza a diákokkal.