Ezekre rengeteg bizonyítás van. Az én kedvencem így szól. Állítólag egy nagyon fiatal Albert Einsteinnek köszönhető, de ezt nehéznek tűnik ellenőrizni.

A derékszögű háromszögeknek van egy csinos tulajdonsága, miszerint adott egy derékszögű háromszög, ha a hipotenuzára merőleges egyenest húzunk, ami áthalad a derékszögön, és ez az egyenes a háromszöget két kisebb példányára osztja fel. Ezt a vonalat nevezzük magasságnak. Itt van egy kép arról, hogy ez hogyan működik. Meg kellene tudnod győzni magad arról, hogy a magasság által alkotott kisebb háromszögek valóban a nagy háromszög másolatai – ennek köze van ahhoz a tényhez, hogy a háromszög szögei 180 fokot adnak össze.

Ahogyan is van, itt van. Először is gondoljunk a tételre, de ne mint képletre, hanem mint a geometriára vonatkozó állításra. A tétel azt mondja, hogy egy olyan derékszögű háromszög esetében, amelynek oldalai a, b és c (ahol a hipotenzus c), annak a négyzetnek a területe, amelynek az oldala c, egyenlő azon négyzetek területeinek összegével, amelyek oldalai a és b. Íme egy illusztráció. A kék és narancssárga négyzetek területeinek összege egyenlő a lila négyzet területével.

A bizonyításhoz tekintsünk egy tetszőleges derékszögű háromszöget, amelynek oldalai a, b, c, és a magasság segítségével osszuk fel önmagának kis másolataira, ahogy fentebb tárgyaltuk. Itt érdemes tollat ragadni és diagramokat rajzolni, hogy követni tudd. A kis másolatok, valamint a nagy háromszög területeire fogunk gondolni, ezért adjunk ezeknek neveket. Legyen A a kis háromszög területe az a hipotenuzával, B a kis háromszög területe a b hipotenuzával, C pedig a nagy háromszög területe (természetesen a c hipotenuzával). Ismét rajzolj egy képet, ha ezt nem látod magad előtt.

Most, világosan: A + B = C. Ezt jegyezd meg, és tedd félre.

Jegyezd meg, hogy a négyzetek oldalai mind megegyeznek a hozzájuk tartozó háromszögek hipotenúzájával. Gondoljunk most az a oldal mentén kialakított kis ház alakra – vagyis az A területű háromszögre és az a2 területű négyzetre. Legyen r a ház alakú háromszög területe és a négyzet területe közötti arány, tehát

A = ra2

Attól függően, hogy először hogyan rajzoltad meg a háromszöget, r lehet nagy vagy kicsi. Az a vicces ebben a bizonyításban, hogy r végül is segít nekünk, még ha nem is számít, hogy mekkora.

Visszük át a hangsúlyt a b oldal mentén kialakított ház alakra. Most, mivel a B területű háromszög pontos másolata az A területű háromszögnek, csak más méretű (kivéve, ha történetesen egy egyenlő szárú háromszöget rajzoltál, amely esetben az is ugyanolyan méretű), a háromszög és a hozzá tartozó négyzet területeinek aránya ugyanaz. Vagyis mivel ez a ház alakzat csak egy méretarányos másolata az első ház alakzatnak, ugyanaz az összefüggés érvényes:

B = rb2

Végül láthatod, hogy ugyanez az összefüggés érvényes az eredeti háromszögből készített legnagyobb ház alakzatra is, mivel az is csak egy méretarányos másolata a kisebbeknek.

C = rc2

Ez utóbbi azonosságokat az első egyenlettel kombinálva felírhatjuk

ra2 + rb2 = rc2

Az r-rel osztva megkapjuk a kívánt eredményt 🙂