Lépésről lépésre megoldás :

Polinomiális gyökök számológép :

1.1 Találd meg a : F(x) = x5-x-1
A Polinomiális gyökök kalkulátor olyan módszerek összessége, amelyek célja olyan x értékek megtalálása, amelyekre F(x)=0
A racionális gyökök tesztje a fent említett eszközök egyike. Csak racionális gyököket találna, vagyis olyan x számokat, amelyek két egész szám hányadosaként fejezhetők ki
A racionális gyök tétel kimondja, hogy ha egy polinom nullázódik egy P/Q racionális számra, akkor P a követő konstans tényezője, Q pedig a vezető együttható tényezője
Ez esetben a vezető együttható 1, a követő konstans pedig -1.
A faktor(ok) a következők:
a Leading Coefficient : 1
a Trailing Constant : 1
Vizsgáljuk meg a …. tesztet.

.

Polinomiális gyökök számológép nem talált racionális gyököket

Egyenlet az 1. lépés végén :

 x5 - x - 1 = 0 

2. lépés :

5. vagy magasabb rendű egyenletek :

2. lépés.1 Oldja meg az x5-x-1 = 0
Pontok az ötös vagy magasabb fokú egyenletekre vonatkozóan.
(1) Nincs általános módszer (formula) az ötös vagy magasabb fokú polinomegyenletek megoldására.
(2) Az algebra alaptétele szerint, ha megengedjük a komplex számokat, akkor egy n fokú egyenletnek pontosan n megoldása lesz
(Ez akkor van, ha a kettős megoldásokat 2-nek , a hármas megoldásokat 3-nak és így tovább
). (3) Az Abel-Ruffini-tétel szerint a megoldásokat nem mindig lehet a hagyományos módon, csak véges számú összeadással, kivonással, szorzással, osztással vagy gyökkivonással bemutatni

(4) Ha F(x) egy páratlan fokú polinom valós együtthatókkal, akkor az F(X)=0 egyenletnek legalább egy valós megoldása van.
(5) Olyan módszerekkel, mint például a Bisection Method, a valós megoldások tetszőleges pontossággal közelíthetők.

Egy gyök közelítése a Bisection Method segítségével :

A Bisection Method segítségével most az egyik megoldást közelítjük. A Bisection Method egy iteratív eljárás egy gyök megközelítésére (A gyök egy egyenlet megoldásának másik neve).
A függvény F(x) = x5 – x – 1
Az x= 1,00 F(x) egyenlő -1,00
Az x= 2,00 F(x) egyenlő 29.00
Intuitívan úgy érezzük, és jogosan, hogy mivel F(x) az intervallum egyik oldalán negatív, a másik oldalán pedig pozitív, akkor valahol ezen az intervallumon belül F(x) nulla
Eljárás :
(1) Keressünk egy “Bal” pontot, ahol F(Bal) < 0
(2) Keressünk egy “Jobb” pontot, ahol F(Jobb) > 0
(3) Számítsuk ki “Közép” az intervallum középső pontját
(4) Számítsuk ki Érték = F(Közép)
(5) Ha Érték elég közel van a nullához lépjünk a (7)
Else :
Ha Value < 0 akkor : Left <- Middle
Ha Value > 0 akkor : Right <- Middle
(6) Loop back to Step (3)
(7) Done!! A talált közelítés a Közepes
Kövesse a Közepes mozgásokat, hogy megértse, hogyan működik :

 Left Value(Left) Right Value(Right) 1.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 0.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 1.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 1.000000000 -1.000000000 1.500000000 5.093750000 1.000000000 -1.000000000 1.250000000 0.801757812 1.125000000 -0.322967529 1.250000000 0.801757812 1.125000000 -0.322967529 1.187500000 0.173892021 1.156250000 -0.089639038 1.187500000 0.173892021 1.156250000 -0.089639038 1.171875000 0.038197125 1.164062500 -0.026683718 1.171875000 0.038197125 1.164062500 -0.026683718 1.167968750 0.005513586 1.166015625 -0.010645540 1.167968750 0.005513586 1.166992188 -0.002581134 1.167968750 0.005513586 1.166992188 -0.002581134 1.167480469 0.001462432 1.167236328 -0.000560299 1.167480469 0.001462432 1.167236328 -0.000560299 1.167358398 0.000450830 1.167297363 -0.000054794 1.167358398 0.000450830 1.167297363 -0.000054794 1.167327881 0.000198003 1.167297363 -0.000054794 1.167312622 0.000071601 1.167297363 -0.000054794 1.167304993 0.000008403 1.167301178 -0.000023196 1.167304993 0.000008403

A következő Middle elég közel visz minket a nullához:
F( 1.167304039 ) 0.000000503
A megoldás kívánt közelítése:
x ≓ 1.167304039
Megjegyezzük, ≓ a közelítés szimbóluma

Egy megoldást találtunk :

.