Lépésről lépésre megoldás :

Egyenlet az 1. lépés végén :

 ((x3) - 22x2) - 6x = 0 

2. lépés :

A hasonló tagok kihúzása :

3.1 Hasonló faktorok kihúzása :
x3 – 4×2 – 6x = x – (x2 – 4x – 6)

A középső tag felosztásával próbálunk faktorálni

3.2 Az x2 – 4x – 6 faktorálása
Az első tag, x2 az együtthatója 1 .
A középső tag, -4x az együtthatója -4 .
Az utolsó tag, “az állandó”, -6
1. lépés : Szorozzuk meg az első tag együtthatóját az 1 – -6 = -6 konstanssal
2. lépés : Keressük -6 két olyan tényezőjét, amelyek összege megegyezik a középső tag együtthatójával, ami -4 .

Megfigyelés : Két ilyen tényező nem található !!
Következtetés : A trinomiális nem faktorálható

Egyenlet a 3. lépés végén :

 x • (x2 - 4x - 6) = 0 

4. lépés :

elmélet – A szorzat gyökei :

4.1 Több tag szorzata egyenlő nullával.
Ha két vagy több tag szorzata egyenlő nullával, akkor legalább az egyik tagnak nullának kell lennie.
Most minden tag = 0-t külön-külön fogunk megoldani
Más szóval annyi egyenletet fogunk megoldani, ahány tag van a termékben
Minden tag = 0 megoldása megoldja a termék = 0-t is.

Egyváltozós egyenlet megoldása :

4. Egyváltozós egyenlet megoldása :

.2 Megoldás : x = 0
A megoldás x = 0

Parabola, a csúcspont megtalálása :

4.3 Az y = x2-4x-6
Paraboláknak van egy legmagasabb vagy legalacsonyabb pontja, amit csúcspontnak nevezünk . A mi parabolánk kinyílik, és ennek megfelelően van egy legalacsonyabb pontja (AKA abszolút minimum) . Ezt már az “y” ábrázolása előtt is tudjuk, mert az első tag együtthatója, 1 , pozitív (nullánál nagyobb).
Minden parabolának van egy függőleges szimmetriavonala, amely áthalad a csúcsán. E szimmetria miatt a szimmetriavonal például a parabola két x -es metszéspontjának (gyökének vagy megoldásának) középpontján haladna keresztül. Azaz, ha a parabolának valóban két valós megoldása van.
A parabolák számos valós élethelyzetet modellezhetnek, például egy felfelé dobott tárgy föld feletti magasságát, bizonyos idő elteltével. A parabola csúcsa olyan információkkal szolgálhat számunkra, mint például az a maximális magasság, amelyet a felfelé dobott tárgy elérhet. Ezért szeretnénk, ha meg tudnánk találni a csúcs koordinátáit.
Minden parabolára,Ax2+Bx+C,a csúcs x -koordinátáját -B/(2A) adja meg. A mi esetünkben az x -koordináta 2,0000
A parabola képletébe az x-re 2,0000-t beillesztve kiszámíthatjuk az y -koordinátát :
y = 1,0 * 2,00 * 2,00 * 2,00 – 4,0 * 2,00 – 6,0
vagy y = -10,000

Parabola, csúcspont és X-intervallumok ábrázolása :

A gyökdiagram : y = x2-4x-6
Szimmetriatengely (szaggatott) {x}={ 2,00}
Sarkpont {x,y} = { 2.00,-10.00}
x -metszéspontok (gyökök) :
1. gyökér {x,y} = {-1.16, 0.00}
2. gyökér {x,y} = { 5.16, 0.00}

Kvadratikus egyenlet megoldása a négyzet kiegészítésével

4.4. Az x2-4x-6 = 0 megoldása a négyzet kiegészítésével .
Adjunk 6-ot az egyenlet mindkét oldalához :
x2-4x = 6
Most jön az okos rész: Vegyük az x együtthatóját , ami 4 , osszuk el kettővel, ami 2-t ad, és végül négyzeteljük ki, ami 4-et ad
Adjunk 4-et az egyenlet mindkét oldalához :
A jobb oldalon :
6 + 4 vagy, (6/1)+(4/1)
A két tört közös nevezője 1 A (6/1)+(4/1) hozzáadása 10/1-et ad
Így mindkét oldalhoz hozzáadva végül megkapjuk :
x2-4x+4 = 10
A 4 hozzáadásával a bal oldalt tökéletes négyzetre egészítettük ki :
x2-4x+4 =
(x-2) – (x-2) =
(x-2)2
Azok, amelyek egyenlőek ugyanazzal a dologgal, egyenlőek egymással is. Mivel
x2-4x+4 = 10 és
x2-4x+4 = (x-2)2
akkor a tranzitivitás törvénye szerint
(x-2)2 = 10
Ezt az egyenletet egyenletnek nevezzük. #4.4.1
A négyzetgyök elv azt mondja, hogy amikor két dolog egyenlő, akkor a négyzetgyökük is egyenlő.
Megjegyezzük, hogy
(x-2)2 négyzetgyöke
(x-2)2/2 =
(x-2)1 =
x-2
Most, a négyzetgyök elvét alkalmazva az Eq. #4.4.1 kapjuk:
x-2 = √ 10
Adjunk 2-t mindkét oldalhoz, hogy megkapjuk:
x = 2 + √ 10
Mivel a négyzetgyöknek két értéke van, az egyik pozitív, a másik negatív
x2 – 4x – 6 = 0
két megoldása van:
x = 2 + √ 10
vagy
x = 2 – √ 10

Kvadratikus egyenlet megoldása a kvadratikus képlet segítségével

4.5 Az x2-4x-6 = 0 megoldása a kvadratikus képlet segítségével .
A kvadratikus képlet szerint x , az Ax2+Bx+C = 0 , ahol A, B és C számok, amelyeket gyakran együtthatóknak neveznek, megoldása a következő :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
A mi esetünkben A = 1
B = -4
C = -6
Ezeknek megfelelően B2 – 4AC =
16 – (-24) =
40
A kvadratikus képletet alkalmazva :
4 ± √ 40
x = —–
2
Egyszerűsíthető √ 40 ?
Igen! A 40 prímtényezője
2-2-2-5
Hogy valamit ki tudjunk venni a gyök alól, 2 példánynak kell lennie (mert négyzetet, azaz második gyökét vesszük).
√ 40 = √ 2-2-2-2-5 =
± 2 – √ 10
√ 10 , 4 tizedesjegyre kerekítve 3.1623
Így most már:
x = ( 4 ± 2 – 3,162 ) / 2
Két valós megoldás:
x =(4+√40)/2=2+√ 10 = 5,162
vagy:
x =(4-√40)/2=2-√ 10 = -1,162

Három megoldást találtunk :

.