Articles

A COVID-19 fertőzött populáció méretének napi trendjének becslése Wuhanban

by admin

A COVID-19 terjedése Hubei tartományon kívül viszonylag kontrollált, mivel a megfelelő orvosi források rendelkezésre állnak. A Hubein kívülről jelentett számot használjuk, mivel az meglehetősen pontosan tükrözi a tényleges járványhelyzetet. Ebben a modellező tanulmányban először a 2020. január 10. és április 5. közötti időszakra becsüljük meg a járvány méretét Wuhanban, a Hubei tartományon kívüli megerősített esetek alapján, amelyek 2020. január 23-ig elhagyták Wuhant. Mivel néhány megerősített esetről nincs információ arról, hogy korábban jártak-e Wuhanban, a behozott esetek számát e hiányzó értékek figyelembevétele után módosítjuk. Ezután kiszámítjuk a 2020. január 20. és április 5. közötti időszakban Wuhanban a bejelentési arányt. Végül megbecsüljük azt az időpontot, amikor az első beteg megfertőződött.

Adatok

A kínai tartományi és városi egészségügyi bizottságoktól és más országok egészségügyi minisztériumaitól származó, nyilvánosan elérhető nyilvántartásokból kinyert adatok 10 940, Hubei tartományon kívüli megerősített eset részletes adatait tartalmazzák. A kiegészítő anyagok kiegészítő táblázata részletesebben bemutatja ezeket a weboldalakat . A megerősített esetekre vonatkozó információk, beleértve a régiót, a nemet, az életkort, a tünetek megjelenésének időpontját, a megerősítés időpontját, a Wuhanban történt utazást vagy tartózkodást, valamint a Wuhanból való távozás időpontját. E betegek demográfiai jellemzőit az 1. táblázatban mutatjuk be. A nemi adatokkal rendelkező 7500 beteg közül 3509 (46,8%) nő. A betegek átlagéletkora 44,48 év, a medián életkor pedig 44 év. A legfiatalabb Hubei tartományon kívüli megerősített beteg mindössze 5 napos volt, míg a legidősebb 97 éves (lásd az 1. táblázatot).

1. táblázat A Hubei tartományon kívüli COVID-19-es betegek demográfiai jellemzői

A 2. táblázatban a megerősítés időpontja szerint kategorizált járványügyi adatokat mutatjuk be. Az importált eset olyan beteget jelent, aki Wuhanban járt, és Hubei tartományon kívül észlelték. A helyi eset olyan megerősített esetet jelent, amely nem járt Wuhanban. Az összesen 10 940 eset közül 6903 (63,1%) rendelkezik ilyen járványügyi információval. Az importált esetek száma 2020. január 29-én érte el a csúcsot, és a 2. táblázat negyedik oszlopa azt mutatja, hogy az importált esetek aránya idővel csökken. Ez tükrözheti a Hubei tartományban a COVID-19 járvány megfékezésére hozott korlátozó intézkedések hatását. Eközben a helyi esetek napi száma 2020. február 2. és február 7. között meghaladja a 300-at, ami azt jelzi, hogy a helyi lakosok fertőzései a Hubei tartományon kívüli hatóságok számára is komoly aggodalomra adnak okot.

2. táblázat A betegek adatai a megerősítés időpontja szerint kategorizálva

A 2. táblázat utolsó oszlopában az egyes napokon megerősített betegek esetében a tünetek megjelenésétől a megerősítésig eltelt átlagos idő szerepel. Az összes eset medián időtartama 5 nap, az átlag pedig 5,54 nap. Általánosságban elmondható, hogy a kimutatási idő a 2020. január 20-át követő első héten csökkent, de azóta nőtt. Az észlelési sebesség és kapacitás javulása okozhatta a kezdeti csökkenést, az emelkedés pedig az alaposabb szűrésnek köszönhető, ami az enyhe tünetekkel rendelkező betegek felismeréséhez vezet, akik egyébként nem mennének kórházba.

Feltételezések

A javasolt módszer a következő feltételezéseken alapul:

  1. 1)

    2020. január 10. és január 23. között a Wuhanból indulók átlagos napi aránya p.

  2. 2)

    A fertőzés és az észlelés között d = d1 + d2 napos ablak van, beleértve egy d1 napos lappangási időszakot és egy d2 napos késleltetést a tünetek megjelenésétől az észlelésig.

  3. 3)

    A betegek a fertőzés után d nappal nem tudnak utazni.

  4. 4)

    A behozott esetek aránya az információval nem rendelkező betegek között megegyezik az egyes napokon megfigyelt arányokkal.

  5. 5)

    Az utazások időtartama elég hosszú ahhoz, hogy egy utazó, Wuhanban fertőzött betegnél a tünetek máshol alakuljanak ki, és inkább máshol észleljék, mint Wuhanba való visszatérés után.

  6. 6)

    A Wuhant elhagyó valamennyi utazó, beleértve az átszálló utasokat is, ugyanolyan fertőzési kockázatnak van kitéve, mint a helyi lakosok.

  7. 7)

    Az utazás független a COVID-19-nek való kitettség kockázatától vagy a fertőzési státusztól.

  8. 8)

    A visszaszerzéseket nem veszik figyelembe ebben a módszerben.

Az 1-4. feltételezéseket kifejezetten a Módszerek részben használjuk. Ezek statisztikai modellünk alapvető feltételezései. Más feltételezések is befolyásolhatják a modellünk eredményét, ezért teszünk néhány megjegyzést a feltételezéseinkkel kapcsolatban.

  1. a)

    2020. január 10. a kínai újévi utazási roham kezdete, és 2020. január 23. a wuhani lezárás időpontja . Az összesen 10 940 esetből csak 131 (1,2%) eset Wuhanból való távozásának időpontja nem esik erre az időszakra. Őket kizártuk elemzésünkből.

  2. b)

    Ha a Wuhanból való távozás valódi átlagos napi aránya nagyobb, mint a feltételezett p, az 1. feltételezés megsértése a Wuhanban lévő esetek számának túlbecsléséhez vezethet.

  3. c)

    Ha a fertőzéstől a felismerésig eltelt átlagos idő hosszabb, mint a feltételezett d nap, a 2. feltételezés megsértése túlbecsléshez vezetne.

  4. d)

    Ha az utazóknak kisebb a fertőzés kockázata, mint a wuhani lakosoknak, a 6. feltételezés megsértése alulbecslést okozna.

  5. e)

    Ha a fertőzött egyének az egészségügyi feltételek miatt kisebb valószínűséggel utaznak, akkor a 7. feltételezés megsértése alulbecslést okozna.

A Kiegészítő A Függelékben elvégezzük az érzékenységi elemzést néhány jogsértés eredményeinkre gyakorolt hatásáról.

Megjegyzések

A t0 nap jelölje a legelső eset fertőzésének időpontját. Legyen Nt azoknak az eseteknek a kumulatív száma, amelyeket a t napra Wuhanban meg kell erősíteni. A modellünk egyéb jelöléseit a 3. táblázat határozza meg.

3. táblázat A modellünk jelölései

A Tt, It és Lt számok a modellünkben használt megfigyelt adatok, a tc, r és K pedig azok a paraméterek, amelyek meghatározzák, hogyan változik az Nt idővel.

Modell

A fertőzött populáció Nt méretének növekedési trendjét a következő közönséges differenciálegyenlet határozza meg:

$$$ \frac{d{N}_t}{dt}=\frac{r}{K}{N}_t\left(K-{N}_t\right),\kern0.5em r>0,K>0, $$
(1)

amelyben K a COVID-19-re fogékony populáció mérete Wuhanban, r pedig az Nt növekedési ütemét szabályozó konstans. Ez a járványtan híres SIR-modelljének módosított változata. Az (1) egyenletben az Nt növekedési üteme arányos az Nt és a fogékony, de még nem fertőzött emberek K – Nt számának szorzatával. Ez egy ésszerű modell a járványok terjedésére. A járvány kezdetén, amikor az Nt kicsi, az emberek kevés ismerettel rendelkeznek a COVID-19-ről, az Nt exponenciális r sebességgel nő. Ahogy az Nt nagyobb lesz, megfékezési intézkedéseket hoznak a megfékezésére, az Nt növekedési üteme lelassul, ami az Nt szigmoid görbéjét eredményezi. Az (1) modell részletes magyarázatát a B. kiegészítő függelék tartalmazza. Az (1) modellnek van analitikus megoldása,

$$ {N}_t=\frac{K}{1+{e}^{-r\left(t-{t}_c\right)}}=K{f}_t, $$
(2)

hol \( {f}_t=\frac{1}{1+{e}^{-r\left(t-{t}_c\right)}} \), és a derivált \( \frac{d{N}_t}{dt} \) t = tc időpontban maximalizálódik, \( \frac{r}{2}=\frac{d\log {N}_{t_c}}{dt} \) a logNt növekedési üteme tc időpontban, K egy becsülendő paraméter.

becslés

A K becsléséhez a Wuhant 2020. január 10. és január 23. között elhagyó megerősített esetek adatait használjuk. A 2. feltételezés szerint a t napon fertőzött eseteket a t + d napon észlelik, így a fertőzött esetek száma Wuhanban a t napon Nt + d. Ha t0 ≤ t ≤ t0 + d, akkor nem lehetnek megerősített esetek. Ha t0 + d < t ≤ t0 + 2d, akkor a t napon behozott esetek a t – d napon fertőzöttek Wuhanban. A t – d napon Nt fertőzött eset van Wuhanban, így a behozott esetek száma xt a t napon binomiális (Nt, p) eloszlást követ, ahol p a feltételezett átlagos napi valószínűség, hogy 2020. január 10. és január 23. között elhagyják Wuhant. Ha t > t0 + 2d, a 3. feltételezés szerint Nt – d beteg nem tud utazni, akkor az xt binomiális (Nt – Nt – d, p) eloszlású. Legyen Xt az importált esetek kumulatív száma a t napra, akkor

$$ {X}_t=\sum \limits_{k=1}^t{x}_k\sim \mathrm{Binomial}\left(\sum \limits_{k=t-d+1}^t{N}_k,p\right),\kern0.75em t\ge {t}_0+2d. $$
(3)

A (2) és (3) egyenletekből \( {X}_t\sim \mathrm{Binomial}\left(K\sum \limits_{k=t-d+1}^t{f}_k,p\right) \). A paraméterbecslés \( \hat{K} \) a valószínűségi függvény

$$ l(K)=\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{}{K\sum \limits_{k=t-t-d+1}^t{f}_k}{X_t}\right){p}^{X_t}{\left(1-p\right)}^{K\sum \limits_{k=t-d+1}^t{f}_k-{X}_t}. $$
(4)

A 95%-os konfidenciaintervallum alsó és felső határa \( \left \) olyan értékek, hogy a kumulatív eloszlásfüggvény \( F(K)={\sum}_{x=0}^{X_t}l(K) \) egyenlő 0,975, illetve 0,025. A jelentési arány a t napon Wuhanban jelentett esetek kumulatív száma osztva az általunk becsült \( \hat{N_t} \) számmal. Az első fertőzés t0 időpontjának becslését az \( {N}_{t_0}=1. \)

Az xt importált esetek számának meghatározása döntő szerepet játszik a modellezési eljárásban. Megjegyzendő, hogy nem minden eset rendelkezik egyértelmű adatokkal az utazási vagy wuhani tartózkodási előzményekről, ezért a hiányzó értékeket imputálni kell. A 4. feltételezés szerint az importált esetek aránya az információval nem rendelkező Ut betegek között megegyezik a megfigyelt \( \frac{I_k}{I_k+{L}_k} \) arányával. Ezért,

$$$ {x}_t={I}_t+{U}_t \times \frac{I_k}{I_k+{L}_k}={T}_k\times \frac{I_k}{I_k+{L}_k}. $$
(5)

A Wuhanból 2020. január 10. és január 23. között távozók átlagos napi arányát a napi utazóforgalom és Wuhan lakosságának (14 millió fő) arányára becsüljük. A becslések szerint több mint 5 millió ember hagyja el Wuhant a tavaszi fesztivál és a járvány miatt . Ezt a számot Wuhan polgármestere említette egy sajtótájékoztatón. Feltételezzük, hogy ezek az utasok a kínai újévi utazási roham 2020. január 10-i kezdete és Wuhan város 2020. január 23-i lezárása között hagyták el Wuhant. Az utazási roham alatt az utasok 34%-a 300 km-t utazott . A Hubei tartományon kívüli nagyobb városok általában több mint 300 km-re vannak Wuhantól. Ez azt jelenti, hogy átlagosan 5 × 0,34/14/14/14 = 0,009 a napi p valószínűsége annak, hogy valaki Wuhanból Hubei tartományon kívüli helyekre utazik. Li és munkatársai becslése szerint a 425 COVID-19-es beteg átlagos lappangási ideje 5,2 nap (95% CI: 4,1-7,0) . Az adatainkból számított, a tünetek megjelenésétől a felismerésig eltelt átlagos idő 5,54 nap, így d = d1 + d2 = 11 nap. 2020. január 29-én volt a behozott esetek maximális száma. Mivel az xt binomiális (Nt – Nt – d, p) eloszlású, állandó p-vel, az Nt – Nt – d is t= 2020. január 29-én éri el a maximumát. A (2) logisztikus függvényből tc a t és t – d középpontja, azaz \( t-\frac{d}{2}= \) 2020. január 24., ami röviddel Wuhan város lezárása után van. Wu et al. a járvány megduplázódási idejét 6,4 napra (95% CI: 5,8-7,1) becsülte 2020. január 25-re . Ebből az eredményből becsüljük, hogy \( \frac{r}{2}=\frac{d\log {N}_{t_c}}{dt}=\frac{\ln 2}{6.4}=0.1 \). A p, d, tc és r paraméterek ezen értékeinek felhasználásával levezethetjük a maximális valószínűségű becslést \( \hat{K}=51\ 273, \) 95%-os CI-vel: 49 844-52 734.

.