Le cas le plus simple du dernier théorème de Fermat, l’impossibilité de résoudre x3 + y3 = z3 en nombres entiers non nuls, a été prouvé. En d’autres termes, 1 n’est pas exprimable comme une somme de deux cubes de nombres rationnels. Cependant, le problème légèrement étendu, dans lequel les entiers D sont exprimables comme une somme de deux cubes de nombres rationnels, n’est pas résolu. Il existe la conjecture (basée sur les travaux de Birch, Swinnerton-Dyer et Stephens) que x3 + y3 = D est soluble dans les nombres rationnels pour tous les entiers positifs sans carré D ≡ 4 (mod 9). La condition que D soit sans carré est nécessaire. À titre d’exemple, on montre vers la fin de cet article que x3 + y3 = 4 n’a pas de solutions dans les nombres rationnels. Le reste de cet article est consacré à la preuve publiée par le premier auteur (Proc. Nat. Acad. Sci. USA., 1963) intitulée « Remarks on a conjecture of C. L. Siegel ». Cette preuve mettait en évidence une erreur dans une déclaration de Siegel selon laquelle l’équation diophantienne ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 = n a un nombre limité de solutions entières pour a, b, c, d fixes, et, en outre, que la limite est indépendante de a, b, c, d et n. Cependant, x3 + y3 = n a déjà un nombre non limité de solutions. L’article de S. Chowla lui-même contient une erreur ou du moins une omission. Cela peut être rectifié en citant un théorème de E. Lutz.