Introduction

Dans cet article, divers efforts de modélisation sur la cicatrisation, la contraction de la plaie, l’initiation du cancer et l’angiogenèse sont présentés. La contraction de la plaie est un mécanisme de défense biologique qui se produit après une blessure. Ce mécanisme vise à empêcher les produits chimiques dangereux et les agents pathogènes (bactéries) de s’échapper du corps de l’individu par l’ouverture de la plaie. Ce processus est basé sur la réduction de la surface de la plaie. Dans le cas de plaies cutanées et dans un environnement sans soins de santé adéquats, ce mécanisme est très souhaitable et il augmente le taux de survie de l’individu à court terme. Cependant, sur une période plus longue, la qualité de vie de l’individu diminue car les propriétés mécaniques de la peau changent en raison des contraintes et des tensions résiduelles, ce qui réduit la déformabilité de la peau et provoque ainsi une éventuelle invalidité du patient.

Le deuxième processus que nous considérons dans ce chapitre est l’angiogenèse. L’angiogenèse est la régénération d’un réseau vasculaire à partir d’un réseau de vaisseaux sanguins préexistant. Le processus d’angiogenèse joue un rôle majeur dans la guérison des dommages, le développement des organes, mais aussi au développement, à la croissance et aux métastases (propagation) du cancer.

Donc, les mécanismes biomédicaux comme la cicatrisation, le développement du tissu cicatriciel, la contraction de la peau et le développement du cancer sont des processus qui ont un impact majeur sur la survie et la qualité de vie d’un individu. Pour pouvoir traiter ces processus, il est important de concevoir des thérapies appropriées et d’améliorer l’état actuel des connaissances. Pour améliorer les thérapies courantes, il est important d’acquérir une compréhension approfondie des mécanismes biologiques impliqués de telle sorte qu’il soit possible de piloter ces processus. La compréhension de ces processus et l’amélioration des thérapies deviennent de plus en plus importantes en raison du vieillissement de la société actuelle. Le phénomène du vieillissement de la population mondiale fait peser une lourde charge sur les soins de santé et, à l’avenir, de plus en plus de traitements et de diagnostics robotisés seront nécessaires. La robotique, en plus de trouver des procédures pour améliorer les thérapies actuelles, nécessite une compréhension approfondie des mécanismes biologiques impliqués dans plusieurs maladies.

Afin d’obtenir une compréhension détaillée, le développement d’hypothèses concernant les mécanismes biologiques est indispensable. Afin d’évaluer la qualité du développement des hypothèses, un lien avec les observations expérimentales (à la fois cliniques « in vivo » et à l’échelle du laboratoire « in vitro ») est d’une importance cruciale. Cette nécessité implique la nécessité de quantifier les hypothèses et les idées construites. Cette quantification ouvre la voie à la conception de modèles mathématiques, dans lesquels plusieurs sous-processus sont décrits et reliés les uns aux autres par des relations quantitatives. Les modèles mathématiques visent à décrire (des parties) des phénomènes biomédicaux en les reliant aux résultats expérimentaux. Il faut bien sûr savoir que les efforts de modélisation ne sont pas illimités pour les raisons suivantes : capacité intellectuelle limitée du modélisateur, quantité limitée d’informations expérimentales utiles, ressources informatiques limitées et erreurs dues aux arrondis (les nombres à valeur réelle ne peuvent être exprimés qu’avec un nombre prédéfini de bits dans l’ordinateur), à la troncature (erreurs numériques), aux incertitudes dans les données et aux imprécisions dans la description de la géométrie du domaine. Il faut garder à l’esprit qu’un modèle mathématique reflète généralement l’impression de la réalité que se fait le modélisateur, et que différents modèles peuvent donner les mêmes résultats et implications. Cela signifie qu’en général, les modèles mathématiques perdent une partie de leur utilité dans le développement de connaissances détaillées sur un mécanisme biologique ou physique, dans le sens où les modèles indiquent la plausibilité possible de diverses théories pour l’explication des observations expérimentales. Bien qu’une certaine valeur prédictive puisse être attribuée aux modèles mathématiques à condition que l’évaluation des résultats de la modélisation se fasse de manière consciencieuse et prudente.

Pour décrire les différents processus biomédicaux comme la cicatrisation, la contraction des plaies, de nombreux modèles mathématiques différents ont été développés. Ces formalismes sont basés sur plusieurs principes mathématiques et sont appliqués à plusieurs échelles. En ce qui concerne les échelles, on peut trouver des modèles à l’échelle (sub)cellulaire, où les processus (sub)cellulaires sont simulés. En ce qui concerne les processus subcellulaires, on peut penser à des modèles qui traitent de la diffusion à travers le cytoplasme, ou du transport de grandes molécules entre la membrane cellulaire et le noyau cellulaire par le biais du « walking like transport » en étant « portées » par la dynéine et la kinésine sur les microtubules reliant le noyau cellulaire à la membrane. Certains efforts de modélisation ont été réalisés par Crossley et al. (2012). En outre, les processus cellulaires tels que la migration peuvent être décrits de telle sorte que la déformation des cellules soit prise en compte. Des articles dans ce sens ont été écrits par Borau et al. (2014), Madzvamuse et George (2013), Yang et al. (2016), et Vermolen et Gefen (2012), pour n’en citer que quelques-uns. Décrire en détail la déformation de chaque cellule permet d’obtenir un modèle très précis ; cependant, l’application de ce type de modèles à des cas cliniques exigerait une puissance de calcul trop importante. À cette fin, on peut également obtenir les mêmes propriétés, également en ce qui concerne la géométrie cellulaire, pour toutes les cellules et modéliser chaque cellule comme un cercle projeté en 2D ou comme une sphère en 3D. Cela permet de traiter les cellules en colonies, où la collaboration des cellules, qui est importante dans de nombreux processus biomédicaux susmentionnés, peut également être incorporée dans les modèles. Cette classe de modèles à l’échelle de la colonie est encore limitée par la taille du domaine de calcul, car un domaine tridimensionnel de taille considérable nécessite l’utilisation d’un grand nombre de cellules, ce qui, à son tour, fait peser une charge énorme sur les infrastructures de calcul. Woods et al. (2014) ont mis en œuvre un environnement de calcul basé sur le CPU pour les modèles de colonies de cellules. C’est probablement la meilleure façon de procéder. Des articles sur les modèles à l’échelle des colonies cellulaires ont été rédigés, entre autres, par Byrne et Drasdo (2009), Drasdo et Höhme (2005), et Rey et Garcia-Aznar (2013). La position des cellules est décrite via un système d’équations différentielles (stochastiques) couplées. Des modèles alternatifs à cette échelle ont été développés sur la base de modèles d’automates cellulaires (en particulier de Potts cellulaires) par Van Oers et al. (2014), Merks et Koolwijk (2009a), et Granier et Glazier (1992). Dans ces derniers modèles, les positions des cellules sont décrites par un treillis, dans lequel chaque point est affecté à plusieurs états discrets, tels que « occupé » ou « non occupé ». La migration des cellules se déroule selon des processus markoviens des points du treillis par communication de voisin à voisin et des lois physiques pour l’évaluation de la probabilité de transition. Ce principe des chaînes markoviennes pourrait probablement aussi être employé pour traiter la division ou la mort des cellules dans les modèles cellulaires de Potts, mais pour autant que l’on sache, cela n’a jamais été fait. Afin de traiter des échelles spatiales plus grandes, les modèles ne traitent plus les cellules comme des entités individuelles, mais traitent plutôt les densités de cellules en termes de nombre par unité de surface ou de volume. Ces modèles consistent en des systèmes d’équations différentielles partielles. Cette grande échelle est communément appelée l’échelle du continuum. Des modèles de cicatrisation et de contracture des plaies, ainsi que de formation de cicatrices hypertrophiques, ont été décrits par Valero et al. (2014), Javierre et al. (2009), et Koppenol et al. (2016a,b,c), pour n’en citer que quelques-uns.

Le présent article envisage un pont entre les modèles à l’échelle du continuum et les modèles de colonies de cellules, où les cellules sont traitées comme des entités individuelles, tandis que les quantités chimiques et mécaniques sont traitées par des équations différentielles partielles à l’échelle du continuum. Les quantités, qui sont définies par des systèmes d’équations différentielles partielles avec des conditions initiales et limites, peuvent parfois être calculées par des fonctions de Green et des superpositions dans des cas simples. Dans des cas plus complexes, concernant la géométrie ou la non-linéarité des équations, la solution est généralement approchée par l’utilisation de méthodes d’éléments finis. Dans cet article, nous mettrons en évidence l’application des méthodes par éléments finis dans lesquelles le mouvement du maillage des éléments finis est également pris en compte. La section « Hypothèses de modélisation » présentera les principes de base des modèles pour les différentes applications. La section « Méthodes numériques » poursuit avec une description des méthodes numériques impliquées dans cette classe d’études. La section « Résultats de simulation » montre certains des résultats, et quelques conclusions sont tirées dans la section « Classification des modèles et lectures complémentaires » finalement.