Yahtzee Wahrscheinlichkeit
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Der Weihnachtsmann hat meinen Kindern das Spiel Yahtzee zu Weihnachten gebracht. Wir haben es abends oft gespielt. Wenn ein Yahtzee gewürfelt wird, drehen meine Kinder völlig durch. In diesem Blogbeitrag werde ich mich mit der Wahrscheinlichkeit beschäftigen, mit der ein Yahtzee gewürfelt wird. |
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Yahtzee ist ein Spiel, das mit fünf sechsseitigen Würfeln gespielt wird. Ein Spieler würfelt, schaut sich das Ergebnis an und darf so viele Würfel behalten, wie er möchte, den Rest würfelt er neu. Nach dem zweiten Wurf wird der Vorgang wiederholt (falls gewünscht, kann der Spieler die Würfel aus der ersten Runde aufheben). Nach (bis zu) drei Würfen werden die Würfel nach verschiedenen Kategorien bewertet. Das Yahtzee (50 Punkte) wird erreicht, wenn alle fünf Würfel gleich sind. |
Annahmen
Wir gehen davon aus, dass der Spieler ein kluger Spieler ist und an jedem Entscheidungspunkt die klügsten Entscheidungen trifft.
Die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzigen Wurf ein Yahtzee zu erhalten, ist leicht zu berechnen. Es gibt fünf Würfel, d.h. unabhängig davon, was der erste Würfel würfelt, besteht eine Chance von 1/6, dass der zweite Würfel dieselbe Zahl ergibt. Wenn dies der Fall ist, besteht eine Chance von 1/6, dass der dritte Würfel die gleiche Augenzahl hat, ebenso der vierte und der fünfte.
Die Wahrscheinlichkeit für ein Yahtzee in einem Wurf ist also 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/1296.
Bei drei Würfen und dem Halten werden die Dinge jedoch ein wenig komplizierter. Die Anzahl der Würfel, die wir in jeder Runde würfeln, kann geändert werden, und es gibt viele mögliche Kombinationen, die man in Betracht ziehen kann. Da der Zustand der Würfel zu Beginn jedes Wurfs unabhängig davon ist, wie die Würfel geworfen wurden, ist dies eine perfekte Gelegenheit, eines meiner Lieblingswerkzeuge, die Markov-Kette, auszuprobieren (mehr Hintergrundinformationen dazu finden Sie in meinen früheren Beiträgen über CandyLand und Chutes and Ladders).
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Bevor wir uns jedoch mit der Markov-Kette beschäftigen, ist es von Vorteil, die verschiedenen Möglichkeiten zu untersuchen, wie Kombinationen von Würfeln geworfen werden können. Diese Übung wird die Erstellung der Übergangsmatrix erheblich vereinfachen (das können Sie mir glauben). Los geht’s … |
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2 Würfel |
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Dies ist der triviale Fall. Es gibt nur zwei Muster für die Art und Weise, wie zwei Würfel geworfen werden können. Entweder stimmen sie überein oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite der beiden Würfel mit dem ersten übereinstimmt, liegt bei 1/6, die Wahrscheinlichkeit, dass er nicht übereinstimmt, bei 5/6. Die Wahrscheinlichkeiten müssen sich natürlich zu 1 addieren (eines der beiden Ereignisse muss eintreten).
Eine andere Möglichkeit, dies zu betrachten, ist, dass es 36 mögliche Kombinationen gibt, bei denen zwei Würfel geworfen werden. Bei sechs dieser Kombinationen {1.1}, {2,2}, {3,3}, {4,4}, {5,5}, {6,6} sind die Zahlen gleich, und bei 30 dieser Kombinationen sind die Würfel unterschiedlich.
Diese Ergebnisse sind in der obigen Abbildung grafisch dargestellt. Es besteht eine 6/36 Chance, dass beide Würfel gleich sind, dargestellt als {A,A}, und eine 30/36 Chance, dass sie unterschiedlich sind, dargestellt als {A,B}
3 Würfel |
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Das Ganze wird ein wenig komplexer, aber nicht viel. Hier gibt es drei Möglichkeiten für die Ergebnisse der drei Würfel: Entweder sind sie alle gleich, sie sind alle unterschiedlich, oder es gibt zwei von einer Zahl und eine von einer anderen. Es gibt 216 Möglichkeiten, wie drei Würfel geworfen werden können (6 x 6 x 6).
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Würfel gleich sind, lässt sich leicht als 1/6 x 1/6 = 1/36 berechnen (der zweite Würfel stimmt mit dem ersten in 1 von 6 Fällen überein, und der dritte Würfel stimmt wiederum in 1 von 6 Fällen überein).
Alternativ können wir uns vorstellen, dass es von den 216 möglichen Arten, auf die die Würfel landen könnten, sechs Möglichkeiten gibt, wenn sie alle gleich sind: {1,1,1}, {2,2,2}, {3,3,3}, {4,4,4}, {5,5,5}, {6,6,6}.
Die Wahrscheinlichkeit, dass sie alle unterschiedlich sind, lässt sich mit folgender Logik berechnen: Der erste Würfel kann eine beliebige Zahl sein, dann besteht für den zweiten Würfel eine Chance von 5/6, dass er nicht die gleiche Zahl wie der erste Würfel ist. Schließlich besteht eine Wahrscheinlichkeit von 4/6, dass der dritte Würfel eine andere Zahl als die ersten beiden hat. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Würfel unterschiedlich sind, beträgt also 5/6 x 4/6 = 20/36, was sich vereinfacht zu 120/216 ausrechnen lässt. Es gibt 120 mögliche Kombinationen der 216 möglichen Ergebnisse, bei denen alle drei Würfel unterschiedlich sind {A,B,C}.
Da wir wissen, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten für die Art und Weise, wie drei Würfel rollen, 1,0 ergeben muss, können wir ableiten, dass die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der Würfel gleich sind {A,A,B}, 90/216 ist (was 1 – 6/216 – 120/216 ist).
(Wenn du dich selbst davon überzeugen willst, dann stell dir das so vor: Es gibt sechs mögliche Werte, die A sein könnten, fünf mögliche Werte, die B sein könnten, und drei mögliche Möglichkeiten, welcher Würfel B sein könnte. Das sind 6 x 5 x 3 = 90 Kombinationen aus den 216).
4 Würfel |
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Die Sache wird jetzt ein bisschen komplexer. Sie können alle gleich sein, alle verschieden, drei von einer Sorte, zwei Lose mit zwei Paaren oder ein Paar mit zwei verschiedenen Einzelnummern.
Es gibt 1296 Möglichkeiten, wie vier Würfel angeordnet werden können (6 x 6 x 6 x 6). Die Ergebnisse sind unten dargestellt:
Wir müssen hier besonders vorsichtig sein, weil wir nicht doppelt zählen wollen. Beim Zählen der beiden Lose von zwei Paaren müssen wir darauf achten, dass wir nicht versehentlich {5,5,5,5} als zwei Sätze von doppelten Fünfen zählen und diese in den Eimer {A,A,B,B} legen, denn in Wirklichkeit ist es ein Vierling und muss in den Eimer {A,A,A,A} gelegt werden. Wenn wir doppelt zählen, werden die Wahrscheinlichkeiten größer als 1,0!
Die obige Tabelle kann auf verschiedene Weise abgeleitet werden. Diejenigen unter Ihnen, die an der Universität Mathematik studiert haben, werden vielleicht zu einer Binomialerweiterung greifen, um die Permutationen zu berechnen. Oder, wie auf der Seite Risikoanalyse beschrieben, ist die Anzahl der Kombinationen so gering (nur 1296), dass man einfach alle Kombinationen im Code erzwingen und zählen kann.
Es ist eine gute mentale Übung, die Ableitung dieser Zahlen durchzuarbeiten, um sich von der Richtigkeit der Zahlen zu überzeugen. Zum Beispiel ist {A,A,A,A} 1/6 x 1/6 x 1/6 für die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite, dritte und vierte Würfel mit dem ersten übereinstimmt. (Eine andere Überlegung ist, dass es nur sechs Möglichkeiten gibt, einen Vierling zu erhalten = 6/1296).
Für einen Dreier {A,A,A,B} gibt es sechs mögliche Zahlen, die A sein könnten, und fünf mögliche Zahlen, die B sein könnten, und vier Orte für den Würfel B, was 6 x 5 x 4 Kombinationen = 120/1296 ergibt.
Damit alle Würfel unterschiedlich sind {A,B,C,D}, gibt es eine 5/6 Chance, dass der zweite Würfel sich vom ersten unterscheidet, und eine 4/6 Chance, dass der dritte einzigartig ist, und eine 3/6 Chance, dass der vierte es ist. 5/6 x 4/6 x 3/6 = 60/216 = 360/1296.
Interessante Anmerkung: Wenn man mit vier Würfeln würfelt, ist es am wahrscheinlichsten, dass man ein Paar erhält, und es besteht eine Wahrscheinlichkeit von mehr als 72.2% Chance, dass man mindestens ein Paar erhält (720+90+120+6)/1296
5 Würfel |
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Jetzt wird es ein bisschen hektisch! Es gibt 7776 mögliche Kombinationen für fünf Würfel. Die Ergebnisse sind unten dargestellt. Der Kürze halber werde ich sie hier nicht alle herleiten (vielleicht in einem zukünftigen Blog-Beitrag), und ich zeige einfach die Ergebnisse, damit wir zur Markov-Kette zurückkehren können.
Interessante Anmerkung – Die Wahrscheinlichkeit, in einem Wurf ein FullHouse zu würfeln, beträgt 300/7776, im Vergleich zu einem Vierling mit nur 150/7776. Nach unseren Regeln bringt ein Full House 25 Punkte und (höchstens) ein Vierling 30 Punkte (alle Sechsen – Yahtzee-Bonus ausgenommen), so dass das Full House eine leichte Punkteausbeute ist, da es doppelt so leicht ist wie ein Vierling!
Interessante Anmerkung – Bei fünf Würfeln besteht eine Chance von 7056/7776, dass Sie beim ersten Wurf ein Paar oder besser erhalten (90.7%)
Zurück zu Markov
Um unsere Markov-Analyse durchzuführen, müssen wir eine Übergangsmatrix erstellen, die die Wahrscheinlichkeit des Wechsels zwischen den einzelnen Zuständen definiert.
Als Zustände wähle ich die Anzahl der passenden Würfel im Set, also haben wir 5 Zustände: 1,2,3,4,5 (Hier könnte „1“ passender Würfel auch als Singleton bezeichnet werden). Daraus ergibt sich eine Matrix mit 25 Elementen.
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Unsere Matrix ist ein oberes Dreieck (wir gehen von einem klugen Spieler aus, d.h. wenn ein Dreier gewürfelt wird, schlagen wir nicht vor, dass der Spieler einen Teil davon noch einmal würfelt, um zu einem Yahtzee zu kommen!). Die Übergangsmatrix zeigt die Wahrscheinlichkeiten, von einem beliebigen Zustand entweder in denselben oder einen höheren Zustand zu gelangen. Hier ist die Übergangsmatrix. Wir müssen jede Stelle, die ein ‚?‘ enthält, mit der Wahrscheinlichkeit füllen, von dem durch die Spaltennummer dargestellten Zustand in den durch die Zeilennummer dargestellten Zustand zu wechseln. (Alle anderen Orte haben eine Wahrscheinlichkeit von Null). Los geht’s … |
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Die ersten paar Einträge sind leicht auszufüllen. Die Wahrscheinlichkeit, von Zustand 5 zu Zustand 5 zu gelangen, ist 1,0 Sobald wir ein Yahtzee erreicht haben, behalten wir es und würfeln nicht weiter, also ist es 100% sicher, dass wir in diesem Zustand bleiben! Wenn wir jetzt 4 passende Würfel haben, besteht eine 1/6 Chance, dass wir die richtige Zahl würfeln, um es zu 5 zu machen, und dementsprechend eine 5/6, in Zustand 4 zu bleiben. Der stochastische Charakter der Übergangsmatrix bleibt erhalten, weil die Zeile dieser Matrix den Wert 1,0 hat (irgendetwas muss passieren, und es wird einer dieser Zustandswechsel sein). |
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Für den Zustand 3 gibt es zwei Würfel, die neu geworfen werden müssen, was 36 mögliche Kombinationen ergibt. (Erinnern Sie sich an den Abschnitt über die Kombinatorik weiter oben). Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von 1/36, dass beide Würfel mit dem aktuellen Drilling übereinstimmen, um ein Yahtzee zu bilden, und diese Wahrscheinlichkeit wird in Zeile 3 und Spalte 5 eingetragen. Es besteht eine Chance von 25/36, dass der Spieler am Ende des nächsten Wurfs immer noch einen Drilling hat (5/6 Chance, dass der erste Würfel nicht trifft, multipliziert mit 5/6 Chance, dass der zweite Würfel nicht trifft). Schließlich besteht eine Chance von 10/36, dass eine zusätzliche Zahl einen Vierling ergibt. Das ist 1/6 x 5/6, und das kann auf zwei verschiedene Arten erreicht werden (entweder passt der erste Würfel, oder der zweite). |
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Jetzt wird es etwas kniffliger, also machen wir langsam. Um von Zustand 2 zu Zustand 5 zu gelangen, müssen alle drei neu geworfenen Würfel mit dem aktuellen Paar übereinstimmen. Dies geschieht mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/216 (das ist 1/6 x 1/6 x 1/6). Gleichermaßen ist der Übergang von nichts Passendem (Zustand 1) zu Zustand 5 das Äquivalent zum Würfeln eines Yahtzee in einem Zug (weil alle Würfel neu geworfen werden). Dies ist 1/1296, berechnet als (1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6). |
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Wir können zwei weitere Koeffizienten einsetzen. Wenn man Pech hat und nichts Passendes erwischt (Zustand 1) und alle Würfel noch einmal würfelt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass man wieder nichts Passendes erwischt, 120/1296 (Das ist die 5/6 Chance, dass der zweite Würfel nicht passt, gefolgt von 4/6 für den dritten und 3/6 für den vierten und 2/6 für den fünften). Die Chancen, bei einem einzigen Wurf einen Vierling zu würfeln, sind 25/1296 (Das ist 150/7776. Erinnern Sie sich noch an den Abschnitt über die Kombinatorik? Sie wird berechnet, indem man vier gleiche Würfel erhält: 1/6 x 1/6 x 1/6, wobei der letzte Würfel nicht mit 5/6 übereinstimmt, und es gibt fünf Möglichkeiten, wie dies mit den fünf möglichen Orten für B in der Menge {A,A,A,A,B} gebildet werden kann. Wenn es nicht klar ersichtlich ist, sind die Wahrscheinlichkeiten in der obersten Reihe (die von keinem übereinstimmenden Zustand zu irgendeinem anderen Zustand wechseln) die Wahrscheinlichkeiten für das Ergebnis des ersten Wurfs. |
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Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf einen Dreier zu erhalten, ist 250/1296. Dies ist etwas schwieriger zu berechnen, und wir müssen vorsichtig sein. Dies tritt in einem der beiden Muster {A,A,A,B,B} und {A,A,A,B,C} auf. Unter Bezugnahme auf den obigen Abschnitt über die Kombinatorik (erinnern Sie sich, dass ich sagte, er würde nützlich sein?) können wir sehen, dass {A,A,A,B,B} 300/7776 Mal vorkommt (das Full House) und {A,A,A,B,C} (Drilling) 1200/7776 Mal vorkommt. Wenn wir diese addieren (die probabilistische Art, ODER zu sagen), erhalten wir 1500/7776, was sich auf 250/1296 reduziert. Um das letzte Element in dieser Reihe auszufüllen (ein Paar zu erhalten), müssen wir wieder vorsichtig sein. Es gibt zwei Mengen zu berücksichtigen: {A,A,B,C,D} und {A,A,B,B,C}. (Einzelne Paare und zwei Paare). Da es sich um ein Yahtzee handelt, würfeln wir eines der Paare zusammen mit dem Einzelstein. Die Wahrscheinlichkeit, ein Paar zu erhalten, ist 1800/7776 + 3600/7776 = 5400/7776 oder 900/1296). Es ist auch beruhigend zu wissen, dass sich alle Wahrscheinlichkeiten in dieser Reihe zu 1,0 addieren (120/1296 + 900/1296 + 250/1296 + 25/1296 +1/1296). |
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Der Übergang von einem Paar (Zustand 2) zu einem Vierling (Zustand 4) hat eine Wahrscheinlichkeit von 15/216. Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von 1/6, dass einer der Würfel übereinstimmt, dann eine weitere Wahrscheinlichkeit von 1/6, dass ein anderer übereinstimmt, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit von 5/6, dass der letzte Würfel nicht übereinstimmt. Es gibt drei Möglichkeiten, welcher der 5/6 Würfel übereinstimmt, also ist die endgültige Wahrscheinlichkeit = 3 x 1/6 x 1/6 x 5/6 = 15/216. |
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Nun die letzten beiden kniffligen. Wenn man ein wenig im Internet liest, scheinen sich die Leute hier in ihren Berechnungen zu vertun. Die Komplikation entsteht dadurch, dass man beim erneuten Würfeln mit drei Würfeln vielleicht „abspringen“ möchte, was man anstrebt. Wenn Sie zum Beispiel beim ersten Wurf ein Paar gewürfelt haben, das Paar behalten und drei Würfel neu würfeln und diese drei Würfel alle dasselbe Ergebnis zeigen (aber nicht dasselbe wie das Paar, sonst wäre es Yahtzee!), dann würden Sie beim nächsten Wurf den Dreier behalten und das Paar neu würfeln. Diese Spitzfindigkeit verändert die Wahrscheinlichkeiten. Lassen Sie uns das durchspielen – Wir haben ein Paar behalten und drei Würfel neu geworfen. Erinnern wir uns an unsere Drei-Würfel-Kombination, dass drei Würfel mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 x 1/6 = 1/36 = 6/216 alle gleich sind, aber in einem dieser Fälle wird die gewürfelte Zahl die gleiche sein wie das Paar (was ein Yahtzee ergibt), also müssen wir diesen Fall abziehen. Die Chance, von einem Zweier zu einem Dreier zu kommen, beträgt also 6/216 – 1/216 = 5/216. |
Um den Koeffizienten des Übergangs von einem Paar (Zustand 2) zum Verbleiben als Paar (Zustand 2) zu vervollständigen, benötigen wir die Grundwahrscheinlichkeit dafür, die einfach 5/6 x 5/6 x 5/6 beträgt (alle drei Würfel verfehlen die Paarbildung), und davon müssen wir die Wahrscheinlichkeit abziehen, dass alle drei Würfel gleich sind und kein Yahtzee bilden (5/216), so dass das Endergebnis für dieses Element = 125/216 – 5/216 = 120/216 ist.
In ähnlicher Weise gilt die Umkehrung dieses Tricks für die Übergangswahrscheinlichkeit von einem Paarzustand 2 zu einem Dreierzustand 3. Hier ist die Grundwahrscheinlichkeit für den Übergang vom Zustand 2 in den Zustand 3 75/216 (es werden drei Würfel geworfen, mit 1/6 Chance auf eine Übereinstimmung, dann zwei 5/6 Chancen auf einen Fehlwurf, und es gibt drei Kombinationen von Möglichkeiten, wie dies erreicht werden kann, also 3 x 1/6 x 5/6 x 5/6). Zu dieser Grundwahrscheinlichkeit von 75/216 müssen wir die 5/216 Chance von oben addieren, dass wir auf diesem alternativen Weg zu einem Dreier kommen.
Das letzte Element, das benötigt wird, um unsere Übergangsmatrix von Zustand 2 zu Zustand 3 zu vervollständigen, ist also 75/216 + 5/216 = 80/216.
Es ist auch eine Erleichterung zu berechnen, dass die Wahrscheinlichkeiten in dieser Reihe insgesamt 1,0 betragen! (120/216 + 80/216 + 15/216 + 1/216). Dies bestätigt, dass unsere Berechnungen korrekt sind.
Unsere Übergangsmatrix ist nun vollständig!
Matrixmultiplikation
Wir geben nun einen identischen Spaltenvektor ein und multiplizieren diesen mit der Übergangsmatrix. Der resultierende Zeilenvektor zeigt die Wahrscheinlichkeiten für die Verteilung der Zustände, die der Würfel einnehmen könnte. Wir können diese Ausgabe nun wieder als Eingabe verwenden, und dieses Mal ist die Ausgabe die Überlagerung der Wahrscheinlichkeiten für die Würfel am Ende des zweiten Wurfs. Um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, bei (oder vor) drei Würfen ein Yahtzee zu erhalten, multiplizieren wir ein letztes Mal und lesen das Ergebnis des fünften Elements (Zustand 5) im endgültigen Ausgabevektor ab.
(Ab diesem Punkt wechsle ich zu Dezimalzahlen/Prozentwerten, um die Wahrscheinlichkeiten darzustellen, da die beteiligten Brüche zu unhandlich zum Eingeben und Lesen sind).
Ergebnisse
Die Wahrscheinlichkeit, ein Yahtzee zu bekommen, beträgt 4,6029%
Schöne Diagramme
Wenn du dein Yahtzee nicht getroffen hast, was passiert, wenn du noch einmal würfelst? (wie meine Kinder es manchmal versuchen!) Und noch einmal? Und noch einmal? …
Unten ist ein Diagramm, das die prozentuale Chance zeigt, bei n Würfen ein Yahtzee zu erhalten. Die x-Achse ist die Anzahl der Würfe, und die y-Achse zeigt die prozentuale Chance.
Die Kurve verläuft asymptotisch zu 100% und überschreitet 50% bei Wurf Nr. 10. Um mit 95%iger Sicherheit ein Yahtzee zu würfeln, braucht man 23 Würfe.
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Oft verpasst man einen Yahtzee-Versuch. Wie ist die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten? Wie wahrscheinlich ist es, dass Sie bei Ihrem Yahtzee-Versuch einen Vierling erhalten? Diese Information ist leicht zu erhalten, indem man den Wert aus dem Ausgangsvektor der Markov-Kette für den Zustand 4 abliest. (Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie bei drei Würfen einen Vierling erhalten, beträgt 24,476 %, die eines Drillings 45,240 %). Die Tabelle auf der linken Seite zeigt die prozentuale Verteilung für die ersten 25 Würfe. Unten sind die gleichen Daten in grafischer Form dargestellt. Beachten Sie, dass nach 9 Würfen das Yahtzee zum wahrscheinlichsten Ereignis wird und die Wahrscheinlichkeit, ein Paar oder Singleton zu erhalten, rapide auf ein Geräusch sinkt.
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