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Einführung in Calculus

Kapitel 1 – Einführung

• Abschnitt 1.1 – Warum Calculus studieren
• Abschnitt 1.2 – Warum man Calculus nicht studieren sollte

Abschnitt 1.1 – Warum man Calculus studieren sollte

Als Schüler siehst du Calculus wahrscheinlich als ein weiteres unlogisches Auswendiglernen von Gleichungen an, das man braucht, um die Schule zu bestehen. Sie haben das Gefühl, dass Sie das „hypothetische Kauderwelsch“, das Sie lernen, nie anwenden müssen. Folglich nähern Sie sich dem Thema mit philosophischer Gleichgültigkeit und passen sich an, um das zu ertragen, was Sie nicht heilen können.

Vielleicht steckt hinter diesem schlechten Gefühl die Überzeugung, dass Kalkül ein notwendiges Werkzeug für Ihre Existenz in der realen Welt ist. Unabhängig davon, wie man eine erfolgreiche Existenz definiert, ist ein Verständnis der Infinitesimalrechnung für das eigene Wohlbefinden nicht notwendig. In der Tat ist es eine Übertreibung zu behaupten, dass man sie braucht, um überhaupt ein Wissenschaftler zu werden.

Schließlich zögern viele professionelle Ingenieure nicht, ihre Unkenntnis in diesem Bereich zuzugeben. Das Verständnis eines solchen Ingenieurs für die Infinitesimalrechnung beschränkt sich darauf, die Gleichungen zu kennen und zu wissen, wie man sie anwendet. Wenn ein Ingenieur ein gutes Gefühl dafür hat, was er aufgrund seiner Erfahrung erwarten kann, dann ist das Rechnen nicht so wichtig. Die besten Ingenieure brauchen das Zahlenrechnen nur, um zu bestätigen, was sie glauben, dass das Ergebnis sein könnte.

Bis jetzt hat diese Einführung nur bestätigt, was Sie vielleicht schon über Ihr Studium der Infinitesimalrechnung denken, nämlich dass es eine sinnlose Zeitverschwendung ist! Warum müssen Sie sich die Mühe machen, sie zu lernen, während andere mit absolut keinem Verständnis davon auskommen? Was kann es denn außer Auswendiglernen, Manipulation und Frustration noch in der Kalkulation geben? Ohne Ihren wachsenden Verdacht weiter zu schüren, lassen Sie uns zur ursprünglichen Frage zurückkehren und sie von einem rein nicht-materialistischen Standpunkt aus beantworten.

Warum studiert man Infinitesimalrechnung? Diese Frage lässt sich am besten mit einer anderen Frage beantworten: Wovon handelt die Infinitesimalrechnung? Es ist äußerst schwierig, diese Frage kurz und überzeugend zu beantworten, denn das würde bedeuten, dass man das gesamte Buch in wenigen Zeilen paraphrasieren müsste. Ich könnte Ihnen eine Reihe von Situationen vorstellen, in denen die Infinitesimalrechnung angewendet wird, aber das würde den falschen Eindruck erwecken, dass praktische Anwendungen und mathematische Theorie nur zufällig miteinander verbunden sind. Die einfachste Definition, die ich Ihnen anbieten kann, lautet, dass die Infinitesimalrechnung die Lehre von der mathematisch definierten Veränderung ist. In dieser Definition gibt es zwei Wörter, die einer weiteren Erklärung bedürfen, bevor sie einen Sinn ergibt. Diese Wörter sind Mathematik und Veränderung.

Was ist Mathematik? Im Grunde genommen ist Mathematik nichts anderes als die Sprache der Wissenschaft. Während die Wissenschaft ein systematisches Studium der Natur ist, ist die Mathematik eine prägnante Form der Kommunikation, um die Natur darzustellen. Die Vernunft des Menschen erlaubt es ihm, die Natur und all ihre laufenden Prozesse zu beobachten, zu sezieren und Hypothesen aufzustellen, so dass das Endergebnis dieser geordneten Analyse die Mathematik ist. Was aber ist mit Wissenschaft und Natur gemeint? Anstatt mit Fragen fortzufahren, die nur durch Verallgemeinerungen beantwortet werden können, sollten wir diese Untersuchung der Mathematik mit einer Untersuchung des Menschen beginnen.

Was lässt den Menschen handeln, denken, fühlen, sich bewegen und funktionieren? Das Fach Philosophie ist ganz der Beantwortung solcher Fragen gewidmet, obwohl es oft mehr Fragen stellt, als es zu beantworten bereit ist. Das Leben um uns herum fordert uns ständig heraus, mit dem scheinbar Unmöglichen und Unergründlichen zu leben und darauf zu reagieren. Wir werden mit Dilemmas konfrontiert, die unser Urteil erfordern. Der ethische und moralische Kodex, nach dem wir leben, entpuppt sich jedoch als eine Ansammlung von ironischen Widersprüchen. Wir finden uns in einem Meer von Chaos wieder. Das Leben treibt uns durch dieses Meer der Verwirrung und hält nirgendwo an, um uns an einem Ziel abzusetzen. Das Leben scheint sinnlos zu sein, ohne dass ein Sinn in Sicht ist.

Ist der Mensch auf diesen hilflosen Zustand der Existenz beschränkt? Um ehrlich zu sein, kennt niemand die Antwort. Wir können jedoch im Geist nach Hoffnung suchen. Die Kraft des Denkens, der Vernunft und der Logik ermöglichen es dem Menschen, das Leben in die Hand zu nehmen, und dienen letztlich als Wegweiser zu Erleuchtung und Weisheit. Aristoteles war der Meinung, dass Glück nur durch die Kultivierung des Geistes erreicht werden kann. Er schrieb:

Die besondere Vorzüglichkeit des Menschen ist seine Denkkraft; durch dieses Vermögen übertrifft er andere Lebensformen und beherrscht sie; und da das Wachstum dieses Vermögens ihm die Vorherrschaft verschafft hat, so können wir annehmen, dass seine Entwicklung ihm Erfüllung und Glück bringen wird.

Dies führt zu der Frage: „Wie definieren wir die Vernunft?“. Dies ist gleichbedeutend mit der Frage: Wie definieren die Gedanken das Verhalten? Als Kind hatte man wenig Kontrolle über seine Handlungen. Es schien keinen Sinn zu haben, was Sie taten oder was Ihnen widerfuhr. Das Leben trug Sie mit sich und gab Ihnen die Freiheit, die Fahrt zu genießen.

Die Idee des freien Willens bietet eine plausiblere Erklärung für das menschliche Handeln. Sie besagt, dass der Mensch die Wahlfreiheit hat, sich für eine bestimmte Handlungsweise zu entscheiden. Handlungen sind das Ergebnis von Entscheidungen; Entscheidungen, die wir frei treffen können.

Der Philosophiezweig, der als Determinismus bekannt ist, geht noch einen Schritt weiter und erklärt, warum sich der Mensch für eine bestimmte Handlungsweise entscheidet. Wenn der Mensch mit einer Situation konfrontiert wird, entscheidet er sich aufgrund von Erfahrungen, persönlichen Interessen und Vorlieben für eine bestimmte Handlungsweise. Die Entscheidungen, die wir treffen, werden also vollständig von unseren früheren Erfahrungen beeinflusst. Der Wille ist nicht frei, sich eigenständig zu verhalten. Meine Entscheidung, dieses Buch zu schreiben, beruhte zum Beispiel nicht auf einem impulsiven Instinkt, sondern auf einer Häufung von Umständen, denen ich ausgesetzt war und auf die ich reagierte.

Jede Handlung, von der zufälligsten bis zur perversesten, kann durch die Reihe von Situationen, Erfahrungen, Gedanken und Gefühlen erklärt werden, die dieser Handlung vorausgingen. Im Wesentlichen besagt der Determinismus, dass unser Leben in dem Maße vorherbestimmt ist, dass wir unabhängig davon, wie wir leben, unseren Lebensweg niemals ändern können. Ein französischer Denker sagte einmal: „Wir verändern uns, aber wir bleiben dieselben“. Die Logik hinter dieser Aussage ist, dass, wenn unsere Vergangenheit nie geändert werden kann, unsere Zukunft immer dieselbe bleiben wird. Jede Handlung wird von der vorhergehenden diktiert.

An diesem Punkt klaffen Wissenschaft und Kunst auseinander. Für den Wissenschaftler ist der Determinismus eine hinreichend genaue Erklärung des menschlichen Lebens, da er besagt, dass alles, was geschieht, aus einer Reihe von Gründen geschieht. Das Beobachten und Verstehen dieser Gründe ist die Aufgabe des Wissenschaftlers. Der Künstler hingegen interpretiert den Determinismus so, dass er sagt: „Da alles im Leben vorherbestimmt ist, ist das Leben bedeutungslos“.

Das Leben mag keinen Sinn haben, aber es ist das Ziel des Künstlers, diese Aussage in Frage zu stellen, indem er die geheimnisvollen Tiefen der menschlichen Natur und des Herzens erforscht. Vielleicht ist es die völlige Zufälligkeit des Lebens, die uns dazu bringt, unser unveränderliches Schicksal zu ignorieren. Kein Mensch hat die Kontrolle über die Handlungen, denen er oder sie ausgesetzt sein wird. Das Schicksal beginnt an Bedeutung zu verlieren, da man nie weiß, was mit einem geschieht. Es bedarf des Risikos des Künstlers, um ein Chaos zu schaffen, aus dem sich Weisheit entwickelt.

Das Studium der Natur hingegen ist präziser und weniger wahrscheinlich von einer Vielzahl unzusammenhängender Faktoren beeinflusst. In der Natur hängen alle Handlungen, Ereignisse oder Veränderungen von einigen wenigen Faktoren ab, die sorgfältig isoliert und einzeln untersucht werden können. In der Wissenschaft geht es speziell darum, diese interagierenden Systeme zu analysieren und dann Hypothesen zu bilden, die sie genau erklären können.

Was die Beobachtung von Phänomenen in der Natur so interessant macht, ist die Tatsache, dass sie immer in einer geschlossenen Umgebung auftreten, in der externe Faktoren leicht entfernt werden können, so dass nur einige wenige interagierende Objekte übrig bleiben. Diese Objekte und ihre Eigenschaften sind es, die im Mittelpunkt der Untersuchung stehen. Jeder Versuch, ihre einzigartige Interaktion logisch zu erklären, muss von den Objekten selbst ausgehen und nicht von imaginären externen Faktoren. Durch Denken und Beobachten kann die Natur verstanden werden, so dass die Zukunft aus der Gegenwart bestimmt werden kann. Wie Sherlock Holmes Watson oft zu warnen pflegte: „Du siehst, aber du beobachtest nicht!“

Oft genug scheitern die Menschen daran, diese einfache Regel der Natur zu begreifen, indem sie unwissend alle natürlich auftretenden Phänomene den Göttern, dem Himmel oder irgendeiner mysteriösen Substanz mit Superkräften zuschreiben. Um die Wahrheit zu verstehen und zu akzeptieren, ist ein offener und kritischer Geist erforderlich. Charlotte Bronte hat diese ironische Schwäche der menschlichen Natur in ihrem populären Roman Shirley auf humorvolle Weise beschrieben.

Merke dir das gut! Wann immer du die tatsächliche, einfache Wahrheit präsentierst, wird sie irgendwie immer als Lüge denunziert: man verleugnet sie, wirft sie von sich, wirft sie auf die Gemeinde; wohingegen das Produkt deiner eigenen Phantasie, die bloße Einbildung, die bloße Fiktion, angepasst, als hübsch, angemessen, süß natürlich bezeichnet wird: der kleine falsche Schuft bekommt alle Komfits – der ehrliche, rechtmäßige Bantling alle Handschellen. So ist der Lauf der Welt …“.

Die Wissenschaft wird nicht nur durch Unwissenheit und Täuschung behindert, sondern auch durch die Arbeit der Pseudowissenschaftler verwirrt. Der Pseudowissenschaftler wird von dem spanischen Philosophen Jose Ortega in seinem erstaunlichen Buch über die moderne westliche Zivilisation, Die Revolte der Massen, beschrieben:

„… Um 1890 übernimmt eine dritte Generation das Kommando in der intellektuellen Welt, und wir finden einen Typus von Wissenschaftler, der in der Geschichte ohne Beispiel ist. Er ist ein Mensch, der von allem, was ein pflichtbewusster Mensch wissen muss, nur etwas über eine bestimmte Wissenschaft weiß; selbst über diese Wissenschaft ist er nur in dem begrenzten Bereich gut informiert, in dem er ein aktiver Forscher ist. Er kann sogar so weit gehen, zu behaupten, er habe einen Vorteil, wenn er das, was außerhalb seines eigenen engen Gebietes liegt, nicht kultiviert, und er kann erklären, dass die Neugierde auf das allgemeine Wissen das Zeichen des Amateurs, des Dilettanten ist.

Eingeschlossen in sein kleines Gebiet, gelingt es ihm, neue Tatsachen zu entdecken, die Wissenschaft, die er kaum kennt, voranzubringen und die Enzyklopädie des Wissens, von dem er gewissenhaft nichts weiß, zu vergrößern…“

Der Physik-Nobelpreisträger Richard Feynman schrieb die folgenden Beobachtungen über die verschiedenen Arten von Pseudowissenschaftlern, die er auf einer Konferenz traf. Die meisten Arbeiten der Wissenschaftler fielen in eine der folgenden Kategorien:

1. Völlig unverständlich
2. Vage und unbestimmt
3. Etwas Richtiges, das offensichtlich und selbstverständlich ist, eine Behauptung, die auf der Dummheit des Autors beruht, dass etwas Offensichtliches und Richtiges, das jahrelang akzeptiert und geprüft wurde, in Wirklichkeit falsch ist
4. Ein Versuch, etwas zu tun, das wahrscheinlich unmöglich ist, aber sicher keinen Nutzen hat, und der am Ende scheitert
5. Einfach falsch

Eines der bemerkenswerten Meisterwerke des Geistes ist die Wissenschaft der Mathematik, die oft als Wissenschaft des deduktiven Denkens bezeichnet wird. Während die Wissenschaft ein logisches Denksystem ist, das zum Studium der natürlichen Welt verwendet wird, ist die Mathematik die präzise Sprache der Wissenschaft. Sie ist die Kommunikationsform für die wissenschaftliche Analyse. Zahlen und Symbole sind nichts weiter als vage Abstraktionen, wenn sie sich nicht auf etwas Bestimmtes beziehen; bevor die Mathematik existieren kann, muss es eine Situation geben, die ihr einen Sinn gibt. Es ist die wissenschaftliche Analyse, die die Struktur der Mathematik bestimmt.

Durch die Mathematik sind wir in der Lage, die Gegenwart zu definieren. Die Gegenwart ist nur von den Bedingungen abhängig, die innerhalb des kurzen Zeitrahmens, den sie einnimmt, bestehen. Schnell verschwindet sie vor unseren Augen und wird zu einer Erinnerung. Das Ziel der Wissenschaft ist es, die objektive Welt anhand bestehender quantifizierbarer Bedingungen zu definieren, die durch Mathematik ausgedrückt werden. Unsere Dimensionen oder Eigenschaften bleiben fest und ändern sich nicht.

Erst wenn sich unsere Dimensionen ändern, wird unsere Untersuchung etwas komplizierter, und es entsteht das Kalkül. Aber zunächst einmal: Was ist mit Veränderung gemeint? Um Veränderung zu verstehen, müssen wir den Begriff der Zeit erklären. Definitionsgemäß ist Zeit ein Ablauf von Ereignissen, d. h., damit Zeit vergeht, muss sich etwas in Bezug auf sich selbst verändern. Ein sich bewegendes Objekt beispielsweise bedeutet, dass sich die zurückgelegte Entfernung von einem Bezugspunkt ändert. Dies ist ein Ereignis, das die Zeit definiert. Oder eine steigende Temperatur bedeutet, dass sich die Temperatur ändert und somit Zeit beansprucht. Veränderungen sind die Ergebnisse von Handlungen, die eine Situation ausmachen.

Die Infinitesimalrechnung ist zwar die Lehre von der mathematisch definierten Veränderung, aber sie ist nicht notwendigerweise die Lehre von der Zeit allein. In der Wissenschaft können sich auch andere Dimensionen im Verhältnis zueinander verändern. Zum Beispiel kann sich die Geschwindigkeit mit der Höhe ändern, die Temperatur mit der Energie, die Dichte mit der Tiefe, die Kraft mit der Masse usw.

Wenn sich eine Dimension in Bezug auf sich selbst ändert, sagen wir, sie ändert sich in Bezug auf die Zeit. Wenn sich Faktoren im Verhältnis zueinander ändern, lassen wir die Wirkung der Zeit auf die Faktoren außer Acht und analysieren nur die interagierenden Dimensionen. Wir gehen davon aus, dass unsere Faktoren konstant sind und sich im Verhältnis zueinander ändern, nicht im Verhältnis zur Zeit. Die Infinitesimalrechnung ist also der Zweig der Mathematik, der sich mit allen Phänomenen befasst, die mit Veränderungen einhergehen. Veränderung ist ein relativer Begriff, der jedes Paar von Dimensionen, Zeit, Kraft, Masse, Länge, Temperatur usw. umfassen kann. Das mag etwas abstrakt klingen, aber es wird im Laufe des Kurses viel klarer werden.

Damit ist die Antwort auf die Frage, worum es in der Kalkulation geht, abgeschlossen. Sie haben vielleicht nicht das Gefühl, dass ich die ursprünglich gestellte Frage „Warum sollte man Infinitesimalrechnung studieren?“ beantwortet habe. Der Zweck des Studiums der Infinitesimalrechnung besteht einfach darin, den Verstand mit der wissenschaftlichen Methode der Analyse vertraut zu machen. Mit Hilfe der Wissenschaft lassen sich praktische Probleme erkennen, Erklärungen finden und logische Lösungen finden. Das Ziel ist, dass Sie verstehen, wie Sie Ihren Verstand systematisch einsetzen können, um die Welt um Sie herum zu verstehen.

Das Ingenieurwesen beruht mehr auf diesem grundlegenden logischen Ansatz zur Problemlösung als auf dem bloßen Rechnen mit Zahlen und der Manipulation von Formeln. Aus diesem Grund haben viele Ingenieure alle Theoreme der Infinitesimalrechnung vergessen, aber was bleibt, ist der wichtige konzeptionelle Rahmen von Methode und Anwendung. Ingenieure geben oft scherzhaft zu: „Wir kennen nicht die ganze Mathematik, aber wir kennen das Endresultat! „

Guter Ingenieurssinn ist definiert als die Fähigkeit, ein Problem schnell zu erkennen, praktische Lösungen zu finden und dann die effizienteste Option auszuwählen. Viele Probleme der realen Welt sind unabhängig von komplexer Mathematik, aber die gleiche systematische wissenschaftliche Herangehensweise ist erforderlich, um sie zu lösen. Die Anwendung einer soliden Logik ist alles, was erforderlich ist, um Komplexes auf Einfaches zu reduzieren.

Zu Beginn der Einleitung habe ich festgestellt, dass es eine Übertreibung ist zu behaupten, man brauche Kalkül, um Wissenschaftler zu werden. Diejenigen Ingenieure und Wissenschaftler, die mit einer flüchtigen Kenntnis des Faches auskommen, fallen in den Bereich der Pseudowissenschaftler und Scharlatane. Wie Ortega schrieb, bringt der Pseudowissenschaftler „die Wissenschaft voran, die er kaum kennt, und vergrößert zwangsläufig die Enzyklopädie des Wissens, von dem er gewissenhaft nichts weiß…“. Es ist der Nervenkitzel und die Erleuchtung, die Natur zu verstehen, die den Wissenschaftler antreibt. Der Ingenieur treibt die Wissenschaft einen Schritt weiter, um die Natur so zu kontrollieren, dass sie den Bedürfnissen des Menschen entspricht. Sowohl der Ingenieur als auch der Wissenschaftler teilen eine tiefe Wertschätzung für die Funktionsweise der Natur; eine Wertschätzung, die sich zu Weisheit entwickelt.

Daher verfolgt das Studium der Infinitesimalrechnung einen doppelten Zweck. Erstens werden Sie mit den grundlegenden Konzepten der Mathematik vertraut gemacht, die zur Untersuchung fast aller Arten von sich verändernden Phänomenen in einem kontrollierten Rahmen verwendet werden. Zweitens wird das Studium der Infinitesimalrechnung in Ihnen einen unschätzbaren wissenschaftlichen Sinn und praktische Fähigkeiten zur Lösung technischer Probleme entwickeln. Sie werden verstehen, wie man logisch denken muss, um selbst die komplexesten Systeme auf einige wenige interagierende Komponenten zu reduzieren. Wenn Sie die wichtigsten Konzepte, Theorien und Beispiele in diesem Buch studieren, wird sich Ihr Verstand zu einem leistungsfähigen systematischen Instrument entwickeln.

Um mit einer humorvollen Anmerkung zu schließen, lesen Sie den folgenden satirischen Essay von The Onion im Kapitel über das Jahr1925 in ihrem Buch Our DumbCentury.

Sollen wir unseren Kindern Fakten beibringen? Nein, sage ich, tausendmal nein! Wenn sie zu den Bauern, Hausfrauen, Fabrikarbeitern und Bergarbeitern von morgen heranwachsen, sind Fakten das Letzte, was sie brauchen. Manieren! Unterwürfigkeit! Vor allem Gehorsam! Sprechen Sie nur, wenn Sie angesprochen werden, und machen Sie keinen Ärger! Das sind die Grundsätze, auf denen unser Erziehungssystem beruht. Warum in Gottes Namen sollten wir es durch ein System ersetzen, das einen Unwissenden dazu ermutigt, Fragen zu stellen? Ein guter Bürger tut nichts dergleichen. Er begnügt sich mit den Gründen, die ihm von seinen Vorgesetzten gegeben werden.

Fragen

1. Hat Gott den Menschen oder der Mensch Gott erschaffen? Manche sagen, der Mensch und die Natur seien zu gut gemacht, um zufällig zu sein. Die vielen physikalischen Gesetze dieses Universums müssen von einem Schöpfer gemacht worden sein, so wie die Verkehrsgesetze vom Menschen gemacht wurden. Die Evolution mag zwar zufällig erscheinen, ist aber in Wirklichkeit eine Anhäufung von unendlichen Veränderungen im Laufe der Zeit. Was wir sehen, ist nur der aktuelle Zustand, nicht die unendlichen Schichten, die sich im Laufe der Ewigkeit gebildet haben. Aus diesem Grund kann man leicht zu dem Schluss kommen, dass der gegenwärtige Zustand zu perfekt ist, um ihn zu verstehen. Wenn man jedoch untersucht, wie die einzelnen Evolutionsschichten ablaufen, kann man leicht verstehen, wie aus einfachsten Veränderungen, die sich im Laufe der Zeit angesammelt haben, Komplexität entstehen kann. Kommentieren Sie diese Frage im Hinblick auf Ihre Ansichten über Religion und Wissenschaft.
2. Das Paradoxe am Leben ist, dass man leiden muss, um es zu genießen. Oder denken Sie an das Zitat des Vaters der modernen olympischen Bewegung: „Das Wichtigste bei den Olympischen Spielen ist nicht der Sieg, sondern das Mitmachen, so wie das Wichtigste im Leben nicht der Triumph, sondern der Kampf ist. Das Wichtigste ist nicht zu siegen, sondern gut gekämpft zu haben. „Was denken Sie? Geht es im Leben um Erfolge oder um den Weg zu diesen Erfolgen?
3. Die Welt besteht aus tausenden von Kulturen. Jede Kultur hat ihre eigenen Moralvorstellungen und Normen, nach denen die Gesellschaft zu leben versucht. Was in der einen Kultur als gut gilt, kann in einer anderen Kultur ein Tabu sein. Obwohl die meisten Menschen grundsätzlich gut sind, ist das gesellschaftlich akzeptierte Verhalten wenig einheitlich. Ist die Moral absolut oder existiert sie nur relativ zueinander? Mit anderen Worten: Sind Sie der Meinung, dass bestimmte Handlungen unabhängig von der persönlichen Erziehung als rein gut oder böse beurteilt werden können? Welche Aspekte Ihrer Kultur könnten von jemandem, der einer anderen Kultur angehört, als fremd oder negativ empfunden werden?

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