Stellen Sie sich einen Krieg auf 10 Schlachtfeldern vor. Sie und Ihr Gegner haben jeweils 200 Soldaten, und Ihr Ziel ist es, so viele Schlachten wie möglich zu gewinnen. Wie würden Sie Ihre Truppen einsetzen? Wenn du sie gleichmäßig verteilst und 20 Soldaten auf jedes Schlachtfeld schickst, könnte dein Gegner seine eigenen Truppen konzentrieren und leicht die Mehrheit der Kämpfe gewinnen. Du könntest versuchen, mehrere Orte selbst zu überwältigen, aber es gibt keine Garantie, dass du gewinnst, und du wirst die verbleibenden Schlachtfelder schlecht verteidigt zurücklassen. Es ist nicht einfach, eine siegreiche Strategie zu entwickeln, aber solange keine der beiden Seiten den Plan der anderen im Voraus kennt, ist es ein fairer Kampf.

Stellt euch nun vor, euer Gegner hat die Macht, sowohl eure Truppen als auch seine eigenen einzusetzen. Selbst wenn du mehr Truppen bekommst, kannst du nicht gewinnen.

Im Krieg der Politik kommt diese Macht, Truppen einzusetzen, von Gerrymandering, der jahrhundertealten Praxis der Manipulation von Wahlbezirken für parteipolitischen Gewinn. Indem sie bestimmen, wer wo wählt, können Politiker die Chancen zu ihren Gunsten kippen und ihre Gegner besiegen, bevor die Schlacht überhaupt begonnen hat.

Im Jahr 1986 erklärte der Oberste Gerichtshof extreme parteiische Wahlkreiseinteilungen für verfassungswidrig. Da es jedoch keinen zuverlässigen Test gibt, um unfaire Wahlkreiskarten zu identifizieren, hat das Gericht bisher keine einzige verworfen. Jetzt, da das höchste Gericht der Nation Argumente für und gegen eine Anfechtung der Wahlkreiskarte des Bundesstaates Wisconsin anhört, stehen Mathematiker an vorderster Front im Kampf für Wahlfairness.

Einfache Mathematik kann intriganten Politikern dabei helfen, Wahlkreise zu entwerfen, die ihrer Partei übergroßen Einfluss verschaffen, aber Mathematik kann auch dabei helfen, solche Situationen zu erkennen und zu beheben. Im vergangenen Sommer traf sich die Metric Geometry and Gerrymandering Group unter der Leitung des Mathematikers Moon Duchin an der Tufts University, um neue mathematische Werkzeuge zur Analyse und Bekämpfung von Gerrymandering zu diskutieren. Die „Effizienzlücke“ ist eine einfache Idee, die einigen der vom Obersten Gerichtshof erwogenen Instrumente zugrunde liegt. Lassen Sie uns dieses Konzept und einige seiner Verzweigungen untersuchen.

Stellen Sie sich einen Staat mit 200 Wählern vor, von denen 100 der Partei A und 100 der Partei B treu sind. Nehmen wir an, der Staat muss vier Abgeordnete wählen und muss daher vier Bezirke mit gleicher Wahlbeteiligung bilden.

Stellen Sie sich vor, dass Sie die Möglichkeit haben, die Wähler einem beliebigen Bezirk zuzuordnen. Wenn Sie Partei A bevorzugen, könnten Sie die 100 A-Wähler und 100 B-Wähler wie folgt auf die vier Bezirke verteilen:

Bei so konstruierten Bezirken, gewinnt die Partei A drei der vier Wahlen. Wenn Sie natürlich Partei B bevorzugen, können Sie die Wähler auf diese Weise verteilen:

Hier, sind die Ergebnisse umgekehrt, und Partei B gewinnt drei der vier Wahlen.

Beachte, dass in beiden Szenarien die gleiche Anzahl von Wählern mit den gleichen Präferenzen an der gleichen Anzahl von Wahlen teilnimmt. Ändert man nur die Verteilung der Wähler auf die Wahlbezirke, ändert sich das Ergebnis drastisch. Die Fähigkeit, Wahlbezirke zu bestimmen, verleiht eine Menge Macht, und die Beachtung einiger einfacher mathematischer Regeln ist alles, was nötig ist, um einen Wahlvorteil zu schaffen.

Was wäre, wenn Sie, anstatt einer Partei einen Vorteil gegenüber der anderen zu verschaffen, Ihre Macht nutzen wollten, um faire Bezirke zu schaffen? Zunächst müsste man festlegen, was „fair“ bedeutet, und das kann schwierig sein, da Gewinner und Verlierer oft unterschiedliche Vorstellungen von Fairness haben. Aber wenn wir von einigen Annahmen darüber ausgehen, was „fair“ bedeutet, können wir versuchen, die Fairness verschiedener Wählerverteilungen zu quantifizieren. Man kann über diese Annahmen und ihre Auswirkungen streiten, aber mit Hilfe eines mathematischen Modells können wir versuchen, verschiedene Szenarien zu vergleichen. Die Effizienzlücke ist ein Ansatz, um die Fairness einer Wählerverteilung zu quantifizieren.

Um die Effizienzlücke zu verstehen, können wir mit der Beobachtung beginnen, dass in einer Reihe von zusammenhängenden Wahlen nicht alle Stimmen die gleiche Wirkung haben. Einige Stimmen können einen großen Unterschied machen, und einige Stimmen können als „verschwendet“ angesehen werden. Die Ungleichheit der verschwendeten Stimmen ist die Effizienzlücke: Sie misst, wie gleich oder ungleich die verschwendeten Stimmen auf die konkurrierenden Parteien verteilt sind.

Was zählt also als verschwendete Stimme? Betrachten wir die Rolle Kaliforniens bei den Präsidentschaftswahlen. Seit 1992 hat Kalifornien immer den demokratischen Präsidentschaftskandidaten unterstützt. Daher wissen die kalifornischen Republikaner, dass sie mit ziemlicher Sicherheit einen unterlegenen Kandidaten unterstützen werden. In gewisser Weise ist ihre Stimme vergeudet: Wenn sie in einem Staat wie Florida wählen dürften, in dem die Wahlausgänge ungewiss sind, könnte ihre Stimme einen größeren Unterschied ausmachen. Aus republikanischer Sicht wäre das eine effizientere Verwendung ihrer Stimme.

Wie sich herausstellt, können die demokratischen Wähler in Kalifornien ein ähnliches Argument für die Verschwendung ihrer Stimme anführen. Da der Kandidat der Demokraten in Kalifornien wahrscheinlich einen Erdrutschsieg erringen wird, sind viele ihrer Stimmen in gewissem Sinne ebenfalls verschwendet: Ob der Kandidat in Kalifornien mit 51 Prozent oder 67 Prozent der Stimmen gewinnt, das Ergebnis ist dasselbe. Diese zusätzlichen Gewinnerstimmen sind bedeutungslos.

Im Zusammenhang mit der Effizienzlücke gibt es also zwei Arten von verschwendeten Stimmen: die für einen unterlegenen Kandidaten und die für einen siegreichen Kandidaten, die über das hinausgehen, was für den Sieg notwendig ist (der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Schwelle für den Sieg bei 50 Prozent liegt, auch wenn dies technisch gesehen zu einem Unentschieden führen könnte; ein tatsächliches Unentschieden ist bei Hunderttausenden von Wählern in jedem Kongressbezirk mehr als unwahrscheinlich). Bei einer Wahl mit mehreren Wahlbezirken hat jede Partei wahrscheinlich jede Art von verschwendeten Stimmen. Die Effizienzlücke ist der Unterschied in der Gesamtzahl der verschwendeten Stimmen für jede Partei, ausgedrückt als Prozentsatz der insgesamt abgegebenen Stimmen. (Wir subtrahieren die kleinere Zahl von der größeren, wenn möglich, um eine nicht negative Effizienzlücke zu gewährleisten. Wir könnten auch den absoluten Wert der Differenz nehmen.)

Kehren wir zu unseren Szenarien mit vier Bezirken zurück und untersuchen ihre Effizienzlücken. Unsere erste Verteilung sah wie folgt aus.

In diesem Szenario, 75 der Stimmen von B werden verschwendet: 60 für Verlierer und 15 mehr als die 25, die für den Sieg im Wahlkreis 4 erforderlich sind. Von den Stimmen der Partei A werden nur 25 verschwendet: 5 zusätzliche Stimmen bei jedem Sieg und 10 Verluststimmen. Die reine Differenz der verschwendeten Stimmen beträgt 75 – 25 = 50, also beträgt die Effizienzlücke hier 50/200 = 25 Prozent. Wir sagen, dass der 25-prozentige Effizienzunterschied hier Partei A begünstigt, da Partei B die größere Anzahl an verschwendeten Stimmen hatte. Im zweiten Szenario, in dem die Zahlen umgekehrt sind, begünstigt die 25-prozentige Effizienzlücke nun Partei B.

Kann uns die Effizienzlücke ein Gefühl für die Fairness einer Verteilung geben? Nun, wenn Sie die Macht hätten, Wahlbezirke zu schaffen, und Sie wollten Siege für Ihre Partei herbeiführen, bestünde Ihre Strategie darin, die verschwendeten Stimmen für Ihre Partei zu minimieren und die verschwendeten Stimmen für Ihren Gegner zu maximieren. Zu diesem Zweck wird eine Technik angewandt, die als „packing and cracking“ bekannt ist: Die Stimmen des Gegners werden in eine kleine Anzahl von Wahlbezirken gepackt, und der verbleibende Block von Stimmen wird geknackt und dünn über den Rest der Wahlbezirke verteilt, um deren Auswirkungen zu minimieren. Diese Praxis führt natürlich zu großen Effizienzlücken, so dass man erwarten könnte, dass gerechtere Verteilungen kleinere Lücken aufweisen.

Werfen wir einen genaueren Blick auf die Effizienzlücken, indem wir uns unseren Staat mit 200 Wählern vorstellen, der nun in 10 gleiche Bezirke aufgeteilt ist. Betrachten wir die folgende Wählerverteilung, bei der Partei A 9 der 10 Bezirke gewinnt.

Auf den ersten Blick, sieht das nicht nach einer gerechten Verteilung der Wähler aus. Was sagt die Effizienzlücke aus?

In diesem Szenario werden fast alle Stimmen der Partei B verschwendet: neun verlorene Stimmen in jedem der neun Bezirke, plus neun überschüssige Stimmen bei einem Sieg, also insgesamt 90 verschwendete Stimmen. Die Wähler von Partei A sind viel effizienter: insgesamt werden nur 10 Stimmen verschwendet. Es ergibt sich eine Differenz von 90 – 10 = 80 verschwendeten Stimmen und eine Effizienzlücke von 80/200 = 40 Prozent, die Partei A begünstigt.

Vergleichen Sie dies mit der folgenden Verteilung, bei der Partei A 7 der 10 Bezirke gewinnt.

Hier, beträgt die Zahl der verschwendeten Stimmen 70 für Partei B und 30 für Partei A, was eine Effizienzlücke von 40/200 = 20 Prozent ergibt. Eine scheinbar gerechtere Verteilung führt zu einer geringeren Effizienzlücke.

Betrachten wir abschließend die gleichmäßige Aufteilung der Bezirkswahlen.

Die Symmetrie allein legt die Antwort nahe, und die Berechnungen bestätigen sie: 50 verschwendete Stimmen für jede Partei bedeuten eine Effizienzlücke von 0 Prozent. Dabei ist zu beachten, dass eine Effizienzlücke von 0 Prozent einer unabhängigen Vorstellung von Fairness entspricht: Wenn nämlich die Wähler im gesamten Bundesstaat gleichmäßig auf beide Parteien verteilt sind, erscheint es vernünftig, dass jede Partei die Hälfte der Wahlen gewinnt.

Diese elementaren Beispiele zeigen den Nutzen der Effizienzlücke als Maß für die Wahlgerechtigkeit. Sie ist leicht zu verstehen und zu berechnen, sie ist transparent, und ihre Interpretationen stehen im Einklang mit anderen Begriffen der Fairness. Es ist eine einfache Idee, die jedoch auf vielfältige und komplexe Weise zur Untersuchung von Wahlmanipulationen verwendet wird. Zum Beispiel verwenden Mathematiker jetzt Simulationen, um Millionen von theoretischen Wahlkarten für einen bestimmten Staat zu betrachten und dann die Verteilung aller möglichen Effizienzlücken zu untersuchen. Dies schafft nicht nur einen Kontext für die Bewertung der Fairness einer aktuellen Karte im Vergleich zu anderen Möglichkeiten, sondern kann auch verwendet werden, um gerechtere Alternativen vorzuschlagen.

Auch wenn die Wähler den Bezirken nicht auf die Art und Weise zugewiesen werden, wie wir es uns in unseren Beispielen vorgestellt haben, führt die Praxis der Wahlkreiseinteilung zu ähnlichen Ergebnissen. Durch die strategische Neuziehung von Bezirksgrenzen können Gerrymander die Wahlverteilung so gestalten, dass ein ungleiches Spielfeld für die Wähler entsteht. Diese unfairen Kämpfe wirken sich auf die Art und Weise aus, wie wir regiert werden, und verhelfen den Amtsinhabern der Mehrheitspartei zu einer Wiederwahl in jeder Wahlperiode. Der Fall vor dem Obersten Gerichtshof betrifft nur eine von vielen potenziell ungerechten Karten. Objektive mathematische Hilfsmittel wie die Effizienzlücke sind möglicherweise die einzige Möglichkeit, Gerrymandering auszumerzen und unsere politischen Schlachtfelder im Gleichgewicht zu halten.

Laden Sie das PDF-Arbeitsblatt „Doing the Political Math“ herunter, um diese Konzepte zu üben oder mit Schülern zu teilen.