Es gibt eine Menge Beweise. Mein Favorit geht so. Angeblich geht er auf einen sehr jungen Albert Einstein zurück, aber das scheint schwer zu verifizieren zu sein.

Rechte Dreiecke haben eine nette Eigenschaft: Wenn man ein rechtwinkliges Dreieck hat, kann man eine Linie zeichnen, die senkrecht zur Hypotenuse durch den rechten Winkel geht, und diese Linie teilt das Dreieck in zwei kleinere Kopien von sich selbst. Diese Linie nennt man die Höhe. Hier ist ein Bild, das zeigt, wie das funktioniert. Du solltest dich selbst davon überzeugen können, dass die kleineren Dreiecke, die durch die Höhe gebildet werden, tatsächlich Kopien des großen Dreiecks sind – es hat damit zu tun, dass sich die Winkel eines Dreiecks zu 180 Grad addieren.

Also, jetzt geht es los. Betrachten wir den Satz zunächst einmal nicht als Formel, sondern als Aussage über die Geometrie. Der Satz besagt, dass für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a, b und c (wobei die Hypotenuse c ist) der Flächeninhalt des Quadrats, dessen Seite c ist, gleich der Summe der Flächeninhalte der Quadrate ist, deren Seiten a und b sind. Die Summe der Flächen der blauen und orangefarbenen Quadrate ist gleich der Fläche des violetten Quadrats.

Um dies zu beweisen, betrachte ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a, b, c und zerlege es mit Hilfe der Höhe in kleine Kopien seiner selbst, wie wir es oben besprochen haben. Vielleicht nimmst du dir einen Stift und zeichnest Diagramme, um hier mitzukommen. Wir werden über die Flächen der kleinen Kopien und des großen Dreiecks nachdenken, also geben wir ihnen einige Namen. A sei der Flächeninhalt des kleinen Dreiecks mit der Hypotenuse a, B sei der Flächeninhalt des kleinen Dreiecks mit der Hypotenuse b und C sei der Flächeninhalt des großen Dreiecks (natürlich mit der Hypotenuse c). Auch hier gilt: Zeichne ein Bild, wenn du es dir nicht vorstellen kannst.

Jetzt wird es klar: A + B = C. Merke dir das und lege es beiseite.

Beachte, dass die Quadrate alle die gleichen Seiten haben wie die Hypotenuse der entsprechenden Dreiecke. Betrachten wir zunächst die kleine Hausform, die entlang der Seite a gebildet wird – also das Dreieck mit der Fläche A und das Quadrat mit der Fläche a2. Sei r das Verhältnis zwischen der Fläche des Dreiecks in der Hausform und der Fläche des Quadrats, so dass

A = ra2

Abhängig davon, wie man das Dreieck ursprünglich gezeichnet hat, kann r groß oder klein sein. Das Lustige an diesem Beweis ist, dass r uns am Ende hilft, obwohl es keine Rolle spielt, wie groß es ist.

Lenken wir unseren Fokus auf die Hausform, die entlang der Seite b gebildet wird. Da das Dreieck mit der Fläche B eine exakte Kopie des Dreiecks mit der Fläche A ist, aber nur eine andere Größe hat (es sei denn, du hast zufällig ein gleichschenkliges Dreieck gezeichnet, in diesem Fall ist es auch gleich groß), ist das Verhältnis zwischen den Flächen dieses Dreiecks und des dazugehörigen Quadrats dasselbe. Das heißt, da diese Hausform nur eine maßstabsgetreue Kopie der ersten Hausform ist, gilt das gleiche Verhältnis:

B = rb2

Schließlich kann man sehen, dass das gleiche Verhältnis auch für die größte Hausform gilt, die aus dem ursprünglichen Dreieck besteht, da sie nur eine maßstabsgetreue Kopie der kleineren ist.

C = rc2

Kombiniert man diese letzten Identitäten mit der ersten Gleichung, so kann man schreiben

ra2 + rb2 = rc2

Durch r dividieren ergibt das gewünschte Ergebnis 🙂