Schrittweise Lösung :

Polynomwurzelrechner :

1.1 Finde Wurzeln (Nullstellen) von : F(x) = x5-x-1
Polynomial Roots Calculator ist eine Reihe von Methoden, die darauf abzielen, Werte von x zu finden, für die F(x)=0
Rational Roots Test ist eines der oben genannten Werkzeuge. Es findet nur Rationale Wurzeln, d.h. Zahlen x, die als Quotient zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden können
Der Rationale-Wurzel-Satz besagt, dass, wenn ein Polynom für eine rationale Zahl P/Q eine Nullstelle hat, dann ist P ein Faktor der Nachlaufkonstante und Q ein Faktor des Leitkoeffizienten
In diesem Fall ist der Leitkoeffizient 1 und die Nachlaufkonstante ist -1.
Der/die Faktor(en) sind:
des Leitkoeffizienten : 1
der nachlaufenden Konstante : 1
Lassen Sie uns testen ….

Polynomwurzelrechner fand keine rationalen Wurzeln

Gleichung am Ende von Schritt 1 :

 x5 - x - 1 = 0 

Schritt 2 :

Gleichungen der Ordnung 5 oder höher :

2.1 Lösen Sie x5-x-1 = 0
Punkte zu Gleichungen vom fünften oder höheren Grad.
(1) Es gibt keine allgemeine Methode (Formel) zum Lösen von Polynomgleichungen vom fünften oder höheren Grad.
(2) Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat eine Gleichung vom Grad n genau n Lösungen, wenn wir komplexe Zahlen zulassen
(Dies ist der Fall, wenn wir Doppellösungen als 2, Dreifachlösungen als 3 usw. zählen
) (3) Nach dem Abel-Ruffini-Theorem lassen sich die Lösungen nicht immer auf herkömmliche Weise mit einer endlichen Anzahl von Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen, Divisionen oder Wurzelextraktionen darstellen

(4) Wenn F(x) ein Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten ist, dann hat die Gleichung F(X)=0 mindestens eine reelle Lösung.
(5) Mit Methoden wie der Bisektionsmethode können reelle Lösungen mit beliebiger Genauigkeit angenähert werden.

Annäherung einer Wurzel mit der Bisektionsmethode:

Wir verwenden nun die Bisektionsmethode, um eine der Lösungen anzunähern. Die Bisektionsmethode ist ein iteratives Verfahren zur Approximation einer Wurzel (Wurzel ist eine andere Bezeichnung für die Lösung einer Gleichung).
Die Funktion ist F(x) = x5 – x – 1
Bei x= 1,00 ist F(x) gleich -1,00
Bei x= 2,00 ist F(x) gleich 29.00
Intuitiv meinen wir zu Recht, dass, da F(x) auf der einen Seite des Intervalls negativ und auf der anderen Seite positiv ist, irgendwo innerhalb dieses Intervalls F(x) gleich Null ist
Vorgehen:
(1) Finde einen Punkt „Links“, bei dem F(Links) < 0
(2) Finde einen Punkt „Rechts“, bei dem F(Rechts) > 0
(3) Berechne „Mitte“, den mittleren Punkt des Intervalls
(4) Berechne Wert = F(Mitte)
(5) Wenn Wert nahe genug an Null ist, gehe zu Schritt (7)
Else :
Wenn Wert < 0 dann : Links <- Mitte
Wenn Wert > 0 dann : Rechts <- Mitte
(6) Schleife zurück zu Schritt (3)
(7) Fertig!! Die gefundene Annäherung ist Middle
Verfolge die Bewegungen von Middle, um zu verstehen, wie es funktioniert :

 Left Value(Left) Right Value(Right) 1.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 0.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 1.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 1.000000000 -1.000000000 1.500000000 5.093750000 1.000000000 -1.000000000 1.250000000 0.801757812 1.125000000 -0.322967529 1.250000000 0.801757812 1.125000000 -0.322967529 1.187500000 0.173892021 1.156250000 -0.089639038 1.187500000 0.173892021 1.156250000 -0.089639038 1.171875000 0.038197125 1.164062500 -0.026683718 1.171875000 0.038197125 1.164062500 -0.026683718 1.167968750 0.005513586 1.166015625 -0.010645540 1.167968750 0.005513586 1.166992188 -0.002581134 1.167968750 0.005513586 1.166992188 -0.002581134 1.167480469 0.001462432 1.167236328 -0.000560299 1.167480469 0.001462432 1.167236328 -0.000560299 1.167358398 0.000450830 1.167297363 -0.000054794 1.167358398 0.000450830 1.167297363 -0.000054794 1.167327881 0.000198003 1.167297363 -0.000054794 1.167312622 0.000071601 1.167297363 -0.000054794 1.167304993 0.000008403 1.167301178 -0.000023196 1.167304993 0.000008403

Nächste Mitte bringt uns nahe genug an Null:
F( 1.167304039 ) ist 0.000000503
Die gewünschte Näherung der Lösung ist:
x ≓ 1.167304039
Anmerkung, ≓ ist das Näherungszeichen

Eine Lösung wurde gefunden :