Existuje spousta důkazů. Můj oblíbený zní takto. Údajně je to zásluha velmi mladého Alberta Einsteina, ale zdá se, že je to těžko ověřitelné.

Pravoúhlé trojúhelníky mají takovou šikovnou vlastnost, že když je dán pravoúhlý trojúhelník, můžete nakreslit přímku kolmou k přeponě, která prochází pravým úhlem, a tato přímka rozdělí trojúhelník na dvě menší kopie sebe sama. Této přímce se říká výška. Zde je obrázek, jak to funguje. Měli byste se sami přesvědčit, že menší trojúhelníky tvořené výškou jsou skutečně kopiemi velkého trojúhelníku – souvisí to s tím, že úhly trojúhelníku se sčítají do 180 stupňů.

Takže, tady to je. Nejprve se zamysleme nad větou nikoli jako nad vzorcem, ale jako nad tvrzením o geometrii. Věta říká, že pro pravoúhlý trojúhelník se stranami a, b a c (kde přepona je c) je plocha čtverce, jehož strana je c, rovna součtu ploch čtverců, jejichž strany jsou a a b. Zde je ilustrace. Součet ploch modrého a oranžového čtverce je roven ploše fialového čtverce.

Pro důkaz uvažujte libovolný pravoúhlý trojúhelník se stranami a, b, c a pomocí výšky ho rozdělte na malé kopie sebe sama, jak jsme o tom mluvili výše. Možná si budete chtít vzít tužku a nakreslit diagramy, abyste se zde mohli řídit. Budeme uvažovat o plochách malých kopií i velkého trojúhelníku, takže si je pojmenujme. Nechť A je plocha malého trojúhelníku s přeponou a, B je plocha malého trojúhelníku s přeponou b a C je plocha velkého trojúhelníku (samozřejmě s přeponou c). Opět si nakresli obrázek, pokud si to nedokážeš představit v hlavě.

Teď jasně:

Všimněte si, že všechny čtverce mají strany rovné přeponám příslušných trojúhelníků. Přemýšlejme zatím o tvaru domečku vytvořeného podél strany a – tedy o trojúhelníku s plochou A a čtverci s plochou a2. Nechť r je poměr mezi plochou trojúhelníku ve tvaru domečku a plochou čtverce, takže

A = ra2

V závislosti na tom, jak jste trojúhelník nakreslili na začátku, může být r velké nebo malé. Zábavné na tomto důkazu je, že r nám nakonec pomůže, i když nezáleží na tom, jaké je.

Přesuneme pozornost na tvar domu vytvořený podél strany b. Protože trojúhelník s plochou B je nyní přesnou kopií trojúhelníku s plochou A, jen má jinou velikost (pokud jste náhodou nenakreslili rovnoramenný trojúhelník, v tom případě má také stejnou velikost), je poměr ploch tohoto trojúhelníku a jemu odpovídajícího čtverce stejný. To znamená, že protože tento tvar domu je jen zmenšenou kopií prvního tvaru domu, platí stejný vztah:

B = rb2

Nakonec vidíte, že stejný vztah bude platit i pro největší tvar domu, vytvořený z původního trojúhelníku, protože i ten je jen zmenšenou kopií těch menších.

C = rc2

Spojením těchto posledních identit s první rovnicí můžeme napsat

ra2 + rb2 = rc2

Dělením přes r získáme požadovaný výsledek 🙂