Moje děti dostaly od Ježíška k Vánocům hru Yahtzee. Hrajeme ji často po večerech. Když se hodí Yahtzee, moje děti šílí. V tomto příspěvku se budu zabývat pravděpodobností hodu Yahtzee.

Yahtzee je hra, která se hraje s pěti šestistěnnými kostkami. Hráč hází kostkami, zkoumá výsledky a může si ponechat libovolný počet kostek, zbytek si hodí znovu. Po druhém hodu se proces opakuje (v případě potřeby může hráč sebrat kostky, které si ponechal v prvním kole). Po (až) třech hodech jsou kostky ohodnoceny podle různých kategorií. Yahtzee (bodování 50 bodů) je dosaženo získáním všech pěti kostek stejně.

Předpoklady

Předpokládáme, že hráč je chytrý hráč a v každém rozhodovacím bodě se co nejchytřeji rozhodne pro opakovaný hod a podržení kostky.

Pravděpodobnost získání Yahtzee v jednom hodu je snadno spočitatelná. Kostek je pět, takže ať už padne první kostka, je pravděpodobnost 1/6, že na druhé kostce padne stejné číslo. Pokud k tomu dojde, je 1/6 šance, že třetí kostka bude stejná, ditto čtvrtá a pátá.

Takže pravděpodobnost Yahtztee v jednom hodu je 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/1296.

Při třech hodech a držení se však věci trochu komplikují. Počet kostek, kterými házíme v každém tahu, můžeme měnit a v úvahu přichází mnoho možných kombinací. Protože stav kostek na začátku každého hodu nezávisí na tom, jak byly kostky hozeny, je to ideální příležitost k rozvinutí jednoho z mých oblíbených nástrojů, Markovova řetězce (více informací o něm najdete v mých dřívějších příspěvcích o CandyLandu a Žebřících a skluzavkách).

Než se však ponoříme do Markovova řetězce, bude pro nás přínosné prozkoumat různé způsoby, jakými lze házet kombinacemi kostek. Toto cvičení výrazně zjednoduší tvorbu Přechodové matice (v tom mi věřte). Jdeme na to …

2 kostky

To je triviální případ. Existují pouze dva vzory způsobu, jakým lze házet dvěma kostkami. Buď se shodují, nebo ne. Existuje 1/6 pravděpodobnost, že se druhá ze dvou kostek bude shodovat s první, a naopak existuje 5/6 pravděpodobnost, že se shodovat nebude. Pravděpodobnosti samozřejmě musí dávat součet 1 (musí nastat jedna ze dvou událostí).

Jiný způsob, jak se na to podívat, je, že existuje 36 možných kombinací hodu dvěma kostkami. V šesti z těchto kombinací {1,1}, {2,2}, {3,3}, {4,4}, {5,5}, {6,6} jsou čísla stejná a ve 30 z těchto kombinací se kostky liší.

Tyto výsledky jsou graficky znázorněny na obrázku výše. Existuje 6/36 šance, že obě kostky budou stejné, což je znázorněno jako {A,A}, a 30/36 šance, že budou různé, což je znázorněno jako {A,B}

3 kostky

To už je trochu složitější, ale ne moc. Zde existují tři možné varianty výsledku pro tři kostky: Buď jsou všechny stejné, nebo jsou všechny různé, nebo budou dvě s jedním číslem a jedna s jiným. Existuje 216 možných způsobů, jak mohou tři kostky padnout (6 x 6 x 6).

Můžeme snadno vypočítat pravděpodobnost, že budou všechny stejné, jako 1/6 x 1/6 = 1/36 (Druhá kostka se shoduje s první 1krát ze 6 a třetí kostka se shoduje opět 1krát ze 6).

Alternativně si můžeme představit, že z 216 možných způsobů, jak mohou kostky padnout, existuje šest možných způsobů, kdy jsou všechny stejné: {1,1,1}, {2,2,2}, {3,3,3}, {4,4,4}, {5,5,5}, {6,6,6}.

Pravděpodobnost, že jsou všechny různé, lze vypočítat pomocí následující logiky: První kostka může být jakákoli, pak pro druhou kostku existuje pravděpodobnost 5/6, že nebude mít stejné číslo jako první kostka. A nakonec existuje 4/6 pravděpodobnost, že třetí kostka bude jiná než první dvě. Pravděpodobnost, že všechny kostky budou jiné, je tedy 5/6 x 4/6 = 20/36, což lze nezjednodušeně vyjádřit jako 120/216. Existuje 120 možných kombinací z 216 možných výsledků, kdy jsou všechny tři kostky různé {A,B,C}.

Protože víme, že součet všech pravděpodobností pro způsob hodu třemi kostkami musí dávat 1,0, můžeme odvodit, že pravděpodobnost, že dvě z kostek budou stejné {A,A,B}, je 90/216 (což je 1 – 6/216 – 120/216).

(Pokud se o tom chcete přesvědčit, přemýšlejte o tom takto: To je 6 x 5 x 3 = 90 kombinací z 216.)

4 kostky

Tady už to začíná být trochu složitější. Mohou být všechny stejné, všechny různé, tři stejné, dva losy po dvou párech nebo pár se dvěma různými singletony.

Existuje 1296 způsobů, jak lze uspořádat čtyři kostky (6 x 6 x 6 x 6). Výsledky jsou uvedeny níže:

Tady musíme být obzvlášť opatrní, protože nechceme počítat dvakrát. Při počítání dvou partií po dvou dvojicích si musíme dát pozor, abychom nechtěně nezapočítali {5,5,5,5} jako dvě sady po dvou pětkách a neumístili je do kbelíku {A,A,B,B}, protože ve skutečnosti jsou to čtyři dvojice a musí být v kbelíku {A,A,A,A}. Pokud budeme počítat dvakrát, pravděpodobnost bude větší než 1,0!!!

Vypracování výše uvedené tabulky lze provést různými způsoby. Ti z vás, kteří studovali matematiku na univerzitě, možná sáhnou po binomickém rozkladu pro výpočet permutací. Případně, jak jsme o tom mluvili na stránce o analýze rizik, je počet kombinací tak malý (pouhých 1296), že byste mohli chtít jednoduše všechny kombinace hrubě vynutit v kódu a spočítat je.

Je to vlastně dobré mentální cvičení, když si odvození těchto čísel zpracujete, abyste se přesvědčili, že čísla jsou správná. Například {A,A,A,A} je 1/6 x 1/6 x 1/6 pro pravděpodobnost, že se druhá, třetí a čtvrtá kostka shodují s první. (Alternativní úvaha je, že existuje pouze šest možností, jak získat čtyři stejná čísla = 6/1296).

Pro tři stejná čísla {A,A,A,B} existuje šest možných čísel, která mohou být A, a pět možných čísel, která mohou být B, a čtyři umístění kostky B, což je 6 x 5 x 4 kombinace = 120/1296.

Pro všechny kostky, které mají být různé {A,B,C,D}, existuje 5/6 šance, že druhá kostka je jiná než první, a 4/6, že třetí je jedinečná, a 3/6 šance, že čtvrtá je. 5/6 x 4/6 x 3/6 = 60/216 = 360/1296.

Zajímavá poznámka – Na okraj zde uvádíme, že při hodu čtyřmi kostkami je nejpravděpodobnější výsledek ten, že vám padne dvojice, a tam je větší než 72. V tomto případě je pravděpodobnost, že padne dvojice kostek, větší než 72.2% šance, že dostanete alespoň pár (720+90+120+6)/1296

5 kostek

Teď už začíná být trochu rušno! Pro pět kostek existuje 7776 možných kombinací. Výsledky jsou uvedeny níže. V zájmu stručnosti je zde nebudu všechny odvozovat (možná v některém z příštích příspěvků na blogu) a jednoduše ukážu výsledky, abychom se mohli vrátit k Markovovu řetězci.

Zajímavá poznámka – pravděpodobnost, že při jednom hodu padne FullHouse, je 300/7776 srovnejte se čtyřkou jen 150/7776. Podle našich pravidel získává fullhouse 25 bodů a (nanejvýš) čtyřka může získat 30 bodů (všechny šestky – bez bonusu Yahtzee), takže fullhouse je snadný bodový zisk, je dvakrát snadnější než získání jako čtyřka!“

Zajímavá poznámka – S pěti kostkami je 7056/7776 šance, že vám při prvním hodu padne pár nebo lepší (90.7 %)

Zpět k Markovovi

Pro provedení naší Markovovy analýzy musíme vytvořit přechodovou matici, která definuje pravděpodobnost přechodu mezi jednotlivými stavy.

Jako stavy zvolím počet shodných kostek v sadě, takže máme 5 stavů: 1,2,3,4,5 (Zde by se „1“ odpovídající kostka dala také popsat jako singleton). Výsledkem je matice o 25 prvcích.

	Naše matice bude mít charakter horního trojúhelníku (předpokládali jsme tedy chytrého hráče, pokud padne trojice stejných kostek, nebudeme hráči navrhovat, aby část z nich hodil znovu, aby se dostal k Yahtzee!) Přechodová matice zobrazí pravděpodobnosti přechodu z libovolného stavu buď do stejného, nebo vyššího stavu. Tady je přechodová matice. Každé místo obsahující znak „?“ musíme vyplnit pravděpodobností přechodu ze stavu reprezentovaného číslem sloupce do stavu reprezentovaného číslem řádku. (Všechna ostatní místa mají nulovou pravděpodobnost). Tady máme …
	Prvních několik položek vyplníme snadno. Pravděpodobnost přechodu ze stavu 5 do stavu 5 je 1,0 Jakmile dosáhneme Yahtzee, necháme si ho a nebudeme házet dalšími kostkami, takže je 100% jistota, že v tomto stavu zůstaneme!!! Pokud máme aktuálně 4 shodné kostky, je 1/6 pravděpodobnost, že hodíme správné číslo, aby to bylo 5, a odpovídajícím způsobem 5/6, že zůstaneme ve stavu 4. To znamená, že pravděpodobnost, že se dostaneme do stavu 5, je 1/6. Stochastický charakter přechodové matice je zachován, protože řádek této matice dává součet 1,0 (Něco se musí stát a bude to jedna z těchto změn stavu).
	Pro stav 3 máme dvě kostky k přehození, což dává 36 možných kombinací. (Vzpomeňte si zpět na výše uvedenou část o kombinatorice). Existuje pravděpodobnost 1/36, že obě kostky budou odpovídat aktuální trojici a vytvoří tak Yahtzee, a tato pravděpodobnost je umístěna v řádku 3 a sloupci 5. V tomto případě je pravděpodobnost 1/36, že obě kostky budou odpovídat aktuální trojici a vytvoří tak Yahtzee. Existuje 25/36 šance, že hráč bude mít na konci dalšího hodu stále trojici (5/6 šance, že se netrefí s první kostkou, vynásobeno 5/6 šancí, že se netrefí s druhou kostkou). Nakonec existuje 10/36 šance, že získá jedno další číslo a vytvoří čtveřici. To je 1/6 x 5/6 a lze toho dosáhnout dvěma různými způsoby (buď se shoduje první kostka, nebo druhá).
	Teď už to začíná být trochu složitější, takže zpomalíme. Přechod ze stavu 2 do stavu 5 vyžaduje, aby všechny tři znovu hozené kostky odpovídaly aktuální dvojici. K tomu dochází s pravděpodobností 1/216 (což je 1/6 x 1/6 x 1/6). Podobně přechod z ničemu neodpovídajícího stavu (stav 1) do stavu 5 je ekvivalentní hodu Yahtzee na jeden zátah (protože všechny kostky jsou přehozeny). To je 1/1296, počítáno jako (1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6).
	Můžeme doplnit další dva koeficienty. Pokud máte smůlu a nemáte nic shodného (stav 1) a házíte znovu všemi kostkami, pravděpodobnost, že se vám opět nic neshoduje, je 120/1296 (To je 5/6 šance, že se neshoduje druhá kostka, dále 4/6 u třetí a 3/6 u čtvrté a 2/6 u páté). Šance, že při jednom hodu padnou čtyři stejné kostky, je 25/1296 (Což je 150/7776. Vzpomeňte si zpět na kapitolu Kombinatorika? Počítá se to tak, že čtyři kostky jsou stejné: 1/6 x 1/6 x 1/6, přičemž poslední kostka neodpovídá 5/6, a existuje pět možných způsobů, jak to může vzniknout s pěti možnými umístěními pro B v množině {A,A,A,A,A,B}. Pokud to není jasně zřejmé, pravděpodobnosti v horním řádku (změna z nic nevyhovujícího na libovolný jiný stav), jsou pravděpodobnosti pro výsledek prvního hodu.
	Pravděpodobnost získání tří stejných kostek v jednom hodu je 250/1296. To je trochu náročnější na výpočet a musíme být opatrní. Vyskytuje se v jednom ze dvou vzorů {A,A,A,B,B} a {A,A,A,B,C}. S odkazem na výše uvedenou část o kombinatorice (pamatujete, říkal jsem, že to bude užitečné?) vidíme, že {A,A,A,B,B} se vyskytuje 300/7776krát (full house) a {A,A,A,B,C}. (trojice) se vyskytuje 1200/7776. Když je sečteme (pravděpodobnostní způsob vyjádření OR), dostaneme 1500/7776, což se redukuje na 250/1296. Pro doplnění posledního prvku v této řadě (získání páru) musíme být opět opatrní. V úvahu přicházejí dvě množiny: {A,A,B,C,D} a {A,A,B,B,C}. (Jedna dvojice a dvě dvojice). Protože se chystáme na Yahtzee, házíme jedním z dvojic spolu s jedničkou. Pravděpodobnost získání dvojice je 1800/7776 + 3600/7776 = 5400/7776 neboli 900/1296). Úlevné je také vědět, že všechny pravděpodobnosti v této řadě dávají dohromady 1,0 (120/1296 + 900/1296 + 250/1296 + 25/1296 +1/1296).
	Přechod z dvojice (stav 2) na čtveřici (stav 4) má pravděpodobnost 15/216. V tomto případě je pravděpodobnost 15/216. Existuje šance 1/6, že se jedna z kostek shoduje, pak další šance 1/6, že se shoduje další kostka, vynásobená šancí 5/6, že se poslední kostka neshoduje. Existují tři možnosti, která z 5/6 kostek je, takže výsledná pravděpodobnost = 3 x 1/6 x 1/6 x 5/6 = 15/216.
	Teď poslední dvě záludnosti. Když jsem si trochu četl na internetu, zdá se, že právě tady lidé ve svých výpočtech chybují. Komplikace vzniká proto, že při přehazování tří kostek můžete chtít „skočit na špek“ tomu, na co míříte. Pokud jste například při prvním hodu hodili dvojici, dvojici si ponechali a znovu hodili třemi kostkami a všechny tyto tři kostky vyšly stejně (ale ne stejně jako dvojice, jinak by to bylo Yahtzee!), pak byste při dalším hodu chtěli ponechat trojku a znovu hodit dvojici. Tato jemnost modifikuje pravděpodobnosti. Pracujme s tím – Ponechali jsme si dvojici a znovu hodili třemi kostkami. Připomeňme si z naší kombinatoriky tří kostek, že tři kostky padnou všechny stejně s pravděpodobností 1/6 x 1/6 = 1/36 = 6/216, ale v jednom z těchto případů bude toto hozené číslo stejné jako dvojice (což způsobí Yahtzee), takže tento případ musíme odečíst. Šance na přeměnu z dvojky na trojku je tedy 6/216 – 1/216 = 5/216.

Pro doplnění koeficientu přechodu z dvojice (stav 2) do setrvání v dvojici (stav 2) potřebujeme základní pravděpodobnost, která je jednoduše 5/6 x 5/6 x 5/6 (všechny tři kostky se netrefí do dvojice), a od ní musíme odečíst pravděpodobnost, že všechny tyto tři kostky jsou stejné a netvoří Yahtzee (5/216), takže konečný výsledek pro tento prvek = 125/216 – 5/216 = 120/216.

Podobně platí obrácený postup tohoto triku pro pravděpodobnost přechodu ze stavu dvojice 2 do stavu trojky. Zde je základní pravděpodobnost přechodu ze stavu 2 do stavu 3 75/216 (hází se třemi kostkami, přičemž šance na shodu je 1/6, pak dvě 5/6 šance na chybu a existují tři kombinace způsobů, jak toho lze dosáhnout, což je 3 x 1/6 x 5/6 x 5/6). K této základní pravděpodobnosti 75/216 musíme přičíst šanci 5/216 z výše uvedeného, že jsme se touto alternativní cestou dostali ke třem shodám.

Konečný prvek potřebný k dokončení naší matice přechodu ze stavu 2 do stavu 3 je tedy 75/216 + 5/216 = 80/216.

Je také úlevné spočítat, že pravděpodobnosti v této řadě jsou celkem 1,0! (120/216 + 80/216 + 15/216 + 1/216). To nám pomůže potvrdit správnost našich výpočtů.

Naše přechodová matice je nyní kompletní!

Matrix Multiplication

Nyní zadáme identický sloupcový vektor a vynásobíme jej přechodovou maticí. Výsledný výstupní řádkový vektor ukazuje pravděpodobnosti distrubuce stavů, ve kterých by se kostka mohla nacházet. Nyní můžeme vzít tento výstup a znovu jej použít jako vstup a tentokrát je výstupem superpozice pravděpodobností pro kostky na konci druhého hodu. Abychom získali pravděpodobnost získání Yahtzee při třech hodech (nebo před nimi), násobíme naposledy a v konečném výstupním vektoru přečteme výsledek prvního prvku (stav 5):

(Od této chvíle přecházím při reprezentaci pravděpodobností na desetinná čísla/procenta, protože příslušné zlomky jsou příliš nešikovné na zadávání a čtení).

Výsledky

Pravděpodobnost, že vám padne Yahtzee, je 4,6029 %

Pěkné grafy

Pokud vám nepadl hod Yahtzee, co se stane, když hodíte znovu? (Jak to občas zkoušejí moje děti!) A znovu? A znovu? …

Níže je graf, který ukazuje procentuální šanci na získání Yahtzee v n-ti hodech. Na ose x je počet hodů a osa y ukazuje procentuální šanci.

Křivka asymptotuje ke 100 % a při hodu č. 10 překračuje 50 %. Abyste měli 95% jistotu, že hodíte Yahtzee, potřebujete 23 hodů.

Singleton Pár Tři stejného druhu Čtyři stejného druhu Yahtzee Hod 1 9. Jaký je výsledek?259% 69,444% 19,290% 1,929% 0,077% Roll 2 0,857% 45,010% 40.902% 11,967% 1,263% Roll 3 0,079% 25.601% 45,240% 24,476% 4,603% Roll 4 0.007% 14.278% 40.914% 34.743% 10.058% Roll 5 0,001% 7,937% 33,702% 41,309% 17.051% Roll 6 0,000% 4,410% 26,344% 44.337% 24,908% Roll 7 0,000% 2,450% 19.928% 44,572% 33,050% Roll 8 0,000% 1.361% 14,746% 42,849% 41,044% Roll 9 0,000% 0.756% 10,745% 39,898% 48,601% Roll 10 0.000% 0,420% 7,742% 36,286% 55,553% Roll 11 0.000% 0.233% 5.532% 32.418% 61.817% Roll 12 0,000% 0,130% 3,928% 28,567% 67.375% Roll 13 0,000% 0,072% 2,776% 24.906% 72,246% Kolotoč 14 0,000% 0,040% 1.954% 21,531% 76,474% Roll 15 0,000% 0.022% 1,372% 18,488% 80,117% Roll 16 0.000% 0.012% 0.961% 15.790% 83.237% Roll 17 0,000% 0,007% 0,672% 13,426% 85.895% Roll 18 0,000% 0,004% 0,469% 11.375% 88,152% Roll 19 0,000% 0,002% 0.327% 9,610% 90,061% Roll 20 0,000% 0.001% 0,228% 8,099% 91,671% Roll 21 0.000% 0.001% 0.159% 6.813% 93.028% Roll 22 0,000% 0,000% 0,111% 5,722% 94.168% Roll 23 0,000% 0,000% 0,077% 4.799% 95,124% Roll 24 0,000% 0,000% 0,053% 4.020% 95,926% Roll 25 0,000% 0,000% 0.037% 3,365% 96,598%

Často vám chybí pokus o Yahtzee. Jaké je rozdělení pravděpodobností? Jaká je pravděpodobnost, že při střelbě na Yahtzee skončíte se čtyřkou? Tuto informaci snadno získáte odečtením hodnoty z výstupního vektoru Markovova řetězce pro stav 4. (Pravděpodobnost, že při třech hodech skončíte se čtyřkou, je 24,476 % a s trojkou 45,240 %). Tabulka vlevo ukazuje procentuální rozdělení pro prvních 25 hodů. Níže jsou tytéž údaje prezentovány v grafické podobě. Všimněte si, že po 9 hodech se Yahtzee stává nejpravděpodobnější událostí a šance, že skončí s párem nebo Singletonem, rapidně klesá na šum.