Představte si válku na deseti bojištích. Vy a váš protivník máte každý 200 vojáků a vaším cílem je vyhrát co nejvíce bitev. Jak byste rozmístili své vojáky? Pokud byste je rozdělili rovnoměrně a na každé bojiště jich poslali 20, váš soupeř by mohl soustředit své vlastní jednotky a snadno vyhrát většinu bojů. Sami byste se mohli pokusit převálcovat několik míst, ale nemáte záruku, že vyhrajete, a zbylá bojiště necháte špatně bránit. Vymyslet vítěznou strategii není snadné, ale dokud ani jedna strana nezná předem plán té druhé, je to férový boj.

Teď si představ, že tvůj soupeř má moc rozmístit tvoje vojska stejně jako svá vlastní. I když získáte více vojáků, nemůžete vyhrát.

V politické válce tato moc nasadit síly pochází z gerrymanderingu, odvěké praxe manipulace s volebními obvody za účelem stranického prospěchu. Určováním toho, kdo kde hlasuje, mohou politici vychýlit šance ve svůj prospěch a porazit své protivníky ještě před začátkem bitvy.

V roce 1986 Nejvyšší soud rozhodl, že extrémní stranické gerrymandery jsou protiústavní. Bez spolehlivého testu pro identifikaci nespravedlivých map volebních obvodů však soud zatím žádné nezavrhl. Nyní, když nejvyšší soud v zemi vyslechne argumenty pro a proti právnímu napadení mapy obvodů státního zastupitelstva Wisconsinu, stojí matematici v první linii boje za volební spravedlnost.

Jednoduchá matematika může pomoci intrikánským politikům sestavit obvody, které jejich straně poskytují nadměrný vliv, ale matematika může také pomoci tyto situace identifikovat a napravit. Letos v létě se na Tuftsově univerzitě sešla skupina Metric Geometry and Gerrymandering Group vedená matematikem Moonem Duchinem, aby částečně diskutovala o nových matematických nástrojích pro analýzu a řešení gerrymanderingu. „Mezera v efektivitě“ je jednoduchá myšlenka, která je základem některých nástrojů zvažovaných Nejvyšším soudem. Prozkoumejme tento koncept a některé jeho důsledky.

Začněme tím, že si představíme stát s 200 voliči, z nichž 100 je loajálních ke straně A a 100 ke straně B. Předpokládejme, že stát potřebuje zvolit čtyři zástupce, a proto musí vytvořit čtyři stejně velké volební obvody.

Představte si, že máte pravomoc přiřadit voliče do libovolného obvodu. Pokud dáváte přednost straně A, můžete 100 voličů A a 100 voličů B rozdělit do čtyř obvodů takto:

.

.

S takto konstruovanými okresy, strana A vyhraje troje ze čtyř voleb. Pokud ovšem dáváte přednost straně B, můžete voliče rozdělit tímto způsobem:

Tady, jsou výsledky obrácené a strana B zvítězí ve třech ze čtyř voleb.

Všimněte si, že v obou scénářích hlasuje stejný počet voličů se stejnými preferencemi ve stejném počtu voleb. Pouhá změna rozložení voličů mezi obvody dramaticky mění výsledky. Schopnost určovat volební obvody propůjčuje velkou moc a k vytvoření volební výhody stačí věnovat pozornost několika jednoduchým matematickým úkonům.

Co kdybyste místo vytváření výhody pro jednu stranu oproti druhé chtěli využít svou moc k vytvoření spravedlivých obvodů? Nejprve byste museli určit, co znamená „spravedlivý“, a to může být složité, protože vítězové a poražení mají na spravedlnost často odlišný pohled. Pokud však začneme s určitými předpoklady o tom, co „spravedlivý“ znamená, můžeme se pokusit kvantifikovat spravedlnost různých rozdělení voličů. O těchto předpokladech a jejich důsledcích se můžeme přít, ale přijetím matematického modelu se můžeme pokusit porovnat různé scénáře. Jedním z přístupů ke kvantifikaci spravedlnosti volebního rozdělení je mezera efektivity.

Chceme-li pochopit mezeru efektivity, můžeme začít pozorováním, že v řadě souvisejících voleb nemají všechny hlasy stejný dopad. Některé hlasy mohou mít velký význam a některé hlasy mohou být považovány za „promarněné“. Rozdíl v počtu promarněných hlasů představuje mezeru v efektivitě: Ukazuje, jak rovnoměrně nebo nerovnoměrně jsou promarněné hlasy rozděleny mezi soupeřící strany.

Co se tedy považuje za promarněný hlas? Vezměme si roli Kalifornie v prezidentských volbách. Od roku 1992 Kalifornie vždy podporovala demokratického kandidáta na prezidenta. Kalifornští republikáni tedy vědí, že téměř jistě podporují poraženého kandidáta. V jistém smyslu je jejich hlas promarněný: kdyby mohli hlasovat ve státě, kde se rozhoduje o vítězi, jako je Florida, jejich hlas by mohl mít větší význam. Z pohledu republikánů by to bylo efektivnější využití jejich hlasu.

Jak se ukazuje, demokratičtí voliči v Kalifornii mohou podobně argumentovat tím, že jejich hlas je promarněný. Vzhledem k tomu, že demokratický kandidát v Kalifornii pravděpodobně s přehledem zvítězí, je mnoho jejich hlasů v jistém smyslu také promarněných: Ať už kandidát vyhraje v Kalifornii s 51 procenty hlasů nebo s 67 procenty hlasů, výsledek je stejný. Tyto dodatečné vítězné hlasy jsou bezvýznamné.

V kontextu rozdílu v efektivitě tedy existují dva druhy promarněných hlasů: hlasy pro poraženého kandidáta a hlasy pro vítězného kandidáta, které jdou nad rámec toho, co je nezbytné pro vítězství (pro zjednodušení bereme za hranici vítězství 50 procent, i když technicky by to mohlo vést k remíze; skutečná remíza je při statisících voličů v každém kongresovém obvodu více než nepravděpodobná). Ve volbách ve více obvodech bude mít každá strana pravděpodobně promarněné hlasy každého druhu. Rozdíl v efektivitě je rozdíl v součtech promarněných hlasů pro každou stranu, vyjádřený jako procento z celkového počtu odevzdaných hlasů. (Pokud je to možné, odečteme menší číslo od většího, abychom zajistili nezápornou mezeru efektivity. Mohli bychom také vzít absolutní hodnotu rozdílu.“

Vraťme se k našim scénářům pro čtyři obvody a prozkoumejme jejich mezery efektivity. Naše první rozdělení vypadalo takto.

V tomto případě, 75 hlasů B je zbytečných: 60 ve ztrátových příčinách a o 15 více než 25 potřebných k vítězství v okrsku 4. Pouze 25 hlasů strany A je promarněno: 5 hlasů navíc při každém vítězství a 10 hlasů při prohře. Hrubý rozdíl promarněných hlasů je 75 – 25 = 50, takže rozdíl v efektivitě je zde 50/200 = 25 %. Říkáme, že 25procentní rozdíl v efektivitě je zde ve prospěch strany A, protože strana B měla větší počet promarněných hlasů. Ve druhém scénáři, kde jsou čísla obrácená, je nyní 25procentní mezera efektivity ve prospěch strany B.

Může nám mezera efektivity poskytnout představu o spravedlnosti rozdělení? Nuže, pokud byste měli moc vytvářet volební obvody a chtěli byste zkonstruovat vítězství pro svou stranu, vaší strategií by bylo minimalizovat promarněné hlasy pro vaši stranu a maximalizovat promarněné hlasy pro vašeho soupeře. Za tímto účelem se používá technika barvitě známá jako „packing and cracking“: Hlasy opozice se shromáždí v malém počtu postoupených okrsků a zbývající blok hlasů se rozbije a rozprostře po zbytku okrsků, aby se minimalizoval jejich dopad. Tento postup přirozeně vytváří velké mezery v efektivitě, takže bychom mohli očekávat, že spravedlivější rozdělení bude mít mezery menší.

Podívejme se na mezery v efektivitě hlouběji tak, že si představíme náš stát s 200 voliči, který je nyní rozdělen na 10 stejných obvodů. Uvažujme následující rozdělení voličů, v němž strana A zvítězí v 9 z 10 obvodů.

..

Na povrchu, to nevypadá jako spravedlivé rozdělení voličů. Co říká rozdíl v efektivitě?“

V tomto scénáři jsou téměř všechny hlasy strany B promarněny: devět ztracených hlasů v každém z devíti okrsků plus devět nadbytečných hlasů v jednom vítězství, celkem tedy 90 promarněných hlasů. Voliči strany A jsou mnohem efektivnější: celkem je promarněno pouze 10 hlasů. Rozdíl 90 – 10 = 80 promarněných hlasů a rozdíl v efektivitě 80/200 = 40 % vyznívá ve prospěch strany A.

Srovnejte to s následujícím rozložením, kde strana A zvítězila v 7 z 10 okrsků.

.

Tady, je počet promarněných hlasů 70 pro stranu B a 30 pro stranu A, což vytváří rozdíl v efektivitě 40/200 = 20 %. Zdánlivě spravedlivější rozdělení vede k menší mezeře efektivnosti.

Na závěr uvažujme toto rovnoměrné rozdělení okresních voleb.

Sama symetrie naznačuje odpověď, a výpočty ji potvrzují: 50 promarněných hlasů pro každou stranu znamená 0 % rozdíl v efektivitě. Všimněte si, že 0procentní mezera efektivity zde odpovídá nezávislému pojmu spravedlnosti: Konkrétně při rovnoměrném rozdělení voličů v celém státě mezi obě strany se zdá rozumné, aby každá strana vyhrála polovinu voleb.

Tyto elementární příklady ukazují užitečnost mezery efektivity jako měřítka volební spravedlnosti. Je snadno pochopitelná a vypočitatelná, je transparentní a její interpretace je v souladu s jinými pojetími spravedlnosti. Je to jednoduchá myšlenka, která se však používá různými složitými způsoby při studiu gerrymanderingu. Matematici například nyní pomocí simulací zvažují miliony teoretických volebních map pro daný stát a následně zkoumají rozložení všech možných rozdílů v efektivitě. To nejenže vytváří kontext pro hodnocení spravedlnosti současné mapy ve srovnání s jinými možnostmi, ale lze to potenciálně využít i k navržení spravedlivějších alternativ.

Ačkoli voliči nejsou ve skutečnosti přiřazováni do obvodů způsobem, který jsme si představili v našich příkladech, praxe gerrymanderingu dosahuje podobných výsledků. Strategickým překreslováním hranic volebních obvodů mohou gerrymanderi upravit rozložení hlasů tak, aby vytvořili nerovné volební podmínky. Tyto nespravedlivé boje ovlivňují způsob, jakým se nám vládne, a pomáhají většinovým stranám, aby byly zvoleny znovu a znovu. Případ projednávaný Nejvyšším soudem se týká jen jedné z mnoha potenciálně nespravedlivých map. Objektivní matematické nástroje, jako je rozdíl v efektivitě, mohou být jediným způsobem, jak vymýtit gerrymandering a udržet naše politická bojiště v rovnováze.

Stáhněte si pracovní list „Doing the Political Math“ ve formátu PDF k procvičení těchto pojmů nebo ke sdílení se studenty.