Řešení krok za krokem :

Kalkulátor kořenů polynomů :

1.1 Nalezení kořenů (nul) : F(x) = x5-x-1
Kalkulátor kořenů polynomů je soubor metod zaměřených na nalezení hodnot x, pro které je F(x)=0
Test racionálních kořenů je jedním z výše uvedených nástrojů. Nalezl by pouze racionální kořeny, což jsou čísla x, která lze vyjádřit jako kvocient dvou celých čísel
Věta o racionálních kořenech říká, že pokud je polynom nulový pro racionální číslo P/Q, pak P je činitelem koncové konstanty a Q je činitelem vedoucího koeficientu
V tomto případě je vedoucí koeficient 1 a koncová konstanta je -1.
Činitel(é) jsou:
z vedoucího koeficientu : 1
z koncové konstanty : 1
Testujeme …..

.

Kalkulátor kořenů polynomií nenašel žádné racionální kořeny

Rovnice na konci kroku 1 :

 x5 - x - 1 = 0 

Krok 2 :

Rovnice 5. nebo vyššího řádu :

2. krok.1 Řešte x5-x-1 = 0
Body týkající se rovnic stupně pět nebo vyššího.
(1) Neexistuje žádná obecná metoda (vzorec) pro řešení polynomiálních rovnic stupně pět a vyššího.
(2) Podle Základní věty algebry, pokud připustíme komplexní čísla, bude mít rovnice stupně n přesně n řešení
(To platí, pokud počítáme dvojnásobné řešení jako 2 , trojnásobné řešení jako 3 a tak dále
). (3) Podle Abelovy-Ruffiniho věty nelze řešení vždy prezentovat konvenčním způsobem s použitím pouze konečného množství sčítání, odčítání, násobení, dělení nebo vytahování kořenů

(4) Je-li F(x) polynom lichého stupně s reálnými koeficienty, pak rovnice F(X)=0 má alespoň jedno reálné řešení.
(5) Pomocí metod, jako je Bisekční metoda, lze reálná řešení aproximovat s libovolným stupněm přesnosti.

Aproximace kořene pomocí Bisekční metody :

Pomocí Bisekční metody nyní aproximujeme jedno z řešení. Metoda bisekce je iterační postup pro aproximaci kořene (Kořen je jiný název pro řešení rovnice).
Funkce je F(x) = x5 – x – 1
Při x= 1.00 je F(x) rovno -1.00
Při x= 2.00 je F(x) rovno 29.00
Intuitivně cítíme, a to oprávněně, že jelikož F(x) je na jedné straně intervalu záporné a na druhé straně kladné, pak někde uvnitř tohoto intervalu je F(x) rovno nule
Postup :
(1) Najděte bod „vlevo“, kde F(vlevo) < 0
(2) Najděte bod „vpravo“, kde F(vpravo) > 0
(3) Vypočítejte „střed“ prostřední bod intervalu
(4) Vypočítejte hodnotu = F(střed)
(5) Je-li hodnota dostatečně blízko nule, přejděte na krok (7)
Else :
Pokud Hodnota < 0 pak : Levá <- Střed
Pokud Hodnota > 0 pak : Pravá <- Střed
(6) Smyčka zpět na Krok (3)
(7) Hotovo!! Nalezená aproximace je Middle
Sledujte pohyby Middle, abyste pochopili, jak to funguje :

 Left Value(Left) Right Value(Right) 1.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 0.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 1.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 1.000000000 -1.000000000 1.500000000 5.093750000 1.000000000 -1.000000000 1.250000000 0.801757812 1.125000000 -0.322967529 1.250000000 0.801757812 1.125000000 -0.322967529 1.187500000 0.173892021 1.156250000 -0.089639038 1.187500000 0.173892021 1.156250000 -0.089639038 1.171875000 0.038197125 1.164062500 -0.026683718 1.171875000 0.038197125 1.164062500 -0.026683718 1.167968750 0.005513586 1.166015625 -0.010645540 1.167968750 0.005513586 1.166992188 -0.002581134 1.167968750 0.005513586 1.166992188 -0.002581134 1.167480469 0.001462432 1.167236328 -0.000560299 1.167480469 0.001462432 1.167236328 -0.000560299 1.167358398 0.000450830 1.167297363 -0.000054794 1.167358398 0.000450830 1.167297363 -0.000054794 1.167327881 0.000198003 1.167297363 -0.000054794 1.167312622 0.000071601 1.167297363 -0.000054794 1.167304993 0.000008403 1.167301178 -0.000023196 1.167304993 0.000008403

Další Middle nás dostane dostatečně blízko k nule:
F( 1,167304039 ) je 0,000000503
Žádoucí aproximace řešení je:
x ≓ 1,167304039
Poznamenejme, že ≓ je aproximační symbol

Jedno řešení bylo nalezeno :

.