Steg för steg lösning :

Polynomialrotsräknare :

1.1 Hitta rötter (nollor) till : F(x) = x5-x-1
Polynomial Roots Calculator är en uppsättning metoder som syftar till att hitta värden på x för vilka F(x)=0
Rational Roots Test är ett av ovanstående verktyg. Det skulle bara hitta Rationella rötter som är tal x som kan uttryckas som en kvot av två heltal
The Rational Root Theorem säger att om ett polynom är noll för ett rationellt tal P/Q så är P en faktor av den efterföljande konstanten och Q är en faktor av den ledande koefficienten
I det här fallet är den ledande koefficienten 1 och den efterföljande konstanten är -1.
Faktorn/faktorerna är:
av den ledande koefficienten: 1
av den efterföljande konstanten: 1
Låt oss testa ….

.

Polynomial Roots Calculator hittade inga rationella rötter

Ekvation i slutet av steg 1 :

 x5 - x - 1 = 0 

Steg 2 :

Ekvationer av ordning 5 eller högre :

2.1 Lös x5-x-1 = 0
Punkter avseende ekvationer av grad fem eller högre.
(1) Det finns ingen allmän metod (formel) för att lösa polynomiella ekvationer av grad fem eller högre.
(2) Enligt algebrans grundläggande sats, om vi tillåter komplexa tal, kommer en ekvation av grad n att ha exakt n lösningar
(Detta är om vi räknar dubbla lösningar som 2 , tredubbla lösningar som 3 och så vidare
). (3) Enligt Abel-Ruffini-satsen kan lösningarna inte alltid presenteras på det konventionella sättet med hjälp av endast en ändlig mängd additioner, subtraktioner, multiplikationer, divisioner eller rotutdragningar

(4) Om F(x) är ett polynom av udda grad med reella koefficienter, så har ekvationen F(X)=0 minst en reell lösning.
(5) Med hjälp av metoder som bisektionsmetoden kan verkliga lösningar approximeras med önskad noggrannhet.

Annalkning av en rot med hjälp av bisektionsmetoden :

Vi använder nu bisektionsmetoden för att approximera en av lösningarna. Bisectionmetoden är ett iterativt förfarande för att approximera en rot (Rot är ett annat namn för en lösning av en ekvation).
Funktionen är F(x) = x5 – x – x – 1
Vid x= 1,00 är F(x) lika med -1,00
Vid x= 2,00 är F(x) lika med 29.00
Intuitivt anser vi, och med rätta, att eftersom F(x) är negativ på ena sidan av intervallet och positiv på den andra sidan så är F(x) noll någonstans inom detta intervall
Förfarande :
(1) Hitta en punkt ”Left” där F(Left) < 0
(2) Hitta en punkt ”Right” där F(Right) > 0
(3) Beräkna ”Middle” den mittersta punkten i intervallet
(4) Beräkna Värde = F(Middle)
(5) Om Värde ligger tillräckligt nära noll, gå till Steg (7)
Else :
Om värde < 0 då : vänster <- mitten
Om värde > 0 då : höger <- mitten
(6) Återgå till steg (3)
(7) Klart!! Den approximation som hittats är Middle
Följ Middle-rörelserna för att förstå hur det fungerar :

 Left Value(Left) Right Value(Right) 1.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 0.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 1.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 1.000000000 -1.000000000 1.500000000 5.093750000 1.000000000 -1.000000000 1.250000000 0.801757812 1.125000000 -0.322967529 1.250000000 0.801757812 1.125000000 -0.322967529 1.187500000 0.173892021 1.156250000 -0.089639038 1.187500000 0.173892021 1.156250000 -0.089639038 1.171875000 0.038197125 1.164062500 -0.026683718 1.171875000 0.038197125 1.164062500 -0.026683718 1.167968750 0.005513586 1.166015625 -0.010645540 1.167968750 0.005513586 1.166992188 -0.002581134 1.167968750 0.005513586 1.166992188 -0.002581134 1.167480469 0.001462432 1.167236328 -0.000560299 1.167480469 0.001462432 1.167236328 -0.000560299 1.167358398 0.000450830 1.167297363 -0.000054794 1.167358398 0.000450830 1.167297363 -0.000054794 1.167327881 0.000198003 1.167297363 -0.000054794 1.167312622 0.000071601 1.167297363 -0.000054794 1.167304993 0.000008403 1.167301178 -0.000023196 1.167304993 0.000008403

Nästa Middle kommer att få oss tillräckligt nära noll:
F( 1.167304039 ) är 0.000000503
Den önskade approximationen av lösningen är:
x ≓ 1.167304039
Note, ≓ är approximationssymbolen

En lösning hittades :