Există o mulțime de demonstrații. Preferata mea este cam așa. Se pare că i se datorează unui Albert Einstein foarte tânăr, dar asta pare a fi greu de verificat.

Trigunghiurile drepte au o proprietate frumoasă prin care, dat fiind un triunghi dreptunghic, poți trasa o linie perpendiculară pe ipotenuză care trece prin unghiul drept, iar acea linie împarte triunghiul în două copii mai mici ale lui însuși. Această linie se numește altitudine. Iată o imagine a modului în care funcționează acest lucru. Ar trebui să fiți capabili să vă convingeți singuri că triunghiurile mai mici formate de altitudine sunt într-adevăr copii ale triunghiului mare – are legătură cu faptul că unghiurile unui triunghi însumează 180 de grade.

Așa că, oricum, iată cum stă treaba. Mai întâi de toate, să ne gândim la teoremă, nu ca la o formulă, ci ca la o afirmație despre geometrie. Teorema spune că, pentru un triunghi dreptunghic cu laturile a, b și c (unde ipotenuza este c), aria pătratului a cărui latură este c este egală cu suma ariilor pătratelor ale căror laturi sunt a și b. Iată o ilustrație. Suma ariilor pătratelor albastru și portocaliu este egală cu aria pătratului purpuriu.

Pentru a demonstra acest lucru, considerați un triunghi dreptunghic arbitrar cu laturile a, b, c și, folosind altitudinea, împărțiți-l în mici copii ale lui însuși, așa cum am discutat mai sus. Este posibil să doriți să luați un pix și să desenați diagrame pentru a urmări aici. Ne vom gândi la ariile micilor copii, precum și la triunghiul mare, așa că haideți să le dăm un nume. Fie A aria triunghiului mic cu ipotenuza a, B aria triunghiului mic cu ipotenuza b, iar C aria triunghiului mare (cu ipotenuza c, bineînțeles). Din nou, faceți o imagine dacă nu puteți vedea acest lucru în minte.

Acum, clar: A + B = C. Țineți minte asta și puneți-o deoparte.

Observați că pătratele au toate laturile egale cu ipotenuza triunghiurilor lor corespunzătoare. Să ne gândim deocamdată la forma de căsuță formată de-a lungul laturii a – adică la triunghiul cu aria A și la pătratul cu aria a2. Fie r raportul dintre aria triunghiului din forma de casă și aria pătratului, astfel încât

A = ra2

În funcție de modul în care ați desenat triunghiul la început, r poate fi mare sau mic. Partea amuzantă a acestei demonstrații este că r sfârșește prin a ne ajuta chiar dacă nu contează ce este.

Să ne mutăm atenția asupra formei de casă formată de-a lungul laturii b. Acum, din moment ce triunghiul cu aria B este o copie exactă a triunghiului cu aria A, dar doar că are o mărime diferită (dacă nu cumva s-a întâmplat să desenați un triunghi isoscel, caz în care și acesta are aceeași mărime), raportul dintre ariile acelui triunghi și ale pătratului corespunzător este același. Adică, din moment ce această formă de casă este doar o copie la scară a primei forme de casă, aceeași relație este valabilă:

B = rb2

În cele din urmă, puteți vedea că aceeași relație va fi valabilă și pentru cea mai mare formă de casă, realizată din triunghiul original, din moment ce aceasta este doar o copie la scară a celor mai mici.

C = rc2

Combinând aceste ultime identități cu prima ecuație, putem scrie

ra2 + rb2 = rc2

Divizând prin r se obține rezultatul dorit 🙂

.