Probabilitatea Yahtzee
|
Moș Crăciun le-a adus copiilor mei jocul Yahtzee de Crăciun. L-am jucat foarte mult seara. Când se rostogolește un Yahtzee, copiii mei se dezlănțuie. În această postare pe blog voi analiza probabilitatea de a arunca un Yahtzee. |
 |
Yahtzee este un joc care se joacă cu cinci zaruri cu șase fețe. Jucătorul aruncă zarurile, examinează rezultatele și poate păstra câte zaruri dorește, reintroducându-le pe cele rămase. După a doua aruncare, procesul se repetă (dacă se dorește, jucătorul poate prelua zarurile păstrate la prima rundă). După (până la) trei aruncări, zarurile sunt punctate în funcție de diverse categorii. Yahtzee (cu un punctaj de 50 de puncte) se obține dacă se obțin toate cele cinci zaruri la fel. |
Imagini
Vom presupune că jucătorul este un jucător inteligent și că la fiecare punct de decizie face cele mai inteligente alegeri posibile de reluare și păstrare a zarurilor.
Probabilitatea de a obține un Yahtzee la o singură aruncare este ușor de calculat. Există cinci zaruri, astfel încât, indiferent ce aruncă primul zar, există o șansă de 1/6 ca al doilea zar să fie același număr. Dacă acest lucru se întâmplă, există o șansă de 1/6 ca al treilea zar să fie același număr, idem la al patrulea și al cincilea.
Așa că probabilitatea de a obține Yahtzee într-o singură aruncare este 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/1296.
Cu trei aruncări și menținerea, totuși, lucrurile devin puțin mai complicate. Numărul de zaruri pe care le aruncăm în fiecare tur poate fi schimbat și există multe combinații posibile de luat în considerare. Deoarece starea zarurilor la începutul fiecărei aruncări este independentă de modul în care au fost aruncate zarurile, aceasta este o ocazie perfectă pentru a derula unul dintre instrumentele mele preferate, Lanțul Markov (pentru mai multe informații despre acesta, consultați postările mele anterioare despre CandyLand, și Chutes and Ladders).
|
Înainte de a aprofunda Lanțul Markov, totuși, ne va fi de folos să examinăm diferitele moduri în care pot fi aruncate combinațiile de zaruri. Acest exercițiu va simplifica foarte mult crearea Matricei de Tranziție (aveți încredere în mine în această privință). Începem … |
 |
2 zaruri |
|
Acesta este cazul trivial. Există doar două modele pentru modul în care pot fi aruncate două zaruri. Fie că se potrivesc, fie că nu se potrivesc. Există o șansă de 1/6 ca al doilea dintre cele două zaruri să se potrivească cu primul și, invers, există o șansă de 5/6 ca acesta să nu se potrivească. Bineînțeles, probabilitățile trebuie să însumeze 1 (unul dintre cele două evenimente trebuie să aibă loc).
O altă modalitate de a privi acest lucru este că există 36 de combinații posibile pentru ca două zaruri să fie aruncate. În șase dintre aceste combinații {1.1}, {1.1}, {2,2}, {3,3}, {4,4}, {5,5}, {6,6} numerele sunt aceleași, iar în 30 dintre aceste combinații, zarurile sunt diferite.
Aceste rezultate sunt prezentate grafic în imaginea de mai sus. Există 6/36 șanse ca ambele zaruri să fie identice, reprezentate ca {A,A}, și 30/36 șanse ca ele să fie diferite, reprezentate ca {A,B}
3 zaruri |
|
Acest lucru devine un pic mai complex, dar nu prea mult. Aici există trei variante posibile de rezultat pentru cele trei zaruri: Fie că sunt toate la fel, fie că sunt toate diferite, fie că vor fi două de un număr și unul de altul. Există 216 moduri posibile în care pot fi aruncate cele trei zaruri (6 x 6 x 6 x 6).
Potem calcula probabilitatea ca toate să fie la fel, cu ușurință, ca 1/6 x 1/6 = 1/36 (Al doilea zar se potrivește cu primul de 1 dată la 6, iar al treilea zar se potrivește, din nou, de 1 dată la 6).
Alternativ, ne putem imagina că, din cele 216 moduri posibile în care ar putea cădea zarurile, există șase moduri posibile atunci când toate sunt la fel: {1,1,1}, {2,2,2}, {3,3,3}, {4,4,4}, {5,5,5}, {6,6,6}.
Probabilitatea ca toate să fie diferite poate fi calculată folosind următoarea logică: Primul zar poate fi orice dorește, atunci pentru al doilea zar există o șansă de 5/6 ca acesta să nu fie același număr cu primul zar. În sfârșit, există o șansă de 4/6 ca al treilea zar să fie diferit de primele două. Așadar, probabilitatea ca toate zarurile să fie diferite este de 5/6 x 4/6 = 20/36, ceea ce poate fi simplificat la 120/216. Există 120 de combinații posibile din cele 216 rezultate posibile în care toate cele trei zaruri sunt diferite {A,B,C}.
Pentru că știm că totalul tuturor probabilităților pentru modul în care se rostogolesc cele trei zaruri trebuie să însumeze 1,0, putem deduce că probabilitatea ca două dintre zaruri să fie la fel {A,A,B} este 90/216 (Care este 1 – 6/216 – 120/216).
(Dacă vreți să vă convingeți de acest lucru, gândiți-vă în felul următor: Există șase valori posibile care ar putea fi A, cinci valori posibile a ceea ce ar putea fi B și trei alegeri posibile ale cărui zar ar putea fi B. Asta înseamnă 6 x 5 x 3 = 90 de combinații din 216).
4 zaruri |
|
Acum lucrurile încep să devină un pic mai complexe. Ele pot fi toate la fel, toate diferite, trei la fel, două loturi de două perechi sau o pereche cu două singlete diferite.
Există 1296 de moduri în care pot fi aranjate patru zaruri (6 x 6 x 6 x 6 x 6). Rezultatele sunt prezentate mai jos:
Trebuie să fim foarte atenți aici, pentru că nu vrem să numărăm de două ori. Atunci când numărăm cele două loturi de două perechi, trebuie să ne asigurăm că nu numărăm din greșeală {5,5,5,5,5} ca două seturi de dublu cinci și să punem acest lucru în găleata {A,A,B,B}, pentru că de fapt este un cvartet și trebuie să fie în găleata {A,A,A,A,A}. Dacă numărăm de două ori, probabilitățile vor deveni mai mari de 1.0!
Derivarea tabelului de mai sus se poate face în mai multe moduri. Cei care au studiat matematica la universitate ar putea ajunge la o expansiune binomială pentru calcularea permutărilor. Alternativ, așa cum am discutat în pagina de analiză a riscurilor, numărul de combinații este atât de mic (doar 1296) încât ați putea dori pur și simplu să forțați brutal toate combinațiile în cod și să le numărați.
Este de fapt un exercițiu mental bun să lucrați la derivarea acestor numere pentru a vă convinge că numerele sunt corecte. De exemplu {A,A,A,A,A,A} este 1/6 x 1/6 x 1/6 pentru șansele ca al doilea, al treilea și al patrulea zar să se potrivească cu primul. (Gândirea alternativă, este că există doar șase moduri de a obține patru de un fel = 6/1296).
Pentru trei de un fel {A,A,A,A,A,B} există șase numere posibile care ar putea fi A, și cinci numere posibile care ar putea fi B, și patru locații pentru zar B, ceea ce înseamnă 6 x 5 x 4 combinații = 120/1296.
Pentru ca toate zarurile să fie diferite {A,B,C,D} există 5/6 șanse ca al doilea zar să fie diferit de primul, și 4/6 șanse ca al treilea să fie unic, și 3/6 șanse ca al patrulea să fie. 5/6 x 4/6 x 3/6 x 3/6 = 60/216 = 360/1296.
Nota interesantă – Ca o paranteză aici, atunci când se aruncă patru zaruri, cel mai probabil rezultat este că veți obține o pereche, și există o probabilitate mai mare de 72.2% șanse să obțineți cel puțin o pereche (720+90+120+6)/1296
5 zaruri |
|
Acum lucrurile încep să se aglomereze puțin! Există 7776 combinații posibile pentru cinci zaruri. Rezultatele sunt prezentate mai jos. Din dorința de a fi scurt, nu le voi deriva pe toate aici (poate într-o viitoare postare pe blog) și voi arăta pur și simplu rezultatele, astfel încât să ne putem întoarce la lanțul Markov.
Nota interesantă – Probabilitatea de a scoate un FullHouse într-o singură aruncare este de 300/7776 cf. Patru de un fel la doar 150/7776. Conform regulilor noastre, un full house marchează 25 de puncte și (cel mult), un patru de un fel poate marca 30 de puncte (toate șaisprezecimile – cu excepția bonusului Yahtzee), astfel încât full house-ul este un câștig ușor de puncte, fiind de două ori mai ușor de obținut decât un patru de un fel!
Nota interesantă – Cu cinci zaruri, există 7056/7776 șanse ca la prima aruncare să obțineți o pereche sau mai bună (90.7%)
Înapoi la Markov
Pentru a efectua analiza noastră Markov, trebuie să creăm o matrice de tranziție care definește probabilitatea de a trece de la o stare la alta.
Ca stări, voi selecta numărul de zaruri potrivite din set, deci avem 5 stări: 1,2,3,3,4,5 (Aici, zarurile potrivite „1” ar putea fi descrise și ca un singleton). Rezultă o matrice de 25 de elemente.
 |
Matricea noastră va fi de natură triunghiulară superioară (am făcut presupunerea unui jucător inteligent, astfel, dacă există o aruncare de trei zaruri identice, nu vom sugera jucătorului să relanseze o parte din acestea pentru a ajunge la un Yahtzee!) Matricea de tranziție va arăta probabilitățile de a trece de la orice stare fie la aceeași stare, fie la una superioară. Iată Matricea de tranziție. Trebuie să populăm fiecare locație care conține un „?” cu probabilitatea de a trece de la starea reprezentată de numărul de coloană la starea reprezentată de numărul de rând. (Toate celelalte locații au probabilitate zero). Începem … |
 |
Primele câteva intrări sunt ușor de completat. Probabilitatea de a trece din starea 5 în starea 5 este 1.0 Odată ce obținem un Yahtzee, îl vom păstra și nu vom mai arunca alte zaruri, deci există o certitudine de 100% că ne vom menține în această stare! Dacă în prezent avem 4 zaruri potrivite, există o șansă de 1/6 să aruncăm numărul corect pentru a ajunge la 5 și, corespunzător, o șansă de 5/6 de a rămâne în starea 4. Natura stocastică a matricei de tranziție este menținută deoarece rândul acestei matrice însumează 1,0 (Ceva trebuie să se întâmple, și va fi una dintre aceste schimbări de stare). |
 |
Pentru starea 3, există două zaruri de aruncat din nou, ceea ce dă 36 de combinații posibile. (Reamintim înapoi la secțiunea de combinatronică de mai sus). Există o șansă de 1/36 ca ambele zaruri să se potrivească cu trioul curent pentru a face un Yahtzee și această probabilitate este plasată în rândul 3 și coloana 5. Există o șansă de 25/36 ca jucătorul să aibă încă trei de un fel la sfârșitul următoarei aruncări (5/6 șanse de a rata cu primul zar înmulțit cu 5/6 șanse de a rata cu al doilea). În cele din urmă, există o șansă de 10/36 de a obține un număr suplimentar pentru a face patru de un fel. Aceasta este 1/6 x 5/6, iar acest lucru poate fi obținut în două moduri diferite (fie că primul zar se potrivește, fie că al doilea se potrivește). |
 |
Acest lucru devine puțin mai complicat acum, așa că vom încetini. Pentru a trece de la starea 2 la starea 5 este nevoie ca toate cele trei zaruri relansate să se potrivească cu perechea curentă. Acest lucru se întâmplă cu o probabilitate de 1/216 (Ceea ce înseamnă 1/6 x 1/6 x 1/6). În mod similar, trecerea de la nimic care nu se potrivește, (starea 1), la starea 5, este echivalentă cu aruncarea unui Yahtzee dintr-o singură lovitură (deoarece toate zarurile sunt relansate). Aceasta este 1/1296, calculată ca (1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6). |
 |
Potem completa încă doi coeficienți. Dacă sunteți ghinionist și nu aveți nimic care să se potrivească (starea 1) și aruncați din nou toate zarurile, probabilitatea de a obține din nou nimic care să se potrivească este de 120/1296 (Aceasta înseamnă 5/6 șanse ca al doilea zar să nu se potrivească, urmate de 4/6 pentru al treilea și 3/6 pentru al patrulea și 2/6 pentru al cincilea). Șansele de a obține patru zaruri identice într-o singură aruncare sunt de 25/1296 (Ceea ce înseamnă 150/7776. Vă amintiți înapoi la secțiunea Combinatronics? Se calculează prin obținerea a patru zaruri la fel: 1/6 x 1/6 x 1/6, cu ultimul zar care nu se potrivește cu 5/6, și există cinci moduri posibile în care se poate forma acest lucru cu cele cinci locații posibile pentru B în setul {A,A,A,A,A,A,A,B}. Dacă nu este clar evident, probabilitățile de pe rândul de sus (trecând de la nimic care nu se potrivește la orice altă stare), sunt probabilitățile pentru rezultatul primei aruncări. |
 |
Probabilitatea de a obține trei zaruri identice la o singură aruncare este 250/1296. Acest lucru este un pic mai dificil de calculat și trebuie să fim atenți. Acest lucru se întâmplă într-unul din cele două modele {A,A,A,A,A,B,B} și {A,A,A,A,A,B,C}. Făcând referire la secțiunea combinatronică de mai sus (vă amintiți, am spus că va fi utilă?), putem vedea că {A,A,A,A,B,B} apare de 300/7776 ori (full house) și {A,A,A,A,B,C} (trei de un fel) apare 1200/7776. Adăugând acestea împreună (modul probabilistic de a spune OR) obținem 1500/7776, care se reduce la 250/1296. Pentru a completa ultimul element din acest rând (obținerea unei perechi), din nou trebuie să fim atenți. Există două seturi de luat în considerare: {A,A,A,B,B,C,D} și {A,A,A,B,B,B,C}. (o singură pereche și două perechi). Din moment ce vrem să facem un Yahtzee, aruncăm una dintre perechi împreună cu singletonul. Probabilitatea de a obține o pereche este de 1800/7776 + 3600/7776 = 5400/7776 sau 900/1296). Este, de asemenea, ușurator să știm că toate probabilitățile din acest rând se adună la 1,0 (120/1296 + 900/1296 + 250/1296 + 250/1296 + 25/1296 +1/1296). |
 |
Tranziția de la o pereche (starea 2) la un cvartet (starea 4) are o probabilitate de 15/216. Există o șansă de 1/6 ca unul dintre zaruri să se potrivească, apoi o altă șansă de 1/6 ca un alt zar să se potrivească, înmulțită cu o șansă de 5/6 ca ultimul zar să nu se potrivească. Există trei moduri posibile pentru care dintre cele 5/6 zaruri este, deci probabilitatea finală = 3 x 1/6 x 1/6 x 1/6 x 5/6 = 15/216. |
 |
Acum urmează ultimele două șmecherii. Citind puțin pe internet, aici se pare că oamenii greșesc în calculele lor. Complicația apare pentru că, atunci când se aruncă din nou trei zaruri, s-ar putea să doriți să „săriți calul” cu privire la ceea ce urmăriți. De exemplu, dacă ați aruncat o pereche la prima aruncare, ați păstrat perechea și ați aruncat din nou trei zaruri, iar aceste trei zaruri au ieșit toate la fel (dar nu la fel ca perechea, altfel ar fi Yahtzee!), atunci la următoarea aruncare ați dori să păstrați perechea de trei și să aruncați din nou perechea. Această subtilitate modifică probabilitățile. Să lucrăm prin asta – Am păstrat o pereche și am relansat trei zaruri. Reamintim din combinatul nostru cu trei zaruri că trei zaruri se întorc toate la fel cu probabilitatea 1/6 x 1/6 = 1/36 = 6/216, dar într-unul din aceste cazuri, acest număr aruncat va fi același cu cel al perechii (provocând un Yahtzee), așa că trebuie să scădem acest caz. Astfel, șansa de a trece de la doi de un fel la trei de un fel este de 6/216 – 1/216 = 5/216. |
Pentru a completa coeficientul de tranziție de la o pereche (starea 2) la rămânerea ca pereche (starea 2), avem nevoie de probabilitatea de bază a acestui lucru, care este pur și simplu 5/6 x 5/6 x 5/6 (toate cele trei zaruri ratează potrivirea perechii), iar din aceasta, trebuie să scădem șansa ca toate aceste trei zaruri să fie identice și să nu formeze un Yahtzee (5/216), astfel încât rezultatul final pentru acest element = 125/216 – 5/216 = 120/216.
În mod similar, inversul acestui truc pentru probabilitatea de tranziție de la starea 2 a unei perechi la starea 3 a unui număr de trei zaruri. Aici probabilitatea de bază a trecerii din starea 2 în starea 3 este 75/216 (se aruncă trei zaruri, cu 1/6 șanse de potrivire, apoi două șanse de 5/6 de ratare, și există trei combinații de moduri în care se poate realiza acest lucru, ceea ce înseamnă 3 x 1/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6). La această probabilitate de bază de 75/216, trebuie să adăugăm șansa de 5/216 de mai sus că am ajuns la trei de un fel prin această cale alternativă.
Acum, elementul final necesar pentru a completa matricea noastră de tranziție din starea 2 în starea 3 este 75/216 + 5/216 = 80/216.
Este, de asemenea, o ușurare să calculăm că probabilitățile din acest rând totalizează 1.0! (120/216 + 80/216 + 15/216 + 1/216). Acest lucru ne ajută să confirmăm că calculele noastre sunt corecte.
Matricea noastră de tranziție este acum completă!
Înmulțirea matricei
Introducem acum un vector coloană identitar și îl multiplicăm cu matricea de tranziție. Vectorul de rânduri rezultat arată probabilitățile de distrubuție a stărilor în care s-ar putea afla zarurile. Putem acum să luăm această ieșire și să o folosim din nou ca intrare, iar de data aceasta ieșirea este suprapunerea probabilităților pentru zaruri la sfârșitul celei de-a doua aruncări. Pentru a obține probabilitatea de a obține un Yahtzee la (sau înainte de) trei rostogoliri, mai multiplicăm o ultimă dată și citim rezultatul elementului firth (starea 5) în vectorul final de ieșire.
(Din acest punct încolo, trec la zecimale/ procente pentru a reprezenta probabilitățile, deoarece fracțiile implicate sunt prea greoaie de introdus și citit).
Rezultate
Probabilitatea de a obține un Yahtzee este de 4,6029%
Grafice frumoase
Dacă ați ratat aruncarea Yahtzee, ce se întâmplă dacă ați aruncat din nou? (așa cum copiii mei încearcă uneori să facă!) Și din nou? Și din nou? …
Acesta este un grafic care arată șansa procentuală de a obține un Yahtzee în n-roluri. Axa x reprezintă numărul de aruncări, iar axa y arată șansa procentuală.
Curba se apropie de 100% și trece peste 50% la aruncarea #10. Pentru a fi sigur în proporție de 95% că veți obține un Yahtzee aveți nevoie de 23 de aruncări.
|
De multe ori ratezi o încercare de Yahtzee. Care este defalcarea probabilităților? Ce probabilitate aveți să obțineți un Four of a kind atunci când trageți la Yahtzee? Această informație este ușor de obținut prin citirea valorii din vectorul de ieșire al lanțului Markov pentru starea 4. (Probabilitatea ca în trei aruncări să obțineți un Patru la fel este de 24,476%, iar un Trei la fel este de 45,240%). Tabelul din stânga arată defalcarea procentuală pentru primele 25 de aruncări. Mai jos sunt aceleași date prezentate în format grafic. Observați că, după 9 rostogoliri, Yahtzee devine cel mai probabil eveniment, iar șansa de a termina cu o pereche sau un Singleton scade rapid până la zgomot.
|