Aproximație
Soluție pas cu pas :
Calculator rădăcini polinomiale :
1.1 Găsiți rădăcinile (zerourile) lui : F(x) = x5-x-1
Polynomial Roots Calculator este un set de metode care au ca scop găsirea valorilor lui x pentru care F(x)=0
Testul rădăcinilor raționale este unul dintre instrumentele menționate mai sus. Acesta ar găsi doar Rădăcini Raționale, adică numere x care pot fi exprimate ca și coeficientul a două numere întregi
Teorema Rădăcinii Raționale afirmă că dacă un polinom are zero pentru un număr rațional P/Q, atunci P este un factor al constantei de urmărire și Q este un factor al coeficientului de conducere
În acest caz, coeficientul de conducere este 1 și constanta de urmărire este -1.
Factorul (factorii) este (sunt):
din coeficientul conducător : 1
din constanta de urmărire : 1
Să testăm ….
| P | Q | P/Q | F(P/Q) | Divizor | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| -1 | 1 | -1.00 | -1.00 | ||||||||
| 1 | 1 | 1.00 | -1.00 |
Calculatorul de rădăcini polinomiale nu a găsit rădăcini raționale
Ecuația la sfârșitul pasului 1 :
x5 - x - 1 = 0
Pasul 2 :
Ecuații de ordinul 5 sau mai mare :
2.1 Rezolvați x5-x-1 = 0
Puncte privind ecuațiile de gradul 5 sau mai mare.
(1) Nu există o metodă generală (Formulă) de rezolvare a ecuațiilor polinomiale de grad cinci sau mai mare.
(2) Prin teorema fundamentală a algebrei, dacă admitem numere complexe, o ecuație de grad n va avea exact n soluții
(Asta dacă socotim soluțiile duble ca fiind 2 , soluțiile triple ca fiind 3 și așa mai departe
). (3) Prin teorema Abel-Ruffini, soluțiile nu pot fi întotdeauna prezentate în mod convențional, folosind doar o cantitate finită de adunări, scăderi, înmulțiri, împărțiri sau extrageri de rădăcini
(4) Dacă F(x) este un polinom de grad impar cu coeficienți reali, atunci ecuația F(X)=0 are cel puțin o soluție reală.
(5) Folosind metode precum metoda bisecției, soluțiile reale pot fi aproximate cu orice grad de precizie dorit.
Aproximarea unei rădăcini folosind metoda bisecției :
Acum folosim metoda bisecției pentru a aproxima una dintre soluții. Metoda Bisecției este o procedură iterativă de aproximare a unei rădăcini (Rădăcina este un alt nume pentru soluția unei ecuații).
Funcția este F(x) = x5 – x – 1
La x= 1.00 F(x) este egală cu -1.00
La x= 2.00 F(x) este egală cu 29.00
Intuitiv considerăm, și pe bună dreptate, că din moment ce F(x) este negativ de o parte a intervalului și pozitiv de cealaltă parte, atunci, undeva în interiorul acestui interval, F(x) este zero
Procedură :
(1) Găsiți un punct „Stânga” în care F(Stânga) < 0
(2) Găsiți un punct „Dreapta” în care F(Dreapta) > 0
(3) Calculați „Mijlocul” punctul de mijloc al intervalului
(4) Calculați Valoarea = F(Mijlocul)
(5) Dacă Valoarea este suficient de apropiată de zero treceți la Pasul (7)
Else :
Dacă Valoarea < 0 atunci : Stânga <- Mijlociu
Dacă Valoarea > 0 atunci : Dreapta <- Mijlociu
(6) Buclați înapoi la Pasul (3)
(7) Gata!! Aproximarea găsită este Middle
Să urmăriți mișcările Middle pentru a înțelege cum funcționează :
Left Value(Left) Right Value(Right) 1.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 0.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 1.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 1.000000000 -1.000000000 1.500000000 5.093750000 1.000000000 -1.000000000 1.250000000 0.801757812 1.125000000 -0.322967529 1.250000000 0.801757812 1.125000000 -0.322967529 1.187500000 0.173892021 1.156250000 -0.089639038 1.187500000 0.173892021 1.156250000 -0.089639038 1.171875000 0.038197125 1.164062500 -0.026683718 1.171875000 0.038197125 1.164062500 -0.026683718 1.167968750 0.005513586 1.166015625 -0.010645540 1.167968750 0.005513586 1.166992188 -0.002581134 1.167968750 0.005513586 1.166992188 -0.002581134 1.167480469 0.001462432 1.167236328 -0.000560299 1.167480469 0.001462432 1.167236328 -0.000560299 1.167358398 0.000450830 1.167297363 -0.000054794 1.167358398 0.000450830 1.167297363 -0.000054794 1.167327881 0.000198003 1.167297363 -0.000054794 1.167312622 0.000071601 1.167297363 -0.000054794 1.167304993 0.000008403 1.167301178 -0.000023196 1.167304993 0.000008403
Următorul Middle ne va apropia suficient de mult de zero:
F( 1.167304039 ) este 0.000000503
Aproximația dorită a soluției este:
x ≓ 1.167304039
Rețineți, ≓ este simbolul de aproximare