A resposta curta de porque ela está morrendo tão rápido e obviamente é exagero para o filme. No entanto essa não é a explicação completa, uma coisa importante a notar é que a partir do momento em que ela decide ficar com Aragorn na Terra Média ela está morrendo.

A resposta completa requer um pouco de conhecimento do Silmarilhão, onde muito mais é explicado sobre os elfos. Elrond é chamado de Meio-Elfano, como o filho de um elfo e um homem, Eärendil o Marinheiro (como um aparte, a história de Eärendil é mencionada na Irmandade em uma canção de Bilbo). O Silmarillion dá mais informações sobre exatamente por quê, mas efetivamente um filho de um elfo e de um homem tem a escolha do destino a ser abraçado. Dito de forma simples, eles podem escolher entre uma vida humana e a mortalidade e uma vida elfica.

Para Arwen estar verdadeiramente com Aragorn ela teve que escolher o destino dos homens, ou seja, morrer e ir, como Tolkien disse, “nós não sabemos para onde”. No filme há muito pouca explicação sobre o que significa ir para as Terras Eternas, mas é importante notar que estas não são terras onde não se morre (um erro em que Ar-Pharazon foi enganado por Sauron), mas sim porque apenas os imortais (elfos e Ainur) estão autorizados a ir para lá (os portadores do anel são uma exceção especial).

Os elfos da Terra Média estão indo para lá por uma simples razão, ou Sauron vence e toma conta de mim ou o anel é destruído e os anéis dos elfos falham (o seu poder está ligado ao Um, e sem eles Rivendell e Lorien perderiam a magia que fez os elfos amá-los.)

Com toda essa informação podemos dizer isto, Arwen está morrendo porque escolheu o destino da morte, e por causa disso não é permitido ir para as Terras Eternas. Assim seu destino está ligado ao anel, pois se ele for destruído ela poderá viver uma boa vida com o rei Aragorn, se Sauron o reclamar, ela e tudo o que ela ama serão destruídos. Ela trocou a certeza da paz nas Terras Eternas pela esperança do sucesso de Frodo.

TL;DR Arwen escolheu morrer para estar com Aragorn, por isso ela não pode correr com o resto dos elfos, então se Sauron vencer ela será morta como Gondor e o resto de ME.