Existem muitas provas. A minha favorita é assim. Aparentemente é devido a um Albert Einstein muito jovem, mas isso parece ser difícil de verificar.

Triângulos rectos têm uma propriedade limpa onde, dado um triângulo direito, se pode desenhar uma linha perpendicular à hipotenusa que passa pelo ângulo direito, e essa linha divide o triângulo em duas cópias menores de si mesmo. Essa linha é chamada de altitude. Aqui está uma imagem de como isso funciona. Você deve ser capaz de se convencer que os triângulos menores formados pela altitude são de fato cópias do triângulo grande – tem a ver com o fato de que os ângulos de um triângulo somam até 180 graus.

Então, aqui vai ele. Primeiro de tudo, vamos pensar no teorema, não como uma fórmula, mas como uma afirmação sobre a geometria. O teorema diz que para um triângulo direito com lados a, b, e c (onde a hipotenusa é c), a área do quadrado cujo lado é c é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são a e b. Aqui vai uma ilustração. A soma das áreas dos quadrados azul e laranja é igual à área do quadrado roxo.

Para provar isso, considere um triângulo direito arbitrário com os lados a, b, c, e usando a altitude, divida-o nas pequenas cópias de si mesmo, como discutimos acima. Você pode querer pegar uma caneta e desenhar diagramas a seguir aqui. Vamos pensar nas áreas das pequenas cópias, assim como no triângulo grande, então vamos dar alguns nomes a esses. Que A seja a área do pequeno triângulo com hipotenusa a, B seja a área do pequeno triângulo com hipotenusa b, e C seja a área do grande triângulo (com hipotenusa c, é claro). Mais uma vez, faça um desenho se você não consegue ver isto em sua mente.

Agora, claramente: A + B = C. Lembre-se disso e ponha de lado.

Note que todos os quadrados têm lados iguais à hipotenusa dos seus triângulos correspondentes. Vamos pensar na forma da casinha formada ao longo do lado a por enquanto – isto é, o triângulo com área A e o quadrado com área a2. Que r seja a razão entre a área do triângulo em forma de casa e a área do quadrado, de modo que

A = ra2

Dependente de como você desenhou o triângulo em primeiro lugar, r pode ser grande ou pequeno. O divertido desta prova é que r acaba por nos ajudar mesmo não importando o que seja.

Vamos mudar o nosso foco para a forma da casa formada ao longo do lado b. Agora, como o triângulo com área B é uma cópia exacta do triângulo com área A, mas apenas um tamanho diferente (a menos que tenha desenhado um triângulo isósceles, caso em que também é do mesmo tamanho), a razão entre as áreas desse triângulo e o quadrado correspondente é a mesma. Ou seja, como esta forma de casa é apenas uma cópia em escala da primeira forma de casa, a mesma relação se mantém:

B = rb2

Finalmente, você pode ver que a mesma relação se manterá para a forma da casa maior, feita a partir do triângulo original, uma vez que é apenas uma cópia em escala dos menores também.

C = rc2

Combinando estas últimas identidades com a primeira equação, podemos escrever

ra2 + rb2 = rc2

Dividindo por r dá o resultado desejado 🙂