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Introdução ao Cálculo

Capítulo 1 – Introdução

• Secção 1.1 – Porque Estudar Cálculo
• Secção 1.2 – Porque não estudar Cálculo

Seção 1.1 – Porque estudar Cálculo

Como estudante você provavelmente vê o cálculo como outra memorização ilógica de equações que se precisa passar pela escola. Você sente que nunca será chamado a usar qualquer das ‘hipotéticas algaraviadas’ que você aprende. Consequentemente, você aborda o assunto com indiferença filosófica e se adapta para suportar aquilo que você não pode curar.

Talvez em algum lugar atrás desse sentimento ilógico esteja a crença de que o cálculo é uma ferramenta necessária para a sua existência no mundo real. Independentemente de como se define uma existência bem sucedida, a compreensão do cálculo não é essencial para o seu bem-estar. Na verdade, é um exagero afirmar que se precisa dele para se tornar até mesmo um cientista.

Afinal de contas, muitos engenheiros profissionais não hesitam em admitir a sua ignorância sobre o assunto. A compreensão de cálculo desse engenheiro limita-se a conhecer as equações e saber como utilizá-las. Se um engenheiro tem uma boa noção do que pode esperar com base na experiência, então o número de números não é tão importante. Os melhores engenheiros só precisam do número para confirmar o que eles pensam que o resultado pode ser.

Até agora esta introdução só conseguiu confirmar o que você pode já sentir sobre o seu estudo de cálculo, ou seja, é uma perda de tempo sem sentido! Por que você tem que se preocupar em aprendê-lo enquanto os outros passam por ele sem absolutamente nenhuma compreensão? O que mais pode haver para além da memorização, da manipulação e da frustração? Sem alimentar mais as suas crescentes suspeitas, vamos voltar à pergunta original e respondê-la de um ponto de vista puramente não-materialista.

Porquê estudar cálculo? Esta pergunta é melhor respondida com outra pergunta; Sobre o que é o cálculo? É extremamente difícil responder a esta pergunta de forma breve e convincente, pois isso exigiria parafrasear todo este livro em apenas algumas linhas de texto. Eu poderia apresentar-lhe uma série de situações onde o cálculo é aplicado, mas isso lhe daria a falsa impressão de que as aplicações práticas e a teoria matemática estão unidas apenas por acaso. A definição mais simples que posso oferecer é que o cálculo é o estudo da mudança definida matematicamente. Há duas palavras nessa definição que precisam de mais explicações antes que façam sentido. Estas palavras são matemática e mudança .

O que é matemática? Essencialmente matemática nada mais é do que a linguagem da ciência. Enquanto a ciência é um estudo sistemático da natureza, a matemática é uma forma concisa de comunicação usada para representar a natureza. A faculdade da razão do homem permite-lhe observar, dissecar e fazer hipóteses sobre a natureza e todos os seus processos em curso, de tal forma que o resultado final desta análise ordenada é a matemática. Mas o que se entende por ciência e natureza? Ao invés de continuar com perguntas respondidas apenas por generalizações, comecemos este estudo do cálculo com um estudo do Homem.

O que faz o Homem agir, pensar, sentir, mover-se e funcionar? O tema da filosofia é dedicado inteiramente a responder a perguntas como estas, embora muitas vezes se pergunte mais do que se está preparado para responder. A vida em redor desafia-nos constantemente a viver e a responder ao aparentemente impossível e insondável. Somos confrontados com dilemas que exigem o nosso julgamento. No entanto, o código de ética e moral que vivemos acaba por não ser mais do que um conjunto de contradições irónicas. Encontramo-nos rodeados por um mar de caos. A vida então nos transporta através desse mar de confusões, nunca parando em lugar algum para nos deixar em um destino. A vida parece fútil, sem sentido à vista.

O homem está confinado a este estado indefeso de existência? Para ser honesto, ninguém sabe a resposta. Podemos, no entanto, procurar esperança na mente. O poder do pensamento, a razão e a lógica são o que permite ao homem tomar o controle da vida e, por fim, servir de guia para a iluminação e a sabedoria. Aristóteles sentiu que a felicidade só poderia ser alcançada por meio da psiculização da mente. Ele escreveu:

Agora a excelência peculiar do homem é seu poder de pensamento; é por esta faculdade que ele supera e governa outras formas de vida; e como o crescimento desta faculdade lhe deu supremacia, assim, podemos presumir, seu desenvolvimento lhe dará realização e felicidade.

Isto leva à pergunta: Como definimos a razão? Isto é sinónimo de perguntar como é que os pensamentos definem o comportamento? Quando criança, você tinha pouco controle sobre suas ações. Não parecia haver nenhum propósito por trás do que você fez ou do que aconteceu com você. A vida o levou consigo, dando-lhe a liberdade de desfrutar da viagem.

A ideia do livre arbítrio oferece uma explicação mais plausível das acções humanas. Diz que o homem tem a liberdade de escolha para decidir sobre um determinado curso de ação. As ações são o resultado de escolhas; escolhas que somos livres para fazer.

O ramo da filosofia conhecido como determinismo leva o livre arbítrio um passo adiante para explicar porque o homem escolhe agir de uma forma em detrimento de outra. Quando o homem é confrontado com uma situação, a linha de ação que ele decidiu tomar é baseada na experiência, interesses e preferências pessoais. As decisões que tomamos são, portanto, totalmente influenciadas pelas nossas experiências passadas. A vontade não é livre de se comportar por si mesma. Por exemplo, minha decisão de escrever este livro não se baseou em algum instinto impulsivo, mas em um culminar de circunstâncias às quais fui exposto e reagi contra.

Qualquer ação desde a mais aleatória até a mais perversa pode ser explicada pelo conjunto de situações, experiências, pensamentos e sentimentos que precederam aquela ação. Essencialmente o determinismo diz que nossas vidas são predeterminadas na medida em que, independentemente de como vivemos, podemos mudar nosso curso de vida. Como disse um pensador francês: “Nós mudamos, mas permanecemos os mesmos”. A lógica por trás desta afirmação é que se o nosso passado nunca pode ser mudado, então o nosso futuro permanecerá sempre o mesmo. Cada ação é ditada pela anterior.

É neste ponto que a ciência e a arte divergem. Para o cientista, o determinismo é uma explicação suficientemente precisa da vida humana, pois diz que tudo o que ocorre, ocorre por um conjunto de razões. Observar e compreender este conjunto de razões torna-se o trabalho do cientista. O artista, entretanto, interpreta o determinismo como dizendo: ‘Como tudo na vida é predeterminado, então a vida não tem sentido’.

A vida pode não ter sentido, mas o objetivo do artista é questionar essa afirmação explorando as misteriosas profundezas da natureza humana e do coração. Talvez seja a extrema aleatoriedade da vida que nos leva a significar o nosso destino imutável. Nenhum ser humano tem qualquer controle sobre as ações às quais será exposto. O destino começa a perder sentido porque nunca se sabe o que vai acontecer a si mesmo. É preciso o risco do artista para criar o caos a partir do qual a sabedoria evolui.

Por outro lado, o estudo da natureza é mais preciso e é menos provável que seja influenciado por uma grande variedade de fatores não relacionados. Dentro da natureza todas as ações, ocorrências ou mudanças dependem de alguns fatores que podem ser cuidadosamente isolados e estudados individualmente. A ciência é especificamente sobre a análise desses sistemas interativos e então formar hipóteses que possam explicá-los com precisão.

O que torna a observação de fenômenos na natureza tão interessante é que eles sempre ocorrem em um ambiente fechado, onde fatores externos podem ser facilmente removidos para deixar para trás apenas alguns poucos objetos interativos. São estes objectos juntamente com as suas propriedades, que se tornam o foco de estudo. Qualquer tentativa de explicar logicamente sua interação única deve vir dos próprios objetos e não de fatores externos imaginários. Através do raciocínio e da observação, a natureza pode ser compreendida, de tal forma que o futuro pode ser determinado a partir do presente. Como Sherlock Holmes avisaria frequentemente Watson, “Você vê, mas não observa!” .

Muitas vezes, os seres humanos não conseguem compreender esta simples regra da natureza, atribuindo ignorantemente qualquer fenômeno natural aos Deuses, aos céus ou a alguma substância misteriosa com superpoderes. Compreender e aceitar a verdade requer uma mente aberta e crítica. Charlotte Bronte escreveu humoristicamente sobre esta falha irônica da natureza humana em seu romance popular, Shirley.

Note bem! Sempre que você apresenta a verdade real, simples, é de alguma forma denunciada como mentira: eles a negam, a jogam fora, a jogam na paróquia; enquanto o produto de sua própria imaginação, o mero produto, a pura ficção, é adaptado, denominado bonito, próprio, docemente natural: o pequeno desgraçado espúrio fica com todos os trajes – o honesto, o legítimo banqueteando todas as algemas. Tal é a maneira do mundo…”.

Não só a ciência é obstruída pela ignorância e pelo engano, mas também é confundida pelo trabalho do pseudo-cientista. O pseudo-cientista é descrito pelo filósofo espanhol, José Ortega, no seu deslumbrante livro sobre a civilização ocidental moderna, A Revolta das Massas:

“… Em 1890 uma terceira geração assume o comando no mundo intelectual, e encontramos um tipo de cientista sem precedentes in-histórico. Ele é uma pessoa que sabe, de tudo o que um homem rotineiramente obediente deve saber, apenas algo de uma ciência específica; mesmo desta ciência, ele está bem informado apenas dentro daquela área limitada na qual ele é um pesquisador ativo. Ele pode até chegar ao ponto de afirmar que tem vantagem em não cultivar o que está fora do seu campo restrito, e pode declarar que a curiosidade sobre o conhecimento geral é o sinal do samateu, o diletante.

Imerso dentro da sua pequena área, ele consegue descobrir novos fatos, avança a ciência que mal conhece, e aumenta a força da enciclopédia do conhecimento do qual ele é conscientemente ignorante…”.

O Prémio Nobel da Física Richard Feynman escreveu as seguintes observações sobre os diferentes tipos de pseudo-cientistas que ele conheceu numa conferência. A maioria do trabalho dos cientistas enquadra-se numa destas categorias:

1. Completamente incompreensível
2. Vago e indefinido
3. Algo correcto que é óbvio e evidente, trabalhada por uma longa e difícil análise e apresentada como uma importante descoberta
4. Uma afirmação baseada na estupidez do autor de que alguma coisa óbvia e correta aceita e verificada durante anos é na verdade falsa
5. Uma tentativa de fazer algo provavelmente impossível, mas de utilidade certamente inútil, que finalmente é revelada no final falha
6. Simplesmente errada

Uma das notáveis obras-primas da mente é a ciência da matemática, muitas vezes chamada a ciência do raciocínio dedutivo. Enquanto a ciência é um sistema lógico de pensamento usado para estudar o mundo natural, a matemática é a linguagem precisa da ciência. É a forma de comunicação para a análise científica. O número e os símbolos não são nada mais do que vagas abstrações, a menos que se refiram a algo específico. É a análise científica que determina a estrutura da matemática.

Por meio da matemática somos capazes de definir o presente. O presente só depende das condições que existem dentro do curto espaço de tempo que ele ocupa. Rapidamente ele desaparece diante dos nossos olhos, tornando-se uma memória. O objetivo da ciência é definir o mundo objetivo em termos das condições quantificáveis existentes expressas pela matemática. As nossas dimensões ou propriedades permanecem fixas e não se alteram.

É quando as nossas dimensões mudam que o nosso estudo se torna um pouco mais complicado e surge o cálculo. Mas primeiro, o que se entende por mudança? Para entender a mudança, precisamos explicar o conceito de tempo. Por definição, o tempo é uma passagem de eventos, tal que para que o tempo passe, algo deve mudar em relação a si mesmo. Por exemplo, um objeto em movimento implica uma distância variável coberta a partir de um ponto de referência. Isto compreende um evento que define o tempo. Ou uma temperatura crescente implica que a temperatura está mudando , ocupando assim o tempo. As mudanças são o resultado de ações que compreendem uma situação.

Embora o cálculo seja o estudo da mudança definida matematicamente, não é necessariamente o estudo do tempo sozinho. Em ciência, outras dimensões podem estar mudando em relação umas às outras. Por exemplo, a velocidade pode mudar com a altura, a temperatura com a energia, a densidade com a profundidade, a força com a massa, etc.

Quando uma dimensão está mudando com relação a si mesma, dizemos que ela está mudando com relação ao tempo. Quando os fatores mudam em relação uns aos outros, desconsideramos o efeito que o tempo tem sobre os fatores e passamos a analisar apenas as dimensões que interagem. Assumimos que nossos fatores são constantes que mudam em relação uns aos outros, não em relação ao tempo. O cálculo é assim o ramo da matemática utilizado para estudar qualquer fenômeno que envolva mudança. A mudança é um conceito relativo que pode envolver qualquer par de dimensões, tempo, força, massa, comprimento, temperatura, etc. Isto pode soar um pouco abstrato, mas se tornará muito mais claro à medida que seguirmos o curso.

Isto conclui a resposta para o que é o cálculo. Você pode achar que eu não respondi à pergunta original postada, “Por que estudar cálculo?”. O propósito do estudo do cálculo é simplesmente introduzir a sua mente ao método científico de análise. Através da ciência, problemas práticos podem ser identificados, explicações geradas e soluções lógicas selecionadas. O objetivo é que você entenda como aplicar sua mente de forma sistemática para entender o mundo ao seu redor.

A engenharia se baseia mais nesta abordagem lógica fundamental para a solução de problemas do que na simples manipulação de números e fórmulas. Por esta razão, muitos engenheiros esqueceram todos os teoremas do cálculo, mas o que resta é a importante estrutura conceptual do método e da aplicação. Engenheiros muitas vezes admitem, brincando, que “Nós não sabemos toda a matemática, mas sabemos o resultado final! ”

O bom senso de engenharia é definido como a capacidade de identificar rapidamente um problema, encontrar soluções práticas e depois selecionar a opção mais eficiente. Muitos problemas do mundo real são independentes de qualquer matemática complexa, mas a mesma abordagem científica sistemática é necessária para resolvê-los. A aplicação de lógica sólida é tudo o que é necessário para reduzir as complexidades às simplidades.

No início da introdução, afirmei que era um exagero afirmar que se precisa de cálculo para se tornar um cientista. Aqueles engenheiros e cientistas que conseguiram sobreviver com um conhecimento superficial do assunto caem no reino do pseudo-cientista e do charlatão. Como escreveu Ortega, o pseudocientista, “faz avançar a ciência que ele mal conhece, e aumenta forçosamente a enciclopédia do conhecimento do qual ele é conscienciosamente ignorante…”. É a emoção e o esclarecimento da compreensão da natureza que impulsiona o cientista. O engenheiro leva a ciência um passo à frente para controlar a natureza de acordo com as necessidades do homem. Tanto o engenheiro quanto o cientista compartilham uma profunda apreciação pelo funcionamento da natureza; uma apreciação que se desenvolve em sabedoria.

Portanto, o propósito de estudar cálculo é duplo. Primeiro é apresentar-lhe os conceitos básicos da matemática usados para estudar quase todos os tipos de fenômenos em mudança dentro de um ambiente controlado. Segundo, o estudo do cálculo desenvolverá em você um inestimável senso científico e habilidades práticas de engenharia para resolver problemas em você. Você entenderá como pensar logicamente para reduzir até mesmo os sistemas mais complexos a alguns componentes que interagem. Ao estudar os principais conceitos, teorias e exemplos deste livro, sua mente desenvolverá um poderoso instrumento sistemático.

Para concluir com uma nota humorística, leia o seguinte ensaio satírico de The Onion no capítulo sobre 1925 no livro deles, Our DumbCentury.

Devíamos ensinar factos aos nossos filhos? Não, eu digo, mil vezes não! Se crescerem para os agricultores de amanhã, donas de casa, operários de moinho e calmantes, os factos são as últimas coisas de que eles vão precisar. Boas maneiras! Subserviência! Acima de tudo, a obediência! Falar apenas quando se fala, e não causar problemas! Estes são os princípios sobre os quais o sistema de redução foi fundado. Por que, em nome de Deus, deveria ser colocado com um sistema que realmente encoraja um homem ignorante a fazer perguntas? Um bom cidadão não faz nada desse tipo. Ele está contente com as razões que lhe são dadas pelos seus apostadores.

Perguntas

1. Deus criou o homem ou o homem criou Deus? Alguns dizem que o homem e a natureza são muito bem feitos para acontecer ao acaso. As muitas leis físicas deste universo devem ser feitas por um criador assim como as leis de trânsito são feitas pelo homem. Embora a evolução possa parecer aleatória, ela é na verdade uma acumulação de mudanças infinitas ao longo do tempo. O que vemos é apenas o estado atual, não as infinitas camadas que foram estabelecidas ao longo da eternidade. Para esta razão, é fácil concluir que o estado actual é demasiado perfeito. Mas quando se estuda como cada camada de evolução acontece, torna-se bastante fácil entender como a complexidade pode ser alcançada a partir das mais simples mudanças acumuladas ao longo do tempo. Comente esta questão em relação às suas opiniões sobre religião e ciência.
2. O paradoxo da vida é que é preciso sofrer para se desfrutar dela. Ou considere a citação do pai do movimento olímpico moderno: “A coisa mais importante nos Jogos Olímpicos não é vencer, mas sim dar o pontapé de saída, assim como a coisa mais importante na vida não é o triunfo, mas a luta. O essencial não é ter conquistado, mas ter lutado bem”. “O que você acha? A vida é sobre conquistas ou sobre a jornada para essas conquistas?
3. O mundo contém milhares de culturas. Cada cultura tem o seu próprio conjunto de morais e padrões pelos quais a sociedade tenta viver. O que a cultura considera bom, outra cultura pode considerá-lo tabu. Enquanto a maioria das pessoas é fundamentalmente boa, há littleconsistência entre o comportamento socialmente aceito. A moral é absoluta ou só existe em relação umas às outras? Em outras palavras, você acha que certas ações podem ser julgadas como puro bem ou mal, independentemente de sua educação pessoal? Que aspectos da sua cultura podem ser percebidos como estranhos ou negativos para alguém de uma cultura diferente?

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