Não tenho certeza se você está procurando uma resposta mais matemática ou apenas o “porquê”, mas para responder o porquê, vou começar com alguma história sobre isso.

Todos os que trabalharam um modelo para o Sistema Solar, de Aristóteles a Copérnico, gostaram de círculos. Mesmo que Copérnico tenha raciocinado corretamente que a Terra se movia ao redor do Sol e não o Sol ao redor da Terra, ele continuou usando círculos em seus modelos do movimento dos planetas.

Após Copérnico, Tycho Brahe, financiado pelo Rei da Dinamarca, tinha o melhor equipamento da época para observar o movimento das estrelas e planetas e era capaz de fazer mapas estelares que eram dez vezes mais precisos do que qualquer outro antes dele. Brahe usou equipamentos como este quadrante mural, e um grande observatório privado para obter registros extremamente precisos.

Kepler, que era um matemático melhor que Brahe, queria desesperadamente colocar as mãos nos mapas estelares de Brahe e o uso de seu observatório e equipamentos (tanto que quando Brahe morreu, havia rumores de que Kepler o tinha envenenado, embora isso provavelmente não tenha acontecido). Quando Kepler finalmente teve tudo à sua disposição, ele foi capaz de resolver as coisas e estudar o Sistema Solar com mais precisão. Contudo, ele ainda não sabia porque é que os planetas se moviam em elipses; ele só tinha percebido que as elipses encaixavam tão bem no movimento que quase de certeza tinha de ser verdade, mas ele não tinha ideia do porquê.

Kepler, de facto, não se importava com elipses. Ele gostava mais de círculos, mas não podia negar que as elipses funcionavam. Fonte.

Ninguém sabia porque os planetas se moviam em elipses até que Isaac Newton foi questionado e teve que inventar cálculos para responder a isso. Calculus explica porque os planetas orbitam em elipses, e essa é a verdadeira resposta.

Se “cálculo” não é uma resposta satisfatória, uma forma de explicar seria atirar um centavo de um vaivém espacial (o que não é uma boa ideia, mas digamos que sim). Como o centavo cai em direção à Terra, ele cai cada vez mais rápido (se ignorarmos a resistência do ar) até atingir o solo.

Agora, se você atirar o centavo do ônibus espacial a uma velocidade muito mais rápida e em um ângulo diferente, para que ele só chegue perto da Terra e perca o planeta, ele realmente começaria a orbitar a Terra. Cairia cada vez mais rápido até passar pela Terra, e então, como atirar uma bala no ar, o centavo vai diminuir à medida que voa pela Terra.

De acordo com a segunda lei de Kepler, a velocidade mais rápida do centavo está no ponto mais próximo da Terra (o perigeu). É essencialmente assim que os objetos em órbita funcionam: à medida que se aproximam do corpo que orbitam, eles aceleram cada vez mais rápido. O nosso centavo vai ficar tão rápido que, uma vez que ele contorna o planeta, vai ser atirado para muito longe, o que depois o vai atrasar. Isto é o que cria uma órbita elíptica.

O seu movimento é como uma mola, caindo em direção ao planeta e depois voando para longe, mas ao mesmo tempo, orbitando em movimento circular com o movimento da mola, com 1 período por órbita. Esse movimento de se aproximar e depois avançar em cada órbita forma uma elipse.

Faz mais sentido se pensarmos que a velocidade é maior no ponto mais próximo e menor no ponto mais distante. A baixa velocidade aproxima-a enquanto que a alta velocidade a aproxima de novo. A energia total do objeto em órbita (energia cinética mais energia potencial) permanece constante.