Imagine lutando uma guerra em 10 campos de batalha. Você e seu oponente têm 200 soldados cada um, e seu objetivo é ganhar o maior número possível de batalhas. Como você destacaria suas tropas? Se os espalhasses uniformemente, enviando 20 para cada campo de batalha, o teu oponente poderia concentrar as suas próprias tropas e ganhar facilmente a maioria das lutas. Você mesmo poderia tentar dominar vários locais, mas não há garantias de que você vencerá e deixará os campos de batalha restantes mal defendidos. Não é fácil conceber uma estratégia vencedora, mas desde que nenhum dos lados conheça antecipadamente o plano do outro, é uma luta justa.

Agora imagina que o teu adversário tem o poder de destacar as tuas tropas, bem como as suas próprias. Mesmo se você conseguir mais tropas, não poderá ganhar.

Na guerra da política, este poder de destacar forças vem da gerrymandering, a antiga prática de manipular distritos eleitorais para ganho partidário. Ao determinar quem vota onde, os políticos podem inclinar as probabilidades a seu favor e derrotar seus oponentes antes mesmo do início da batalha.

Em 1986, a Suprema Corte considerou inconstitucionais os gerrymanders partidários extremos. Mas sem um teste confiável para identificar mapas distritais injustos, a corte ainda não jogou nenhum fora. Agora, como a mais alta corte da nação ouve argumentos a favor e contra um desafio legal ao mapa do distrito de Wisconsin, os matemáticos estão na linha de frente na luta pela justiça eleitoral.

A matemática simples pode ajudar a esquematizar os políticos que dão aos seus partidos uma influência maior, mas a matemática também pode ajudar a identificar e remediar essas situações. No verão passado o Grupo de Geometria Métrica e Gerrymandering, liderado pelo matemático Moon Duchin, reuniu-se na Tufts University, em parte para discutir novas ferramentas matemáticas para analisar e abordar a gerrymandering. A “lacuna de eficiência” é uma idéia simples no coração de algumas das ferramentas que estão sendo consideradas pela Suprema Corte. Vamos explorar este conceito e algumas de suas ramificações.

Inicie imaginando um estado com 200 eleitores, dos quais 100 são leais ao partido A e 100 ao partido B. Vamos supor que o estado precisa eleger quatro representantes e assim deve criar quatro distritos de igual tamanho eleitoral.

Imagine que você tem o poder de designar eleitores para qualquer distrito que você desejar. Se você favorecer o partido A, pode distribuir os 100 eleitores A e 100 eleitores B para os quatro distritos assim:

Com distritos construídos desta forma, o partido A ganha três das quatro eleições. Claro, se preferir o partido B, pode distribuir os eleitores desta forma:

Aqui, os resultados são invertidos, e o partido B ganha três das quatro eleições.

Nota que em ambos os cenários o mesmo número de eleitores com as mesmas preferências estão votando no mesmo número de eleições. Mudar apenas a distribuição de eleitores entre os distritos altera drasticamente os resultados. A capacidade de determinar os distritos eleitorais confere muito poder, e atender a alguma matemática simples é tudo o que é necessário para criar uma vantagem eleitoral.

E se, em vez de criar uma vantagem para um partido sobre o outro, você desejasse usar seu poder para criar distritos justos? Primeiro, você precisaria determinar o que significa “justo”, e isso pode ser complicado, já que vencedores e perdedores muitas vezes têm perspectivas diferentes sobre a justiça. Mas se começarmos com algumas suposições sobre o que significa “justo”, podemos tentar quantificar a imparcialidade das diferentes distribuições de eleitores. Podemos discutir essas suposições e suas implicações, mas ao adotar um modelo matemático podemos tentar comparar diferentes cenários. O gap de eficiência é uma abordagem para quantificar a equidade de uma distribuição de eleitores.

Para entender o gap de eficiência, podemos começar com a observação de que, em uma série de eleições relacionadas, nem todos os votos têm o mesmo impacto. Alguns votos podem fazer uma grande diferença, e alguns votos podem ser considerados “desperdiçados”. A disparidade de votos desperdiçados é o gap de eficiência: Mede o quanto os votos desperdiçados são distribuídos igualmente, ou desigualmente, entre os partidos concorrentes.

Então o que conta como um voto desperdiçado? Considere o papel da Califórnia nas eleições presidenciais. Desde 1992, a Califórnia sempre apoiou o candidato democrata à presidência. Portanto, os republicanos da Califórnia sabem que estão quase certamente apoiando um candidato derrotado. Em certo sentido, o seu voto é desperdiçado: se lhes fosse permitido votar em um estado de vantagem como a Flórida, o seu voto poderia fazer mais diferença. De uma perspectiva Republicana, isso seria um uso mais eficiente do seu voto.

Como acontece, os eleitores Democratas na Califórnia podem fazer um argumento semelhante sobre o seu voto ser desperdiçado. Como o candidato democrata provavelmente ganhará a Califórnia em um deslizamento de terra, muitos de seus votos, de certa forma, são desperdiçados, também: Quer o candidato ganhe a Califórnia com 51% ou 67% dos votos, o resultado é o mesmo. Esses votos vencedores extras não têm sentido.

Assim, no contexto da diferença de eficiência, há dois tipos de votos desperdiçados: os de um candidato perdedor e os de um candidato vencedor que vão além do necessário para a vitória (para simplificar, tomamos o limiar da vitória como sendo de 50%, mesmo que tecnicamente isso possa resultar em um empate; um empate real está além do improvável com centenas de milhares de eleitores em cada distrito congressional). Em uma eleição multi-distrital, cada partido provavelmente terá desperdiçado votos de cada tipo. A diferença de eficiência é a diferença nos totais dos votos desperdiçados para cada partido, expressos como uma percentagem do total de votos expressos. (Subtraímos o menor número ao maior quando possível, para garantir uma lacuna de eficiência não negativa. Também poderíamos tomar o valor absoluto da diferença.)

Vamos voltar aos nossos cenários de quatro distritos e examinar os seus gaps de eficiência. A nossa primeira distribuição foi assim.

Neste cenário, 75 dos votos de B são desperdiçados: 60 em causas perdidas e 15 mais do que os 25 necessários para ganhar o distrito 4. Apenas 25 dos votos do partido A são desperdiçados: 5 votos extra em cada vitória e 10 votos perdedores. A diferença bruta em votos desperdiçados é de 75 – 25 = 50, portanto a diferença de eficiência aqui é de 50/200 = 25 por cento. Dizemos que a diferença de eficiência de 25% aqui favorece o partido A, já que o partido B teve o maior número de votos desperdiçados. No segundo cenário, onde os números são invertidos, o 25% de diferença de eficiência agora favorece o partido B.

Pode a diferença de eficiência nos dar uma sensação de justiça de uma distribuição? Bem, se você tivesse o poder de criar distritos de votação e quisesse engendrar vitórias para seu partido, sua estratégia seria minimizar os votos desperdiçados para seu partido e maximizar os votos desperdiçados para seu oponente. Para isso, uma técnica coloridamente conhecida como embalagem e rachaduras é empregada: Os votos da oposição são empacotados num pequeno número de distritos concedidos, e o restante bloco de votos é rachado e espalhado pelo resto dos distritos para minimizar o seu impacto. Esta prática cria naturalmente grandes lacunas de eficiência, por isso podemos esperar que distribuições mais justas tenham distribuições menores.

Vamos analisar mais profundamente as lacunas de eficiência, imaginando o nosso estado de 200 eleitores agora divididos em 10 distritos iguais. Considere a seguinte distribuição de eleitores, na qual o partido A ganha 9 dos 10 distritos.

Na superfície, isto não parece ser uma distribuição justa de eleitores. O que diz a diferença de eficiência?

Neste cenário, quase todos os votos do partido B são desperdiçados: nove votos perdidos em cada um dos nove distritos, mais nove votos em excesso numa vitória, para um total de 90 votos desperdiçados. Os eleitores do partido A são muito mais eficientes: apenas 10 votos no total são desperdiçados. Há uma diferença de 90 – 10 = 80 votos desperdiçados e uma diferença de eficiência de 80/200 = 40%, favorecendo o partido A.

Compare que com a seguinte distribuição, onde o partido A ganha 7 dos 10 distritos.

Aqui, a contagem de votos perdidos é de 70 para o partido B e 30 para o partido A, produzindo uma diferença de eficiência de 40/200 = 20 por cento. Uma distribuição aparentemente mais justa resulta numa menor diferença de eficiência.

Como exercício final, considere esta divisão até mesmo das eleições distritais.

A simetria por si só sugere a resposta, e os cálculos confirmam-no: 50 votos desperdiçados para cada partido significa uma diferença de eficiência de 0 por cento. Note aqui que uma diferença de eficiência de 0% corresponde a uma noção independente de imparcialidade: Nomeadamente, com os eleitores em todo o estado divididos igualmente entre ambos os partidos, parece razoável que cada partido ganharia metade das eleições.

Estes exemplos elementares demonstram a utilidade da lacuna de eficiência como medida de justiça eleitoral. É fácil de entender e calcular, é transparente e suas interpretações são consistentes com outras noções de imparcialidade. É uma idéia simples, mas que está sendo usada de várias maneiras complexas para estudar a gerrymandering. Por exemplo, os matemáticos estão agora usando simulações para considerar milhões de mapas eleitorais teóricos para um determinado estado e depois examinando a distribuição de todas as lacunas de eficiência possíveis. Isso não só cria um contexto para avaliar a justiça de um mapa atual em relação a outras possibilidades, como também pode ser usado potencialmente para sugerir alternativas mais justas.

Embora os eleitores não sejam de fato designados aos distritos da forma que imaginamos em nossos exemplos, a prática de gerrymandering alcança resultados semelhantes. Ao redefinir estrategicamente os limites dos distritos, os gerrymanderers podem engendrar distribuições de votos para criar um campo de jogo eleitoral desigual. Essas lutas injustas afetam a forma como somos governados e ajudam os titulares dos partidos majoritários a se contentarem com a reeleição após o término do mandato. O caso perante a Suprema Corte envolve apenas um dos muitos mapas potencialmente injustos. Ferramentas matemáticas objetivas, como a lacuna de eficiência, podem ser a única maneira de erradicar a gerrymandering e manter nossos campos de batalha política em equilíbrio.

Download da planilha PDF “Fazendo a Matemática Política” para praticar esses conceitos ou para compartilhar com os estudantes.