Yahtzee Kansberekening
|
Santa bracht mijn kinderen het spel Yahtzee voor Kerstmis. We spelen het vaak ’s avonds. Als er een Yahtzee wordt gegooid, gaan mijn kinderen uit hun dak. In deze blogposting ga ik kijken naar de waarschijnlijkheid van het gooien van een Yahtzee. |
 |
Yahtzee is een spel dat gespeeld wordt met vijf zeszijdige dobbelstenen. Een speler gooit met de dobbelstenen, bekijkt de resultaten en mag zoveel dobbelstenen houden als hij wil, terwijl hij de rest opnieuw gooit. Na de tweede worp wordt het proces herhaald (indien gewenst, kan de speler dobbelstenen oppakken die hij in de eerste ronde heeft gehouden). Na (maximaal) drie worpen worden de dobbelstenen gewaardeerd in verschillende categorieën. De Yahtzee (50 punten) wordt behaald door alle vijf de dobbelstenen gelijk te krijgen. |
Aannames
We gaan ervan uit dat de speler een slimme speler is, en op elk beslissingsmoment de slimst mogelijke her- en oppakkeuzes maakt.
De kans om een Yahtzee te krijgen in één worp is eenvoudig te berekenen. Er zijn vijf dobbelstenen, dus wat de eerste dobbelsteen ook gooit, er is een kans van 1/6 dat de tweede dobbelsteen hetzelfde getal is. Als dat gebeurt, is er een kans van 1/6 dat de derde dobbelsteen hetzelfde is, dito de vierde en de vijfde.
Dus kans op Yahtzee in één worp is 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/1296.
Met drie worpen en vasthouden, echter, worden de dingen een beetje ingewikkelder. Het aantal dobbelstenen dat we elke beurt gooien kan veranderd worden, en er zijn veel mogelijke combinaties te bedenken. Omdat de toestand van de dobbelstenen aan het begin van elke worp onafhankelijk is van hoe de dobbelstenen zijn gegooid, is dit een perfecte kans om een van mijn favoriete hulpmiddelen uit te rollen, de Markov Keten (voor meer achtergrond hierover, zie mijn eerdere postings over CandyLand, en Chutes and Ladders).
|
Voordat we ons in de Markov Keten verdiepen, is het echter nuttig om de verschillende manieren te onderzoeken waarop combinaties van dobbelstenen kunnen worden gegooid. Deze oefening zal de creatie van de Overgangsmatrix sterk vereenvoudigen (vertrouw me hierin). Hier gaan we … |
 |
2 dobbelstenen |
|
Dit is het triviale geval. Er zijn slechts twee patronen voor de manier waarop twee dobbelstenen kunnen worden gegooid. Of ze komen overeen, of ze komen niet overeen. Er is een kans van 1/6 dat de tweede van de twee dobbelstenen overeenkomt met de eerste, en omgekeerd is er een kans van 5/6 dat ze niet overeenkomt. De kansen moeten natuurlijk opgeteld 1 zijn (een van de twee gebeurtenissen moet zich voordoen).
Een andere manier om dit te bekijken is dat er 36 mogelijke combinaties zijn voor twee dobbelstenen die gegooid worden. In zes van deze combinaties {1,1}, {2,2}, {3,3}, {4,4}, {5,5}, {6,6} zijn de getallen hetzelfde, en in 30 van deze combinaties zijn de dobbelstenen verschillend.
Deze resultaten zijn grafisch weergegeven op de afbeelding hierboven. Er is een 6/36 kans dat beide dobbelstenen hetzelfde zijn, voorgesteld als {A,A}, en 30/36 kans dat ze verschillend zijn, voorgesteld als {A,B}
3 dobbelstenen |
|
Dit wordt een beetje complexer, maar niet veel. Hier zijn er drie mogelijke smaken van resultaat voor de drie dobbelstenen: Ofwel zijn ze allemaal hetzelfde, ofwel zijn ze allemaal verschillend, ofwel zijn er twee van het ene getal en één van het andere. Er zijn 216 mogelijke manieren waarop drie dobbelstenen gegooid kunnen worden (6 x 6 x 6).
We kunnen de kans dat ze allemaal hetzelfde zijn eenvoudig berekenen als 1/6 x 1/6 = 1/36 (De tweede dobbelsteen komt 1 op de 6 keer overeen met de eerste, en de derde dobbelsteen komt, alweer, 1 op de 6 keer overeen).
Aternatief kunnen we ons voorstellen dat, van de 216 mogelijke manieren waarop de dobbelstenen kunnen vallen, er zes mogelijke manieren zijn wanneer ze allemaal gelijk zijn: {1,1,1}, {2,2,2}, {3,3,3}, {4,4,4}, {5,5,5}, {6,6,6}.
De kans dat ze allemaal verschillend zijn, kan worden berekend met behulp van de volgende logica: De eerste dobbelsteen kan zijn wat hij wil, dan is er voor de tweede dobbelsteen een kans van 5/6 dat hij niet hetzelfde getal is als de eerste dobbelsteen. Tenslotte is er een kans van 4/6 dat de derde dobbelsteen verschillend zal zijn van de eerste twee. De kans dat alle dobbelstenen verschillend zijn is dus 5/6 x 4/6 = 20/36, wat onversimplificeerd kan worden tot 120/216. Er zijn 120 mogelijke combinaties van de 216 mogelijke uitkomsten waarbij alle drie de dobbelstenen verschillend zijn {A,B,C}.
Omdat we weten dat het totaal van alle kansen voor de manier waarop drie dobbelstenen gooien moet optellen tot 1,0, kunnen we afleiden dat de kans dat twee van de dobbelstenen hetzelfde zijn {A,A,B} 90/216 is (dat is 1 – 6/216 – 120/216).
(Als je jezelf hiervan wilt overtuigen, denk er dan zo over: Er zijn zes mogelijke waarden die A zou kunnen zijn, vijf mogelijke waarden van wat B zou kunnen zijn, en drie mogelijke keuzes van welke dobbelsteen B zou kunnen zijn. Dit is 6 x 5 x 3 = 90 combinaties uit de 216).
4 dobbelstenen |
|
Dingen beginnen nu een beetje ingewikkelder te worden. Ze kunnen allemaal hetzelfde zijn, allemaal verschillend, three of a kind, twee loten van twee paren, of een paar met twee verschillende singletons.
Er zijn 1296 manieren waarop vier dobbelstenen gerangschikt kunnen worden (6 x 6 x 6 x 6). De resultaten staan hieronder:
We moeten hier extra voorzichtig zijn, want we willen niet dubbeltellen. Bij het tellen van de twee loten van twee paren moeten we ervoor zorgen dat we niet per ongeluk {5,5,5,5} tellen als twee sets van dubbel vijf en dit in de {A,A,B,B} emmer plaatsen, want het is eigenlijk four of a kind en moet in de {A,A,A,A} emmer. Als we dubbel tellen, worden de kansen groter dan 1,0!
Het afleiden van de bovenstaande tabel kan op verschillende manieren gebeuren. Degenen onder u die aan de universiteit wiskunde hebben gestudeerd, grijpen misschien naar een binomiale uitbreiding om de permutaties te berekenen. Of, zoals we op de Risicoanalyse pagina hebben besproken, het aantal combinaties is zo klein (slechts 1296) dat u misschien gewoon alle combinaties in code wilt brute-force-en en ze tellen.
Het is eigenlijk een goede mentale oefening om door de afleiding van deze getallen te werken om uzelf ervan te overtuigen dat de getallen juist zijn. Bijvoorbeeld {A,A,A,A} is 1/6 x 1/6 x 1/6 voor de kansen dat de tweede, derde en vier dobbelstenen overeenkomen met de eerste. (Alternatief denken, is dat er slechts zes manieren zijn om four of a kind te krijgen = 6/1296).
Voor three of a kind {A,A,A,B} zijn er zes mogelijke getallen dat A zou kunnen zijn, en vijf mogelijke getallen dat B zou kunnen zijn, en vier plaatsen voor de dobbelstenen B, dat is 6 x 5 x 4 combinaties = 120/1296.
Voor alle verschillende dobbelstenen {A,B,C,D} is er een kans van 5/6 dat de tweede dobbelsteen anders is dan de eerste, en een kans van 4/6 dat de derde uniek is, en een kans van 3/6 dat de vierde dat is. 5/6 x 4/6 x 3/6 = 60/216 = 360/1296.
Interessante opmerking – Terzijde: als je vier dobbelstenen gooit, is de meest waarschijnlijke uitkomst dat je een paar krijgt, en er is een kans van meer dan 72.2% kans dat u minstens een paar krijgt (720+90+120+6)/1296
5 dobbelstenen |
|
Nu wordt het een beetje druk! Er zijn 7776 mogelijke combinaties voor vijf dobbelstenen. De resultaten staan hieronder. Om het kort te houden, ga ik ze hier niet allemaal afleiden (misschien in een toekomstige blog post), en laat ik gewoon de resultaten zien zodat we terug kunnen naar de Markov Keten.
Interessante Opmerking – De kans dat je een FullHouse rolt in één worp is 300/7776 in vergelijking met Four of a kind met slechts 150/7776. Volgens onze regels, een full house scoort 25 punten en (maximaal), de four of a kind kan 30 punten scoren (alle zessen – Yahtzee bonus uitgesloten), dus de full house is een gemakkelijke punten op te halen, zijnde twee keer zo gemakkelijk als het krijgen als four of a kind!
Belangrijke Opmerking – Met vijf dobbelstenen, is er 7056/7776 kans dat u een paar of beter op uw eerste worp krijgt (90.7%)
Interesting Note7%)
Terug naar Markov
Om onze Markov analyse uit te voeren, moeten we een Overgangsmatrix maken die de waarschijnlijkheid van bewegen tussen elke toestand definieert.
Als de toestanden, ga ik het aantal overeenkomende dobbelstenen in de set selecteren, dus we hebben 5 toestanden: 1,2,3,4,5 (Hier zou “1” overeenkomende dobbelstenen ook kunnen worden beschreven als een singleton). Dit resulteert in een matrix van 25 elementen.
 |
Onze matrix zal upper triangular van aard zijn (we zijn uitgegaan van een slimme speler, dus als er een worp is van three of a kind, gaan we niet suggereren dat de speler een deel hiervan opnieuw moet gooien om tot een Yahtzee te komen). De Overgangsmatrix toont de kansen om van een staat naar ofwel dezelfde staat, ofwel een hogere te gaan. Hier is de Overgangsmatrix. We moeten elke plaats met een “?” vullen met de waarschijnlijkheid van een overgang van de toestand vertegenwoordigd door het kolomnummer naar de toestand vertegenwoordigd door het rijnummer. (Alle andere plaatsen hebben een waarschijnlijkheid van nul). Hier gaan we … |
 |
De eerste paar gegevens zijn gemakkelijk in te vullen. De kans om van toestand 5 naar toestand 5 te gaan is 1.0 Zodra we een Yahtzee bereiken, houden we die en gooien we geen dobbelstenen meer, dus is er 100% zekerheid dat we in deze toestand blijven! Als we op dit moment 4 passende dobbelstenen hebben, is er 1/6 kans dat we het juiste aantal gooien om er 5 van te maken, en dienovereenkomstig 5/6 dat we in toestand 4 blijven. Het stochastische karakter van de overgangsmatrix blijft gehandhaafd omdat de rij van deze matrix optelt tot 1.0 (Er moet iets gebeuren, en het zal een van deze toestandsveranderingen zijn). |
 |
Voor toestand 3 zijn er twee dobbelstenen om opnieuw te gooien, wat 36 mogelijke combinaties oplevert. (Herinnert u zich de paragraaf over combinatronics hierboven). Er is een kans van 1/36 dat beide dobbelstenen overeenkomen met de huidige three of a kind om een Yahtzee te maken en deze kans wordt geplaatst in rij 3 en kolom 5. Er is een kans van 25/36 dat de speler nog steeds three of a kind heeft aan het einde van de volgende worp (5/6 kans op missen met de eerste dobbelsteen vermenigvuldigd met 5/6 kans op missen met de tweede). Ten slotte is er een kans van 10/36 op het krijgen van een extra nummer om four of a kind te maken. Dit is 1/6 x 5/6, en dit kan op twee manieren worden bereikt (of de eerste dobbelsteen komt overeen, of de tweede dobbelsteen komt overeen). |
 |
Dat wordt nu een beetje lastiger, dus we zullen het wat rustiger aan doen. Om van toestand 2 naar toestand 5 te gaan, moeten alle drie opnieuw geworpen dobbelstenen overeenkomen met het huidige paar. Dit gebeurt met een kans van 1/216 (dat is 1/6 x 1/6 x 1/6). Ook van niets overeenkomend, (toestand 1), naar toestand 5 gaan, is het equivalent van het gooien van een Yahtzee in één keer (omdat alle dobbelstenen opnieuw worden gegooid). Dit is 1/1296, berekend als (1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6). |
 |
We kunnen nog twee coëfficiënten invullen. Als je pech hebt, en er komt niets overeen (toestand 1), en je werpt alle dobbelstenen opnieuw, dan is de kans dat er weer niets overeenkomt 120/1296 (Dit is 5/6 kans dat de tweede dobbelsteen niet overeenkomt, gevolgd door 4/6 voor de derde en 3/6 voor de vierde, en 2/6 voor de vijfde). De kans dat je vier van een soort in één worp gooit is 25/1296 (Dat is 150/7776. Herinner je je het Combinatronics gedeelte nog? Het wordt berekend door vier dobbelstenen gelijk te krijgen: 1/6 x 1/6 x 1/6, waarbij de laatste dobbelsteen niet overeenkomt met 5/6, en er zijn vijf mogelijke manieren waarop dit kan worden gevormd met de vijf mogelijke locaties voor B in de verzameling {A,A,A,A,B}. Als het niet duidelijk is, de kansen op de bovenste rij (van niets passend naar een andere toestand), zijn de kansen voor de uitkomst van de eerste worp. |
 |
De kans om three of a kind te krijgen in één worp is 250/1296. Dit is een beetje moeilijker te berekenen, en we moeten voorzichtig zijn. Dit komt voor in één van de twee patronen {A,A,A,B,B} en {A,A,A,B,C}. Refererend aan de combinatronica sectie hierboven (weet je nog, ik zei dat het nuttig zou zijn?), kunnen we zien dat {A,A,A,B,B} 300/7776 keer voorkomt (de full house) en {A,A,A,B,C} (three of a kind) komt 1200/7776 voor. Als we deze bij elkaar optellen (de probabilistische manier om te zeggen OF) krijgen we 1500/7776, wat reduceert tot 250/1296. Om het laatste element in deze rij in te vullen (het krijgen van een paar), moeten we weer voorzichtig zijn. Er zijn twee reeksen te beschouwen: {A,A,B,C,D} en {A,A,B,B,C}. (Enkel Paar en Twee Paar). Omdat we voor een Yahtzee gaan, gooien we één van de paren samen met de singleton. De kans om een paar te krijgen is 1800/7776 + 3600/7776 = 5400/7776 of 900/1296). Het is ook een opluchting te weten dat alle kansen in dit rijtje opgeteld 1,0 zijn (120/1296 + 900/1296 + 250/1296 + 25/1296 +1/1296). |
 |
Omschakelen van een paar (toestand 2) naar four of a kind (toestand 4) is kans 15/216. Er is een kans van 1/6 dat een van de dobbelstenen overeenkomt, dan nog eens 1/6 kans dat een andere overeenkomt, vermenigvuldigd met de kans van 5/6 dat de laatste dobbelsteen niet overeenkomt. Er zijn drie mogelijke manieren voor welke van de 5/6 dobbelstenen is, dus de uiteindelijke kans = 3 x 1/6 x 1/6 x 5/6 = 15/216. |
 |
Nu de laatste twee lastige. Als ik een beetje op het internet lees, is dit het punt waar mensen een fout lijken te maken in hun berekeningen. De complicatie ontstaat doordat je, bij het opnieuw gooien van drie dobbelstenen, misschien een “sprongetje” wilt maken over wat je beoogt. Bijvoorbeeld, als je een paar hebt gegooid bij je eerste worp, het paar hebt gehouden en drie dobbelstenen opnieuw hebt gegooid, en deze drie dobbelstenen kwamen allemaal op hetzelfde neer (maar niet hetzelfde als het paar, anders zou dat Yahtzee zijn!), dan zou je bij de volgende worp de three of a kind willen houden en het paar opnieuw willen gooien. Deze subtiliteit wijzigt de kansen. Laten we dit eens doornemen – We hebben een paar gehouden en drie dobbelstenen opnieuw gegooid. Herinneren wij ons van onze drie dobbelstenen combinatronica dat drie dobbelstenen allemaal hetzelfde blijken te zijn met kans 1/6 x 1/6 = 1/36 = 6/216, maar in een van deze gevallen zal dit gegooide aantal hetzelfde zijn als het paar (waardoor een Yahtzee ontstaat), dus moeten wij dit geval aftrekken. Dus, de kans om van two of a kind naar three of a kind te gaan is 6/216 – 1/216 = 5/216. |
Om de coëfficiënt van overgang van een paar (toestand 2) naar blijven als een paar (toestand 2) te completeren, hebben we de basiskans hiervan nodig, die eenvoudigweg 5/6 x 5/6 x 5/6 is (alle drie de dobbelstenen missen het passen van het paar), en hiervan moeten we de kans aftrekken dat al deze drie dobbelstenen gelijk zijn en geen Yahtzee vormen (5/216), zodat het eindresultaat voor dit element = 125/216 – 5/216 = 120/216.
Zo ook de inverse van deze truc voor de overgangskans van een paar toestand 2 naar three of a kind toestand 3. Hier is de basiskans om van toestand 2 naar toestand 3 te gaan 75/216 (er wordt met drie dobbelstenen gegooid, met 1/6 kans op een match, dan twee 5/6 kansen op een misser, en er zijn drie combinaties van manieren waarop dit kan worden bereikt, dat is 3 x 1/6 x 5/6 x 5/6). Bij deze basiskans van 75/216 moeten we de 5/216 kans van hierboven optellen dat we via deze alternatieve route tot three of a kind zijn gekomen.
Hiermee is het laatste element dat nodig is om onze Overgangsmatrix van toestand 2 naar toestand 3 te completeren 75/216 + 5/216 = 80/216.
Het is ook een opluchting om uit te rekenen dat de kansen in deze rij in totaal 1,0 zijn! (120/216 + 80/216 + 15/216 + 1/216). Dit bevestigt dat onze berekeningen correct zijn.
Onze Overgangsmatrix is nu compleet.
Matrix Vermenigvuldiging
We voeren nu een identieke kolomvector in en vermenigvuldigen deze met de Overgangsmatrix. De resulterende rijvector geeft de waarschijnlijkheid aan van de verdeling van de toestanden waarin de dobbelstenen zich kunnen bevinden. We kunnen nu deze output nemen en weer als input gebruiken en deze keer is de output de superpositie van de waarschijnlijkheden voor de dobbelstenen aan het eind van de tweede worp. Om de kans op een Yahtzee bij (of vóór) drie worpen te krijgen, vermenigvuldigen we nog een laatste keer en lezen het resultaat van het laatste element (toestand 5) in de uiteindelijke uitvoervector.
(Vanaf dit punt ga ik over op decimalen/percentages om de kansen weer te geven, omdat de betrokken breuken te onhandig zijn om in te voeren en af te lezen).
Results
De kans op een Yahtzee is 4,6029%
Pretty Graphs
Als je je Yahtzee-rol hebt gemist, wat gebeurt er dan als je nog een keer gooit? (Zoals mijn kinderen soms proberen te doen!) En nog eens? En nog een keer? …
Hieronder staat een grafiek met de procentuele kans op een Yahtzee in n-rollen. De x-as is het aantal worpen, en de y-as toont de procentuele kans.
De curve asymptoot naar 100%, en gaat over de 50% bij worp #10. Om 95% zeker te zijn dat je een Yahtzee gooit, heb je 23 worpen nodig.
|
Vaak mis je een Yahtzee-poging. Wat is de verdeling van de kansen? Hoe groot is de kans dat u Four of a kind krijgt als u op Yahtzee schiet? Deze informatie is eenvoudig te verkrijgen door de waarde uit de uitgangsvector van de Markov Chain voor toestand 4 af te lezen. (De kans dat je Four of a kind krijgt in drie worpen is 24.476%, en Three of a kind is 45.240%). De tabel aan de linkerkant toont de procentuele verdeling voor de eerste 25 worpen. Hieronder ziet u dezelfde gegevens in grafisch formaat. Merk op dat na 9 worpen, de Yahtzee de meest waarschijnlijke gebeurtenis wordt, en de kans om te eindigen met een paar of Singleton daalt snel tot ruis.
|