+ Deel pagina met vrienden

Inleiding tot de Calculus

Hoofdstuk 1 – Inleiding

• Paragraaf 1.1 – Waarom Rekenen
• Paragraaf 1.2 – Waarom niet studeren

Paragraaf 1.1 – Waarom calculus studeren

Als student zie je calculus waarschijnlijk als het zoveelste onlogische uit je hoofd leren van vergelijkingen dat je nodig hebt om door de school te komen. U hebt het gevoel dat u nooit iets van het “hypothetische gebrabbel” dat u leert, zult moeten gebruiken. Bijgevolg benadert u het onderwerp met filosofische onverschilligheid en past u zich aan om datgene te verdragen wat u niet kunt genezen.

Misschien zit achter dit slechte sentiment ergens de overtuiging dat calculus een noodzakelijk instrument is voor uw bestaan in de echte wereld. Ongeacht hoe je een succesvol bestaan definieert, is het begrijpen van calculus niet essentieel voor je welzijn. In feite is het een overdrijving te beweren dat je het nodig hebt om zelfs maar wetenschapper te worden.

Ten slotte aarzelen veel professionele ingenieurs niet om hun onwetendheid over het onderwerp toe te geven. Het begrip van de ingenieur van calculus is beperkt tot het kennen van de vergelijkingen en het weten hoe ze te gebruiken. Als een ingenieur een goed gevoel heeft voor wat hij kan verwachten op basis van ervaring, dan is het kraken van getallen niet zo belangrijk. De beste ingenieurs hebben het cijferwerk alleen nodig om te bevestigen wat zij denken dat het resultaat zal zijn.

Tot zover heeft deze inleiding alleen maar kunnen bevestigen wat u misschien al denkt over uw studie van de calculus, namelijk dat het een zinloze tijdverspilling is! Waarom moet jij de moeite nemen om het te leren terwijl anderen er absoluut niets van begrijpen? Wat kan calculus nog meer zijn behalve memoriseren, manipuleren en frustratie? Zonder uw groeiende argwaan nog verder aan te wakkeren, laten we terugkeren naar de oorspronkelijke vraag en die beantwoorden vanuit een zuiver niet-materialistisch standpunt.

Waarom calculus studeren? Deze vraag kan het best beantwoord worden met een andere vraag; Waar gaat calculus over? Het is buitengewoon moeilijk deze vraag kort en overtuigend te beantwoorden, want daarvoor zou dit hele boek in een paar regels tekst moeten worden geparafraseerd. Ik zou u een reeks situaties kunnen voorleggen waarin calculus wordt toegepast, maar dat zou u de onjuiste indruk geven dat praktische toepassingen en wiskundige theorie alleen door toeval met elkaar verbonden zijn. De eenvoudigste definitie die ik kan geven is dat calculus de studie is van mathematisch gedefinieerde verandering. Er zijn twee woorden in die definitie die nadere uitleg behoeven voordat zij zinvol kan zijn. Deze woorden zijn wiskunde en verandering.

Wat is wiskunde? In wezen is wiskunde niets anders dan de taal van de wetenschap. Terwijl de wetenschap een systematische studie van de natuur is, is de wiskunde een beknopte vorm van communicatie die gebruikt wordt om de natuur weer te geven. Het verstandsvermogen van de mens stelt hem in staat de natuur en al haar lopende processen te observeren, te ontleden en te veronderstellen, zodat het eindresultaat van deze geordende analyse wiskunde is. Maar wat wordt bedoeld met wetenschap en natuur? In plaats van verder te gaan met vragen die alleen door generalisaties worden beantwoord, laten we deze studie van de calculus beginnen met een studie van de Mens.

Wat doet de mens handelen, denken, voelen, bewegen en functioneren? Het onderwerp van de filosofie is geheel gewijd aan het beantwoorden van vragen als deze, hoewel het vaak meer vraagt dan het bereid is te beantwoorden. Het leven om ons heen daagt ons voortdurend uit om te leven en te reageren op het schijnbaar onmogelijke en ondoorgrondelijke. Wij worden geconfronteerd met dilemma’s die ons oordeel vereisen. De ethiek en de moraal waarnaar wij leven, blijken echter niet meer te zijn dan een reeks ironische tegenstrijdigheden. We worden omringd door een zee van chaos. Het leven voert ons vervolgens door deze zee van verwarring, zonder ergens te stoppen om ons op een bestemming af te zetten. Het leven lijkt zinloos zonder enige betekenis in zicht.

Is de mens beperkt tot deze hulpeloze staat van bestaan? Om eerlijk te zijn, niemand weet het antwoord. We kunnen echter hoop zoeken in de geest. De kracht van het denken, de rede en de logica stellen de mens in staat de controle over het leven te grijpen en uiteindelijk te dienen als gids naar verlichting en wijsheid. Aristoteles was van mening dat geluk alleen kon worden bereikt door de geest te cultiveren. Hij schreef:

Nu is de bijzondere voortreffelijkheid van de mens zijn denkvermogen; het is door dit vermogen dat hij andere levensvormen overtreft en regeert; en zoals de groei van dit vermogen hem suprematie heeft gegeven, zo mogen we veronderstellen, dat de ontwikkeling ervan hem vervulling en geluk zal geven.

Dit leidt tot de vraag: Hoe definiëren wij de rede? Dit is synoniem met de vraag: Hoe definiëren gedachten het gedrag? Als kind had je weinig controle over je daden. Er leek geen doel te zijn achter wat je deed of wat er met je gebeurde. Het leven voerde je mee en gaf je de vrijheid om van de rit te genieten.

Het idee van de vrije wil biedt een aannemelijker verklaring voor menselijke daden. Het zegt dat de mens de vrijheid van keuze heeft om tot een bepaalde handelwijze te besluiten. Handelingen zijn het resultaat van keuzes; keuzes die wij vrijelijk kunnen maken.

De tak van de filosofie die bekend staat als het determinisme gaat nog een stap verder om te verklaren waarom de mens ervoor kiest op de ene manier te handelen en niet op een andere. Wanneer de mens met een situatie wordt geconfronteerd, is de gedragslijn die hij besluit te volgen gebaseerd op ervaring, persoonlijke belangen en voorkeuren. De beslissingen die wij nemen worden dus volledig beïnvloed door onze ervaringen uit het verleden. De wil is niet vrij om zich op eigen houtje te gedragen. Mijn besluit om dit boek te schrijven was bijvoorbeeld niet gebaseerd op een impulsief instinct, maar op een culminatie van omstandigheden waaraan ik werd blootgesteld en waarop ik reageerde.

Elke actie, van de meest willekeurige tot de meest perverse, kan worden verklaard door de reeks situaties, ervaringen, gedachten en gevoelens die aan die actie voorafgingen. In wezen zegt het determinisme dat ons leven in zoverre voorbestemd is dat we, ongeacht hoe we leven, nooit onze levensloop kunnen veranderen. Zoals een Franse denker ooit zei: “We veranderen en toch blijven we dezelfde”. De logica achter deze uitspraak is dat als ons verleden nooit kan worden veranderd, onze toekomst altijd dezelfde zal blijven. Elke actie wordt gedicteerd door de vorige.

Het is op dit punt waar wetenschap en kunst uit elkaar gaan. Voor de wetenschapper is het determinisme een voldoende nauwkeurige verklaring van het menselijk leven, omdat het zegt dat alles wat gebeurt, gebeurt om een aantal redenen. Het observeren en begrijpen van deze reeks redenen wordt het werk van de wetenschapper. De kunstenaar echter interpreteert determinisme als zeggende: “Aangezien alles in het leven vooraf bepaald is, is het leven zinloos”.

Het leven heeft misschien geen betekenis, maar het is het doel van de kunstenaar om die verklaring in twijfel te trekken door de mysterieuze diepten van de menselijke natuur en het hart te onderzoeken. Misschien is het de volslagen willekeur van het leven dat ons ons onveranderlijke lot doet negeren. Geen mens heeft enige controle over de gebeurtenissen waaraan hij of zij zal worden blootgesteld. Het lot begint betekenis te verliezen als men nooit weet wat er met zichzelf zal gebeuren. Het risico van de kunstenaar is nodig om chaos te scheppen waaruit wijsheid voortkomt.

Aan de andere kant is de studie van de natuur preciezer en is het minder waarschijnlijk dat zij wordt beïnvloed door een grote verscheidenheid van niet-gerelateerde factoren. Met handtekeningen zijn alle acties, voorvallen of veranderingen afhankelijk van een paar factoren die zorgvuldig kunnen worden geïsoleerd en afzonderlijk bestudeerd. Wetenschap gaat specifiek over het analyseren van deze op elkaar inwerkende systemen en dan het vormen van hypothesen die ze nauwkeurig kunnen verklaren.

Wat het waarnemen van verschijnselen in de natuur zo interessant maakt, is dat ze altijd plaatsvinden in een gesloten omgeving waar externe factoren gemakkelijk kunnen worden verwijderd om slechts een paar op elkaar inwerkende objecten over te laten. Het zijn deze objecten, samen met hun eigenschappen, die de focus van de studie worden. Elke poging om hun unieke interactie logisch te verklaren moet voortkomen uit de objecten zelf en niet uit denkbeeldige externe factoren. Door redenering en observatie kan de natuur worden begrepen, zodat de toekomst kan worden bepaald uit het heden. Zoals Sherlock Holmes Watson vaak zou waarschuwen: “Je ziet, maar je observeert niet!”

Vaak genoeg slagen mensen er niet in deze eenvoudige regel van de natuur te begrijpen door onwetend elk natuurlijk voorkomend verschijnsel toe te schrijven aan de Goden, de hemel, of een of andere mysterieuze substantie met superkrachten. Het begrijpen en aanvaarden van de waarheid vereist een open en kritische geest. Charlotte Bronte schreef op humoristische wijze over deze ironische tekortkoming van de menselijke natuur in haar populaire roman, Shirley.

Let goed op! Telkens wanneer je de eigenlijke, eenvoudige waarheid presenteert, wordt zij op de een of andere manier als leugen bestempeld: men verwerpt haar, werpt haar van zich af, gooit haar op de parochie; terwijl het product van je eigen verbeelding, het louter verzinsel, de pure fictie, wordt aangepast, mooi, gepast, lieflijk natuurlijk wordt genoemd: de kleine bedrieglijke stakker krijgt alle voordeeltjes – de eerlijke, wettige bantling alle boeien. Zo gaat het in de wereld…”.

Niet alleen wordt de wetenschap belemmerd door onwetendheid en bedrog, maar zij wordt ook in de war gebracht door het werk van de pseudo-wetenschapper. De pseudo-wetenschapper wordt beschreven door de Spaanse filosoof, Jose Ortega, in zijn verbluffende boek over de moderne westerse beschaving, De Opstand der Massa’s:

“… Tegen 1890 neemt een derde generatie het commando over in de intellectuele wereld, en vinden we een type wetenschapper zonder precedent in de geschiedenis. Hij is iemand die, van alles wat een routineus plichtsgetrouw mens moet weten, slechts iets weet van één bepaalde wetenschap; zelfs van deze wetenschap is hij slechts goed op de hoogte binnen het beperkte gebied waarin hij actief onderzoeker is. Hij kan zelfs zo ver gaan te beweren dat hij er voordeel bij heeft niet te cultiveren wat buiten zijn eigen enge gebied ligt, en hij kan verklaren dat nieuwsgierigheid naar algemene kennis het teken is van deamateur, de dilettant.

Opgesloten in zijn kleine gebied, slaagt hij erin nieuwe feiten te ontdekken, vordert hij de wetenschap die hij nauwelijks kent, en vergroot hij met kracht de encyclopedie van kennis waarvan hij gewetensvol onwetend is…”

Nobelprijswinnaar natuurkunde Richard Feynman schreef de volgende observaties over de verschillende soorten pseudo-wetenschappers die hij op een conferentie ontmoette. Het meeste werk van de wetenschappers viel in een van deze categorieën:

1. Volstrekt onbegrijpelijk
2. Vaag en onbepaald
3. Iets corrects dat voor de hand ligt en vanzelfsprekend is, uitgewerkt door een lange en moeilijke analyse en gepresenteerd als een belangrijke ontdekking
4. Een bewering gebaseerd op de domheid van de auteur dat een voor de hand liggend en correct iets dat jarenlang is aanvaard en gecontroleerd in feite onwaar is
5. Een poging om iets te doen dat waarschijnlijk onmogelijk is maar zeker geen nut heeft en waarvan uiteindelijk wordt onthuld dat het mislukt
6. Gewoonweg fout

Een van de opmerkelijke meesterwerken van de geest is de wetenschap der wiskunde, vaak de wetenschap van deductief redeneren genoemd. Terwijl wetenschap een logisch denksysteem is dat wordt gebruikt om de natuurlijke wereld te bestuderen, is wiskunde de exacte taal van de wetenschap. Het is de vorm van communicatie voor wetenschappelijke analyse. Getallen en symbolen zijn niet meer dan vage abstracties tenzij zij naar iets specifieks verwijzen. Voordat wiskunde kan bestaan moet er een situatie zijn om er betekenis aan te geven. Het is de wetenschappelijke analyse die de structuur van de wiskunde bepaalt.

Door middel van de wiskunde zijn we in staat het heden te definiëren. Het heden is slechts afhankelijk van de voorwaarden die bestaan binnen het korte tijdsbestek dat het in beslag neemt. Het verdwijnt snel voor onze ogen en wordt een herinnering. Het doel van de wetenschap is de objectieve wereld te definiëren in termen van bestaande kwantificeerbare voorwaarden, uitgedrukt door de wiskunde. Onze afmetingen of eigenschappen blijven vast en veranderen niet.

Het is wanneer onze dimensies veranderen dat onze studie wat ingewikkelder wordt en calculus ontstaat. Maar eerst, wat wordt bedoeld met verandering? Om verandering te begrijpen moeten we het begrip tijd uitleggen. Per definitie is tijd een verloop van gebeurtenissen, zodanig dat om tijd te laten verstrijken, iets moet veranderen ten opzichte van zichzelf. Een bewegend voorwerp bijvoorbeeld impliceert een veranderende afstand die wordt afgelegd vanaf een referentiepunt. Dit is een gebeurtenis die de tijd definieert. Of een stijgende temperatuur impliceert dat de temperatuur verandert en dus tijd in beslag neemt. Veranderingen zijn het resultaat van handelingen die een situatie vormen.

Weliswaar is calculus de studie van wiskundig gedefinieerde verandering, maar het is niet noodzakelijkerwijs de studie van tijd alleen. In de wetenschap kunnen andere dimensies ten opzichte van elkaar veranderen. Bijvoorbeeld snelheid kan veranderen met hoogte, temperatuur verandert met energie, dichtheid verandert met diepte, kracht verandert met massa enz.

Wanneer een dimensie verandert ten opzichte van zichzelf, zeggen we dat het verandert ten opzichte van de tijd. Wanneer factoren ten opzichte van elkaar veranderen, veronachtzamen wij het effect dat de tijd op de factoren heeft en gaan verder met het analyseren van alleen de op elkaar inwerkende dimensies. Wij nemen aan dat onze factoren constant zijn en ten opzichte van elkaar veranderen, niet ten opzichte van de tijd. Calculus is dus de tak van de wiskunde die gebruikt wordt om alle verschijnselen te bestuderen waarbij verandering een rol speelt. Verandering is een relatief begrip dat elk paar dimensies kan omvatten, tijd, kracht, massa, lengte, temperatuur enz. Dit klinkt misschien een beetje abstract, maar het zal veel duidelijker worden naarmate we de cursus volgen.

Hiermee is het antwoord op de vraag waar calculus over gaat, afgerond. Je hebt misschien niet het gevoel dat ik de oorspronkelijke vraag beantwoord heb, “Waarom calculus studeren?”. Het doel van het studeren van calculus is simpelweg om je geest te introduceren in de wetenschappelijke methode van analyse. Door wetenschap kunnen praktische problemen worden geïdentificeerd, verklaringen worden gegenereerd en logische oplossingen worden gekozen. Het doel is dat je begrijpt hoe je je verstand op een systematische manier kunt gebruiken om de wereld om je heen te begrijpen.

Ingenieurswetenschappen berusten meer op deze fundamentele logische benadering van het oplossen van problemen dan op het louter kraken van getallen en het manipuleren van formules. Daarom zijn veel ingenieurs alle stellingen van de calculus vergeten, maar wat blijft is het belangrijke conceptuele kader van methode en toepassing. Ingenieurs zeggen vaak gekscherend: “Wij kennen niet alle wiskunde, maar wel het eindresultaat! “

Goede ingenieurszin wordt gedefinieerd als het vermogen om snel een probleem te identificeren, praktische oplossingen te bedenken en dan de meest efficiënte optie te kiezen. Veel problemen in de echte wereld staan los van enige complexe wiskunde, maar dezelfde systematische wetenschappelijke aanpak is vereist om ze op te lossen. De toepassing van gezonde logica is alles wat nodig is om complexiteiten te herleiden tot eenvoudigheden.

Vroeg in de inleiding stelde ik dat het een overdrijving was te beweren dat men calculus nodig heeft om wetenschapper te worden. De ingenieurs en wetenschappers die zich redden met een oppervlakkige kennis van het onderwerp vallen in het rijk van de pseudo-wetenschapper en de charlatan. Zoals Ortega schreef, de pseudo-wetenschapper, “bevordert de wetenschap die hij nauwelijks kent, en vergroot noodgedwongen de encyclopedie van kennis waarvan hij gewetensvol onwetend is…”. Het is de sensatie en de verlichting van het begrijpen van de natuur die de wetenschapper drijft. De ingenieur gaat een stap verder in de wetenschap om de natuur naar de hand van de mens te zetten. Zowel de ingenieur als de wetenschapper delen een diepe waardering voor de werking van de natuur; een waardering die zich ontwikkelt tot wijsheid.

Daarom is het doel van het bestuderen van calculus tweeledig. In de eerste plaats is het de bedoeling u vertrouwd te maken met de basisbegrippen van de wiskunde die gebruikt worden om bijna alle soorten veranderende verschijnselen in een gecontroleerde omgeving te bestuderen. Ten tweede zal de studie van calculus een onschatbare wetenschappelijke zin en praktische engineering probleemoplossende vaardigheden in u ontwikkelen. Je zult begrijpen hoe je logisch moet denken om zelfs de meest complexe systemen terug te brengen tot een paar op elkaar inwerkende componenten. Terwijl u de belangrijkste concepten, theorieën en voorbeelden in dit boek bestudeert, zal uw geest zich ontwikkelen tot een krachtig systematisch instrument.

Om op een humoristische noot af te sluiten, lees het volgende satirische essay van The Onion in het hoofdstuk over1925 in hun boek, Our DumbCentury.

Moeten we onze kinderen feiten leren? Nee, zeg ik, duizend keer nee! Als ze opgroeien tot de boeren van morgen, huisvrouwen, fabrieksarbeiders en mijnwerkers, zijn feiten het laatste wat ze nodig zullen hebben. Manieren! Onderdanigheid. Bovenal, gehoorzaamheid! Alleen spreken als je aangesproken wordt, en geen problemen veroorzaken! Dit zijn de principes waarop ons onderwijssysteem is gebaseerd. Waarom zouden we dat in godsnaam vervangen door een systeem dat onwetenden aanmoedigt vragen te stellen? Een goede burger doet zoiets niet. Hij is tevreden met de redenen die hij krijgt van zijn meerderen.

Vragen

1. Heeft God de mens geschapen of de mens God? Sommigen zeggen dat de mens en de natuur te goed gemaakt zijn om willekeurig te gebeuren. De vele natuurkundige wetten van dit universum moeten door een schepper zijn gemaakt, net zoals de verkeerswetten door de mens zijn gemaakt. Hoewel evolutie willekeurig lijkt, is het in feite een opeenstapeling van oneindige veranderingen in de loop van de tijd. Wat wij zien is slechts de huidige toestand, niet de oneindige lagen die in de loop van de eeuwigheid zijn neergelegd. Daarom is het makkelijk om te concluderen dat de huidige toestand te perfect is om te begrijpen. Maar als je bestudeert hoe elke laag van de evolutie tot stand komt, wordt het heel gemakkelijk om te begrijpen hoe complexiteit kan worden bereikt uit de eenvoudigste veranderingen die in de loop van de tijd zijn opgebouwd. Geef commentaar op deze vraag met betrekking tot uw opvattingen over religie en wetenschap.
2. De paradox van het leven is dat men moet lijden om ervan te genieten. Of denk aan het citaat van de vader van de moderne Olympische beweging: “Het belangrijkste in de Olympische Spelen is niet om te winnen maar om deel te nemen, net zoals het belangrijkste in het leven niet de triomf is maar de strijd. Het belangrijkste is niet te hebben overwonnen maar goed te hebben gestreden. “Wat denk jij? Gaat het in het leven om de prestaties of om de reis daarheen?
3. De wereld bevat duizenden culturen. Elke cultuur heeft zijn eigen moraal en normen die de samenleving probeert na te leven. Wat de ene cultuur als goed beschouwt, kan door een andere cultuur als taboe worden beschouwd. Hoewel de meeste mensen in wezen goed zijn, is er weinig samenhang tussen sociaal aanvaard gedrag. Zijn moralen absoluut of bestaan ze slechts relatief ten opzichte van elkaar? Met andere woorden, denkt u dat bepaalde handelingen kunnen worden beoordeeld als zuiver goed of kwaad, ongeacht de persoonlijke opvoeding? Welke aspecten van jouw cultuur zou iemand van een andere cultuur als vreemd of negatief kunnen opvatten?

Volgende sectie ->Sectie 1.2 – Waarom je geen calculus studeert