Stel je voor dat je een oorlog uitvecht op 10 slagvelden. U en uw tegenstander hebben elk 200 soldaten, en uw doel is om zoveel mogelijk veldslagen te winnen. Hoe zou u uw troepen inzetten? Als je ze gelijkmatig verdeelt en er 20 naar elk slagveld stuurt, kan je tegenstander zijn eigen troepen concentreren en gemakkelijk een meerderheid van de gevechten winnen. Je zou kunnen proberen om zelf een aantal locaties te overrompelen, maar er is geen garantie dat je zult winnen, en je zult de overgebleven slagvelden slecht verdedigd achterlaten. Een winnende strategie bedenken is niet gemakkelijk, maar zolang geen van beide partijen het plan van de ander van tevoren kent, is het een eerlijk gevecht.

Nu stel je voor dat je tegenstander de macht heeft om zowel jouw troepen als hun eigen troepen in te zetten. Zelfs als je meer troepen krijgt, kun je niet winnen.

In de oorlog van de politiek komt deze macht om troepen in te zetten van gerrymandering, de eeuwenoude praktijk van het manipuleren van stemdistricten voor partijdig gewin. Door te bepalen wie waar stemt, kunnen politici de kansen in hun voordeel doen kantelen en hun tegenstanders verslaan nog voordat de strijd is begonnen.

In 1986 verklaarde het Hooggerechtshof extreme partijdistricten ongrondwettig. Maar zonder een betrouwbare test voor het identificeren van oneerlijke districtskaarten, heeft het hof er nog geen enkele vernietigd. Nu het hoogste gerechtshof van het land argumenten hoort voor en tegen een juridische betwisting van de districtsindeling van Wisconsin, staan wiskundigen in de frontlinie in de strijd voor electorale eerlijkheid.

Eenvoudige wiskunde kan intrigerende politici helpen districten op te stellen die hun partij buitensporige invloed geven, maar wiskunde kan ook helpen deze situaties te identificeren en te verhelpen. Afgelopen zomer kwam de Metric Geometry and Gerrymandering Group, onder leiding van de wiskundige Moon Duchin, bijeen aan de Tufts University, onder meer om nieuwe wiskundige instrumenten te bespreken voor het analyseren en aanpakken van gerrymandering. De “efficiency gap” is een eenvoudig idee dat aan de basis ligt van sommige van de instrumenten die door het Hooggerechtshof worden overwogen. Laten we dit concept en enkele van zijn vertakkingen onderzoeken.

Stel je een staat voor met 200 kiezers, van wie er 100 trouw zijn aan partij A en 100 aan partij B. Stel dat de staat vier afgevaardigden moet kiezen en dus vier districten van gelijke kiesdeler moet samenstellen.

Stel u voor dat u de macht hebt kiezers in elk district onder te brengen dat u maar wilt. Als u partij A steunt, kunt u de 100 A-stemmers en de 100 B-stemmers als volgt over de vier districten verdelen:

Met districten die op deze manier zijn opgebouwd, partij A wint drie van de vier verkiezingen. Als u partij B verkiest, kunt u de kiezers natuurlijk ook op deze manier verdelen:

Hier, zijn de resultaten omgekeerd, en partij B wint drie van de vier verkiezingen.

Merk op dat in beide scenario’s hetzelfde aantal kiezers met dezelfde voorkeuren in hetzelfde aantal verkiezingen hun stem uitbrengen. Door alleen de verdeling van de kiezers over de kiesdistricten te veranderen, worden de resultaten dramatisch anders. De mogelijkheid om kiesdistricten te bepalen geeft veel macht, en aandacht voor wat eenvoudige wiskunde is alles wat nodig is om een electoraal voordeel te creëren.

Wat als je, in plaats van een voordeel voor de ene partij boven de andere te creëren, je macht zou willen gebruiken om eerlijke kiesdistricten te creëren? Eerst moet je bepalen wat “eerlijk” betekent, en dat kan lastig zijn, want winnaars en verliezers hebben vaak verschillende opvattingen over eerlijkheid. Maar als we beginnen met enkele veronderstellingen over wat “eerlijk” betekent, kunnen we proberen de eerlijkheid van verschillende kiesdistricten te kwantificeren. We kunnen twisten over die veronderstellingen en hun implicaties, maar door een wiskundig model te gebruiken kunnen we proberen verschillende scenario’s te vergelijken. De efficiency gap is één benadering om de eerlijkheid van een kiezersverdeling te kwantificeren.

Om de efficiency gap te begrijpen, kunnen we beginnen met de observatie dat, in een reeks van gerelateerde verkiezingen, niet alle stemmen dezelfde impact hebben. Sommige stemmen kunnen een groot verschil maken, en sommige stemmen kunnen als “verspild” worden beschouwd. Het verschil in verspilde stemmen is de efficiency gap: Het meet hoe gelijk, of ongelijk, de verspilde stemmen zijn verdeeld over de strijdende partijen.

Wat telt dus als een verspilde stem? Kijk eens naar de rol van Californië bij de presidentsverkiezingen. Sinds 1992 heeft Californië altijd de Democratische kandidaat voor het presidentschap gesteund. Republikeinen uit Californië weten dus dat ze vrijwel zeker een verliezende kandidaat steunen. In zekere zin is hun stem verspild: als zij in een alternatieve staat als Florida zouden mogen stemmen, zou hun stem een groter verschil kunnen maken. Vanuit Republikeins perspectief zou dat een efficiënter gebruik van hun stem zijn.

Nu blijkt dat Democratische kiezers in Californië een soortgelijk argument kunnen aanvoeren over het feit dat hun stem verspild is. Aangezien de Democratische kandidaat Californië waarschijnlijk met een aardverschuiving zal winnen, zijn veel van hun stemmen in zekere zin ook verspild: Of de kandidaat nu met 51 procent van de stemmen of met 67 procent van de stemmen wint, het resultaat is hetzelfde. Die extra winststemmen zijn zinloos.

In de context van de efficiency gap zijn er dus twee soorten verspilde stemmen: die voor een verliezende kandidaat en die voor een winnende kandidaat die verder gaan dan wat nodig is voor de overwinning (voor het gemak nemen we als drempel voor de overwinning 50 procent, ook al kan dit technisch gezien resulteren in een gelijkspel; een werkelijk gelijkspel is meer dan onwaarschijnlijk met honderdduizenden kiezers in elk congresdistrict). In een verkiezing met meerdere districten zal elke partij waarschijnlijk stemmen van elke soort verspillen. De efficiency gap is het verschil in de totalen van de verspilde stemmen voor elke partij, uitgedrukt in een percentage van het totaal aantal uitgebrachte stemmen. (We trekken het kleinste getal van het grootste af als dat mogelijk is, om een niet-negatieve efficiency gap te krijgen. We kunnen ook de absolute waarde van het verschil nemen.)

Laten we terugkeren naar onze scenario’s met vier districten en hun efficiency gaps onderzoeken. Onze eerste verdeling zag er als volgt uit.

In dit scenario, 75 van B’s stemmen worden verspild: 60 in verliezende partijen en 15 meer dan de 25 die nodig zijn om district 4 te winnen. Slechts 25 van de stemmen van partij A worden verspild: 5 extra stemmen bij elke overwinning en 10 verliezende stemmen. Het ruwe verschil in verspilde stemmen is 75 – 25 = 50, dus de efficiency gap hier is 50/200 = 25 procent. We zeggen dat het efficiencyverschil van 25 procent in het voordeel van partij A is, omdat partij B het grootste aantal verspilde stemmen had. In het tweede scenario, waar de getallen zijn omgedraaid, is het verschil van 25 procent nu in het voordeel van partij B.

Kan het verschil in efficiëntie ons een idee geven van de eerlijkheid van een verdeling? Welnu, als je de macht had om kiesdistricten te creëren en je wilde overwinningen voor je partij behalen, dan zou je strategie zijn om de verspilde stemmen voor je partij te minimaliseren en de verspilde stemmen voor je tegenstander te maximaliseren. Om dit te bereiken, wordt een techniek gebruikt die bekend staat als inpakken en kraken: De stemmen van de oppositie worden in een klein aantal districten samengepakt, en het overblijvende blok stemmen wordt gekraakt en dun over de rest van de districten verdeeld om hun impact te minimaliseren. Deze praktijk leidt van nature tot grote efficiëntiekloven, zodat we mogen verwachten dat eerlijker verdelingen kleinere kloven hebben.

Laten we de efficiëntiekloven eens nader bekijken door onze staat met 200 stemmen nu te verdelen in 10 gelijke districten. Beschouw de volgende verdeling van de kiezers, waarbij partij A 9 van de 10 districten wint.

Op het eerste gezicht, lijkt dit geen eerlijke verdeling van kiezers. Wat zegt de efficiency gap?

In dit scenario zijn bijna alle stemmen van partij B verspild: negen verliezende stemmen in elk van de negen districten, plus negen overtollige stemmen in één overwinning, voor een totaal van 90 verspilde stemmen. De kiezers van partij A zijn veel efficiënter: in totaal worden slechts 10 stemmen verspild. Er is een verschil van 90 – 10 = 80 verspilde stemmen en een efficiëntieverschil van 80/200 = 40 procent, in het voordeel van partij A.

Vergelijk dat met de volgende verdeling, waar partij A 7 van de 10 districten wint.

Hier, is het aantal verloren stemmen 70 voor partij B en 30 voor partij A, wat een efficiëntieverschil oplevert van 40/200 = 20 procent. Een schijnbaar eerlijker verdeling leidt tot een kleinere efficiency gap.

Als laatste oefening, kijk eens naar deze gelijke verdeling van de districtsverkiezingen.

De symmetrie alleen al suggereert het antwoord, en de berekeningen bevestigen het: 50 verspilde stemmen voor elke partij betekent een efficiëntieverschil van 0 procent. Merk op dat een efficiëntieverschil van 0 procent overeenkomt met een onafhankelijk begrip van eerlijkheid: Namelijk, met kiezers over de hele staat evenredig verdeeld over beide partijen, lijkt het redelijk dat elke partij de helft van de verkiezingen zou winnen.

Deze elementaire voorbeelden tonen het nut aan van de efficiency gap als maatstaf voor electorale eerlijkheid. Het is gemakkelijk te begrijpen en te berekenen, het is transparant, en de interpretaties zijn consistent met andere noties van eerlijkheid. Het is een eenvoudig idee, maar het wordt op een aantal complexe manieren gebruikt om kiesdistricten te bestuderen. Zo maken wiskundigen nu gebruik van simulaties om miljoenen theoretische kieskaarten voor een bepaalde staat te bestuderen en vervolgens de verdeling van alle mogelijke efficiëntiekloven te onderzoeken. Dit schept niet alleen een context voor het evalueren van de eerlijkheid van een huidige kaart in vergelijking met andere mogelijkheden, het kan ook worden gebruikt om eerlijker alternatieven voor te stellen.

Hoewel kiezers niet daadwerkelijk aan districten worden toegewezen op de manier die wij ons in onze voorbeelden hebben voorgesteld, bereikt de praktijk van gerrymandering vergelijkbare resultaten. Door de grenzen van de districten strategisch te hertekenen, kunnen gerrymanders de stemverdeling zodanig manipuleren dat er een ongelijk electoraal speelveld ontstaat. Deze oneerlijke gevechten beïnvloeden de manier waarop we worden geregeerd en helpen zittende partijen met een meerderheidspartij om termijn na termijn te worden herkozen. De zaak voor het Hooggerechtshof betreft slechts één van de vele potentieel oneerlijke kieskaarten. Objectieve wiskundige instrumenten zoals de efficiency gap zijn misschien de enige manier om gerrymandering uit te roeien en onze politieke slagvelden in balans te houden.

Download het “Doing the Political Math” PDF-werkblad om deze concepten te oefenen of om met studenten te delen.